第二十六讲 复习: ①磁场能密度u2()=、1 B 101 总磁场能=v)=LP ②交流电 假设流过的电流为:1(1)= 1. SIn(ot-p) 则元件两端的电压:△VRC=XRLc·nsin(ot-+△pgc) X=RX=Lo: X △中=0,△中 2 3)RLC串联电路 对一个复杂的交流电路,回头看 Kirchhoff两个定律 第一∑1=0 电荷守恒,交流电荷仍守恒 △=0 fEdl=0静电场为保守场 交流条件下ΔV仍由Es确定(成立条件:@不太大,似稳场) 电动力学中给出证明交流电路中仍可应用此二定律, 只不过,△均为t的函数 以RC串联电路为利来说明交流电路的解法: 1)三角解法 (a)只有一个电路,()处处相同 (b)t△V=0 E-△V。-△V-AV=0 Em sin(ot)=Ri sin(at-)+X,i sin(at-+-)+Xci sin(or-o- Rim sin(@t-o)+(X,-xc)im cos(at-o)
第二十六讲 复习： ① 磁场能密度 2 0 1 () () 2 B r u r Br μ μ = r ur r 总磁场能 1 2 ( ) 2 U u r dr L B B = = ∫ i r r ② 交流电 假设流过的电流为：i t( ) sin( ) m = − i t ω φ 则元件两端的电压： ,, ,, , , sin( ) Δ = ⋅ ⋅ − +Δ V Xi t RLC RLC m ω φ φ RLC 1 ; ; X RX L X RL C C ω ω == = 0; ; 2 2 RL C π π Δ = φφ φ Δ = Δ =− （3） RLC 串联电路 对一个复杂的交流电路, 回头看 Kirchhoff 两个定律 第一 ∑i = 0 ← 电荷守恒，交流电荷仍守恒！ 第二 Δ = V 0 ← ∫ ES ⋅ dl = 0 ∫ ur r 静电场为保守场 交流条件下ΔV 仍由 ES 确定（成立条件： ur ω 不太大，似稳场） 电动力学中给出证明,交流电路中仍可应用此二定律， 只不过i,ΔV 均为 的函数 t 以 串联电路为利来说明交流电路的解法： RLC 1） 三角解法 (a) 只有一个电路,i t( )处处相同. (b) Δ = V 0 ∫ 0 VVV RLC ε −Δ −Δ −Δ = sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) 2 2 mm L m C m t Ri t X i t X i t π π ε ω ωφ ωφ = − + −+ + − ω φ − sin( ) ( ) cos( ) = −+ − Ri t X X i t m L ω φ C m ω −φ
im[Rsin ot cosp-Rcos ot sin g +(X1-Xc)cos at cosp+(X1-Xc)sin at sing i [Rcos o+(X2-Xc)sing]sin ot+[CX2-Xc)cos p-Rsind]cos ot) 求解此三角方程 (XL-Xc)cos o-Rsin =0, Em=imVR'+(XL-Xc) 可求出相位 tang=X-5. Lo-I Co R R 可定义阻抗 z=√R2+(x2-x 则 z() z(ω)的物理意义:阻抗为广义电阻,有电阻的量纲,为此线路对此频率的交流 电的“有效”阻碍能力 p的物理意义 8= sIn ot i(0=i sin(at-o φ为电压比电流的位相超前量 p>0,整个电路为电感性的 p<0,整个电路为电容性的}ep=tan 1X1-X R φ=0,整个电路为电阻性的 2)图解法 求解三角方程Asin+A2sin2+……=Bsin中 定义矢量A=( Acos o, Asin g),则上述方程可写为 (A+2+…A),=(B), 因而可进一步等价为求矢量方程:A1+A2+…AN=B。 对现在的情况,可以将V,V2,用二维平面的矢量来表示 表示其矢量的模,相位表示矢量的方向
= − +− +− iR t R t X X t X X t m L [ sin cos cos sin ( )cos cos ( )sin sin ω φ ωφ ω φ ω C L C ] [ φ = +− + − − iR X X t X X R t m L { cos ( )sin sin ( ) cos sin cos φ C L φ ω ] [ C φ φ ω ] } 求解此三角方程 ( )cos sin 0 XX R L C − −= φ φ ， 2 2 ( ) mm L C ε = +− iR X X 可求出相位： 1 tan L C L X X C R R ω ω φ − − = = 可定义阻抗 2 22 1 () ( Z R XX R L L C C ω 2 ) ω = +− = +− 则 ( ) m m i Z ε ω = Z( ) ω 的物理意义：阻抗为广义电阻，有电阻的量纲，为此线路对此频率的交流 电的“有效”阻碍能力。 