第28讲 复习: ·共振的特征:1→,如(→五品质因数Q=xc=刻画了共 振的纯净程度;共振时能量在L和C之间振荡,相互转化。 阻尼振荡 R 2L M组(1%,(2)1m四,(3) E=0,然B(F,1)d≠1,为什么? (二)位移电流 a)简单回答(答案1) 有限长度导线不能通稳恒电流 一定要接其它导线使其闭合 因此B≠B1+Ba jB=b1仍成立(其只对稳恒电流成立) (无限长导线可以认为其它部分处于∞处,对B无贡献) b)深层次考虑(答案2) 的确没有其它导线,如何?此时B·d≠Hl等式的右边须做修正。 怎样修正? 此时,因电荷的连续性,电荷在终端产生积累 电流不可能稳恒,因导线内的驱动电场为 E0+E,故 对非稳恒电流,最简单、最直观的修正方法为 10→0(+a1)(稳恒时回到从前)
第 28 讲 复习： z 共振的特征： I → ∞ ， φ ( 2 2 ) π π − → ；品质因数 L C 0 X X Q R ω ω = = Δ 刻画了共 振的纯净程度；共振时能量在 L 和 C 之间振荡，相互转化。 z 阻尼振荡 2 2 0 2 R L ω ω ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 2L R τ = z Maxwell 方程组 （1） 0 q E ds ε ⋅ = ∫ r r ，（2） B E d dS t ∂ ⋅ =− ⋅ ∂ ∫ ∫ r r r r l ，（3） ∫ B ds ⋅ = 0，然 r r 0 B(,) rt d I ⋅ ≠ μ ∫ r r r l ，为什么？ （二）位移电流 a) 简单回答（答案 1） 有限长度导线不能通稳恒电流 一定要接其它导线使其闭合 因此 B BB T o ≠ +1 r rr ther BT 0 = μ I ∫ r 仍成立 （其只对稳恒电流成立） （无限长导线可以认为其它部分处于 ∞ 处，对 BT r 无贡献） b) 深层次考虑（答案 2） 的确没有其它导线，如何？此时 B 0 ⋅ ≠ d μ I ∫ r r l 等式的右边须做修正。 怎样修正？ 此时，因电荷的连续性，电荷在终端产生积累 电流不可能稳恒，因导线内的驱动电场为 ++ ET E E 0 = + ′ r r r ， 故： I ≠ 0 & 对非稳恒电流，最简单、最直观的修正方法为： 0 0 I I( ++ ------ E' μ → + μ αI)& （稳恒时回到从前） 1
然而注意到另一个事实,如右图所示: 若取d所包围的曲面 为如图所示,则I≡0=0 做修正0→0(+a)仍不正确! 究竟应当如何修正? 麦克斯韦注意到此事实,给出了正确的形式--位移电流 当电流在终端停止时,Ⅰ=0不能流动,电荷积累在支端(电流不闭合的代价) 但电场(而且是变化的)被建立起来了,作为I不稳恒的代价(结果 ≠0(≠0)→q≠00≠0)→E(q,1) 又注意到与 Faraday定律的对称性 E·dC=- Maxwell提出,正确的修正应当加上一项位移电流项: =lol+ lle dE=I+Hoe dt 定义: 为位移电流密度(有电流密度的量纲),则通过一截面 的位移电流为:1D=「元,则安培定律可以形式地写为 d=Ho(c+lD) 其中lC()为传导(位移)电流。 对此改写的深层次的物理讨论 (1)此位移电流形式虽由 Maxwell第一个写出来,其并非一个完全独立的实验 定律 它可以由BS定律+电流守恒定律推出(电动力学的范畴,在此不多 费笔墨) (2)因来源显得很“诡异”,初学者常常误以为位移电流是 Maxwel凭空猜测出 来的。其实,除了对称性要求,此推广有其内在必然性。理解了它有利于我们深 刻理解位移电流的本质,也有利于理解 Maxwell为什么要做这样的推广