φ 的物理意义： sin ( ) sin( ) m m t it i t εε ω ω φ ⎧ = ⎨ ⎩ = − φ 为电压比电流的位相超前量 1 0, 0, tan 0, XL C X R φ φ φ φ − > ⎫ ⎪ − < ⇔ ⎬ = ⎪ = ⎭ 整个电路为电感性的 整个电路为电容性的 整个电路为电阻性的 2）图解法 求解三角方程 1 22 sin sin ...... sin AA B φi + += φ φ 定义矢量 AA A = ( cos , sin ) φ φ r ，则上述方程可写为： 1 2 ( ... ) ( ) A ++ = AA B N y y rr r r ， 因而可进一步等价为求矢量方程： 1 2 ... A + A A + = N B r r r r 。 对现在的情况，可以将VVV RLC , , 用二维平面的矢量来表示。 VRLC , , 表示其矢量的模，相位表示矢量的方向
VR(=iSin(ot-) VL(=imX, sin(ot-+ V(1)= iX sin(ot-φ-) VI-Vc Of E=VR+V+Vc矢量相加 假设:x1>X X)+R=iz E的相位由外电动势定为ot 因此E与1(V2)的夹角为φ。由矢量的运算可得 tang= XL-Xc R 完全一样的结果!! =√(x2-x)2+R 对任何复杂的电路,都可以利用这两种方法,即图解法和三角法分别求解 注意:RL的串并联的规律相同,C与尺L的串并联的规律相反。 (4)功率及有功功率 任意一个交流电路E(t)= 8 sin(Ot) i(t)=i sin(ot-o) 电动势的输出功率(瞬时值) E(ti()=Emim sin(at )sin(at-o Emi sin(ot)sin(or)cos o-cos(or )sing] 对交流电路来讲即时功率无意义,平均值更有意义 P=tS P(dt=ie, sin(or) cosp=2 Emin cosg sin(ar) sin ot cos tdt=0 进一步将平均功率写成更物理的形式。先介绍物理量的均方根值 ( root-square- mean value,ms)。问题:如何刻画交流电的平均强度?交流电中的 任意物理量的直接的时间平均值为0:
( ) sin( ) ( ) sin( ) 2 ( ) sin( ) 2 R m L mL C mC V t iR t V t iX t V t iX t ω φ π ω φ π ω φ ⎧ ⎪ = − ⎪ ⎪ ⎨ = − ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎩ + − VVV R L C ε =++ r uur uur uur 矢量相加 假设： XL > X C 2 ( ) R L C ε = − += i X X R iZ ε r 的相位由外电动势定为 ωt 。 因此 ε r 与 i （ ）的夹角为 r VR r φ 。由矢量的运算可得： 2 2 tan ( ) L C L C X X R Z XX R φ − ⎫ = ⎪ ⎬ ⎪ = −+ ⎭ 完全一样的结果！！ 对任何复杂的电路，都可以利用这两种方法，即图解法和三角法分别求解。 注意： R, L的串并联的规律相同，C 与 R, L的串并联的规律相反。 （4）功率及有功功率 任意一个交流电路 ( ) sin( ) m ε t t = ε ω ( ) sin( ) m it i t = ω −φ 电动势的输出功率（瞬时值） [ ] ( ) ( ) ( ) sin( )sin( ) sin( ) sin( )cos cos( )sin m m m m dW dq P t tit i t t dq dt it t t ε ε ωω ε ω ω φ ωφ = ⋅= = −φ = − 对交流电路来讲即时功率无意义，平均值更有意义： 2 0 1 1 ( ) sin ( ) cos cos 2 T P P t dt i t i m m m m T = = ⋅= ε ω φε ∫ φ 2 0 1 1 sin ( ) 2 t t T ω = ∫ ， 0 1 sin cos 0 T t tdt T ω ω = ∫ 进一步将平均功率写成更物理的形式。先介绍物理量的均方根值 （root-square-mean value, rms）。问题：如何刻画交流电的平均强度？交流电中的 任意物理量的直接的时间平均值为 0：
E i(t)=0 因此,不可以用平均值来刻画。我们通过电动势的均方根值,或叫有效值来刻 画定义为√=(0)2=6m,简单计算可得 Erms=vEm sin(or)=En 同理 因此,平均功率可以写成:P=Emm:cos 注意到Em=in·Z(),因此,Em=lm·Z 利用上式可将平均功率写成更物理的形式 、5-cOSφ 从上式可以清楚的看到cos的物理意义。与直流电相比,关系式Emn=in·Z() 显示Z好像起着与R一样的功能,然而平均功率的表达式显示功率的最大可能 值是由Z决定,能否达到这个最大的可能值是由cosp决定。从这个意义上讲 cosSφ又被定义为功率因数。Z,φ是描述一个电路性质的两个重要参数,缺一不 可 注意能量在R上的平均耗散 R R: 因此P=dQ dt 结论:外电动势对体系做的“有用功”全在电阻上耗散(平均意义),在L,C上 没有“平均”意义上的做功 分析 a)提高功率因数有什么方法? X2-Xc|变小∈cosp= R R2+(X1-X 通常电路是电感性的,可以串联一些电容提交功率因数
ε () 0 t = i t() 0 = 因此，不可以用平均值来刻画。 我们通过电动势的均方根值，或叫有效值来刻 画。定义为: ( )2 ( ) rms ε t = ε . 简单计算可得： 2 2 sin ( ) 2 m rms m t ε ε εω = = 同理 2 rms m i i = 因此，平均功率可以写成： cos P i rms rms = ⋅⋅ ε φ 注意到 ( ) m m ε = ⋅ i Z ω ，因此， rms rms ε = i Z⋅ 利用上式可将平均功率写成更物理的形式： 2 cos rms P Z ε = φ 从上式可以清楚的看到cosφ 的物理意义。与直流电相比，关系式 ( ) m m ε = ⋅ i Z ω 显示 Z 好像起着与 R 一样的功能，然而平均功率的表达式显示功率的最大可能 值是由 Z 决定，能否达到这个最大的可能值是由cosφ 决定。从这个意义上讲， cosφ 又被定义为功率因数。 Z,φ 是描述一个电路性质的两个重要参数，缺一不 可。 注意能量在 R 上的平均耗散 2 2 cos rms rms rms rms rms dQ iR i R i R i dt Z ε = = ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ε φ 因此 dQ P dt = 结论：外电动势对体系做的“有用功”全在电阻上耗散（平均意义），在 L,C 上 没有“平均”意义上的做功。 分析： a) 提高功率因数有什么方法？ X X L − C 变小 ⇐ 2 2 cos ( ) L C R R XX φ = + − 通常电路是电感性的，可以串联一些电容提交功率因数
b)提高功率因数的意义?(Z,φ是电路的两个重要参数) ①P=Em5 cosφ=-cosφ 给定发电机的电动势,通常R给定,减少电抗即可提高cosp 降低Z, 从而提高P,从发电机中更有效得到能源。 Z1 g ②给定发电机的最大输出功率P 假设两用户都可用足(通过调整Z) P=Eicos/=A E·cosφ 品质因子高的用户,小,输电线的电耗小H (5)共振( Resonance) 共振是非常重要的物理概念。考虑一个简单的RLC串联电路,则在给定外加电动 势的情况下,电路的响应为 R2+(oL--)2 15 阻抗Z是的函数 当oL O时,Z=R为最小值,i=二达到极大值! VLC 此时我们称回路达到谐振。在→0,∞两个极限下,i都趋于0,典型的曲线如 上图所示。我们看到不同的条件下,曲线的锋有瘦有胖,如何刻画峰的质量?
b) 提高功率因数的意义？（ Z,φ 是电路的两个重要参数） ① 2 cos cos rms P i rms rms Z ε = ⋅⋅ = ε φ φ 给定发电机的电动势，通常 R 给定，减少电抗即可提高cosφ ，同时也降低 Z ， 从而提高 P ，从发电机中更有效得到能源。 ② 给定发电机的最大输出功率 Pe 假设两用户都可用足（通过调整Z ） cos cos e e P Pi i ε φ ε φ = ⇒= ⋅ 品质因子高的用户i 小，输电线的电耗就小！！！ （5）共振（Resonance） 共振是非常重要的物理概念。考虑一个简单的 RLC 串联电路，则在给定外加电动 势的情况下，电路的响应为： 2 2 1 ( ) i Z R L C ε ε ω ω = = + − 0 5 10 15 20 0 4 8 12 I( ω) ω Large Q Moderate Q small Q Δ ω ω0 阻抗Z 是ω 的函数 当 0 1 1 L C LC ω ω ω ω = ⇒= = 时， Z = R 为最小值，i R ε = 达到极大值！ 此时我们称回路达到谐振。在ω → ∞ 0, 两个极限下，i 都趋于 0，典型的曲线如 上图所示。我们看到不同的条件下，曲线的锋有瘦有胖，如何刻画峰的质量？
品质因子(Q, Quality Factor) 首先定义峰的半宽:l到最大值的时的宽度带宽△O。则峰的半宽的边界对 应的频率满足 z(o)=R2+(0L--)2=√2R 简化为:(oL-—)2=R2 习题:P.842, Problems,12 P. 858. Problems. 2. 4. 6
品质因子（Q，Quality Factor） 首先定义峰的半宽： 到最大值的 mi 1 2 时的宽度带宽Δω 。则峰的半宽的边界对 应的频率满足： 2 2 1 Z() ( ) 2 R L C ω ω ω = +− = R 简化为： 1 2 2 ( ) L R C ω ω − = 习题：P. 842, Problems, 12 P. 858, Problems, 2, 4, 6