++++ ------ 然而注意到另一个事实，如右图所示： 若取 ∫ d 所包围的曲面 r l 为如图所示，则 I ≡ 0 I ≡ 0 & 做修正 0 0 μ I → + μ α (I I)& 仍不正确！ 究竟应当如何修正？ 麦克斯韦注意到此事实，给出了正确的形式----位移电流 当电流在终端停止时， 不能流动，电荷积累在支端 I = 0 (电流不闭合的代价) 但电场（而且是变化的）被建立起来了，作为 I 不稳恒的代价（结果） I ≠ ≠ ⇒≠ ≠ ⇒ 0( 0) 0( 0) ( , ) jq E ρ q t r r & & 又注意到与 Faraday 定律的对称性 B d E d dt ⋅ =− φ ∫ r r l Maxwell 提出，正确的修正应当加上一项位移电流项： 0 00 0 0 E d d Bd I I E dS dt dt φ ⋅= + = + ⋅ μ με μ με ∫ ∫ r r r r l 定义： D 0 j E t ε ∂ = ∂ r r 为位移电流密度（有电流密度的量纲）， 则通过一截面 的位移电流为： D D S I j = ⋅ ∫ r dsr ，则安培定律可以形式地写为 0 ( ) B dl I I μ C D ⋅= + ∫ r r 其中 ( ) C D I I 为传导（位移）电流。 对此改写的深层次的物理讨论 （1）此位移电流形式虽由 Maxwell 第一个写出来，其并非一个完全独立的实验 定律 ------ 它可以由 B-S 定律+电流守恒定律推出（电动力学的范畴，在此不多 费笔墨） （2） 因来源显得很“诡异”，初学者常常误以为位移电流是Maxwell凭空猜测出 来的。其实，除了对称性要求，此推广有其内在必然性。理解了它有利于我们深 刻理解位移电流的本质，也有利于理解Maxwell为什么要做这样的推广。 2
假设安培环路定理被修改为Ed=G6 选如右图所示,对特定的d积分回路,有两个 不同的S。则它们对应的积分应当相等: IBde= G ds= Gds 可改写为: 则GdS-GS=G·d5S=0 其中S为S1与一S2组成的闭合曲面。因此,我 们用于代替j的函数G必须满足散度为0的性质,即 G·dS=0 由电流守恒定理 at q可知:当稳恒条件成立时,中jS=0,因此 此时G=j是自然的选择。即: 了d=1.因-恒时 但一般情况下:9≠0故d≠0,因此G≠(J不满足条件 此时注意到E= % (高斯定理),带入流守恒方程得: Eo E·dS=0= +a t 观察可知: G=j+E0E为一般条件下的自然的选择,满足条件。 (3)位移电流的大小 在导线内部=GE,故50。E=型方,则位移电流为 E·dS E Eo 这个形式的确回到我们最初的假设(在导线内部),即加一项电流变化项
假设安培环路定理被修改为 S B d G dS ⋅ = ⋅ ∫ ∫ r r r r l 选如右图所示，对特定的 d ∫ r l 积分回路，有两个 不同的 S。则它们对应的积分应当相等： S S 1 2 B⋅d G dS G = ⋅= ⋅dS ∫∫ ∫ r r rr rr l 可改写为： 则 1 2 0 SSS G dS G dS G dS ⋅ − ⋅= ⋅ = ∫∫∫ r r rr r r S1 s2 其中 S 为 与1 S 2 −S 组成的闭合曲面。因此，我 们用于代替 j r 的函数G 必须满足散度为 0 的性质，即 r 0 S G dS ⋅ = ∫ r r 由电流守恒定理 j dS q t ∂ ⋅ =− ∂ ∫ r r 可知：当稳恒条件成立时， j dS ⋅ = 0 ∫ r r ，因此 此时G = j 是自然的选择。即： r r 0 S B d j dS ⋅= ⋅ μ ∫ ∫ r r r r l --- 稳恒时。 但一般情况下： q 0 t ∂ ≠ ∂ 故 j dS ⋅ ≠ 0 ∫ r r ，因此 G j ≠ r r （ j r 不满足条件）。 此时注意到 0 q E ds ε ⋅ = ∫ r r （高斯定理）， 带入流守恒方程得： 0 0 j dS E dS 0 j E dS t ε ε ∂ ⎡ ⎤ ⋅ + ⋅ == + ∂ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫∫ r r ⋅ r r r r r & 观察可知： Gj E0 = +ε r r r & 为一般条件下的自然的选择，满足条件。 （3）位移电流的大小 j = σ E r r ，故 0 0 E j t ε ε σ ∂ = ∂ r r & 在导线内部 ，则位移电流为 0 0 D 0 C S S I E dS j dS t I ε ε ε σ σ ∂ = ⋅= ⋅= ∂ ∫ ∫ r r r r & 这个形式的确回到我们最初的假设（在导线内部），即加一项电流变化项。 3
若/以m形式谐变,则b51。因此,当<d/时,1<1 即位移电流可以忽略,上述条件既是似稳场条件,此时回到电工学方程 注意:位移电流不是电流!!可以将位移电流理解成是真实电流的空间延续, 但并雅只要存在真实电流就不存在位移电流。 三)电磁波 (1)引子 我们已得到了 Maxwell方程的最终形式(积分及微分) E·ds Eo V·E=p/l0, fE. di V×E= aB at V·B=0, fB.d/=roll 4VxB=山0+6 dE t “位移电流”的加入直接导致电磁波的产生,这也是 Maxwell方程的直接推论。 无源(没有电荷及电流)区,E,B场的方程非常对称 OaO 事实上右边所列的[E,H的所满足的方程更对称--这是历史的误会,以为H 场为基本物理量。观察此方程可以发现: 变化的磁场可以产生电场 变化的电场可以产生磁场→场可以脱离源而运动 静止电荷→静电场E,稳恒电流→静B 只有q≠0→动B→EM波(加速运动的电荷才能辐射电磁波)。 (2)电磁辐射 高频时,i较重要,交变电流的辐射厉害 eE E
若 I 以 i t Ie ω 形式谐变，则 0 ID ~ c I ε ω σ 。 因此，当 0 ω <<σ ε/ 时， D C I << I ， 即位移电流可以忽略，上述条件既是似稳场条件，此时回到电工学方程。 注意：位移电流不是电流！！！可以将位移电流理解成是真实电流的空间延续， 但并非只要存在真实电流就不存在位移电流。 （三）电磁波 （1）引子 我们已得到了 Maxwell 方程的最终形式（积分及微分）： 0 0 0 , , 0, E dS q B E dl dS t B dS E B dl j dS t ε μ ε ⎧ ⋅ = ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⋅ =− ⋅ ⎪ ∂ ⎨ ⋅ = ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ∂ ⎪ ⋅= + ⋅ ⎜ ⎟ ⎪ ∂ ⎩ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ r r r r r r r r r r r r r 0 0 0 , , 0, E B E t B E B j t ρ ε μ ε ⎧∇⋅ = ⎪ ⎪ ∂ ∇× = − ⎪ ⎪ ∂ ⎨ ∇⋅ = ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ∂ ⎪∇× = + ⎜ ⎟ ⎪ ∂ ⎩ ⎝ ⎠ r r r r r r r “位移电流”的加入直接导致电磁波的产生，这也是 Maxwell 方程的直接推论。 无源（没有电荷及电流）区， E，B 场的方程非常对称： 0 0 0 0 B H E dl dS E dl dS t t E E B dl dS H dl dS t t μ ε μ ε ⎧ ⎧ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⋅ =− ⋅ ⋅ =− ⋅ ∂ ∂ ⎨ ⎨ ⇒ ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⎩ ⎩ ∂ ∂ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ r r r r r r r r r r r r r r r r 事实上右边所列的[E，H]的所满足的方程更对称 --- 这是历史的误会，以为 H 场为基本物理量。 观察此方程可以发现： ⎫ ⎬ ⇒ ⎭ 变化的磁场可以产生电场 场可以脱离源而运动 变化的电场可以产生磁场 静止电荷 ⇒ 静电场 E r ， 稳恒电流 ⇒ 静 B r 只有 qv B EM ≠⇒ ⇒ 0 （加速运动的电荷才能辐射电磁波）。 r & 动 波 高频时， （2）电磁辐射 Di 4 较重要，交变电流的辐射厉害
单极天线 偶极天线 变化电流i=bSin(o)→电磁辐射 互感 共振线路提供最大电流,提高辐射 完整的处理→电动力学、天线理论 简单图像(±号的不对称使场可以离开源) jEd=J5:电场以作为源,满足左手法则 B·dl=poo dS:磁场以E作为源,满足右手法则 变,B变 E亦变 B脱离面去 如果±号不对称性没有,能量不可能脱离源而去,只可能局域在电流的周围。 (3)电磁波的解 (i)假设t时刻E在z点x平面内为一均匀电场,E=E。取如下图所示的安 培环路,则由Bd=「=12可知 b b B b+B B 2 dE,(,=) =E0 ot 当a,b→0时
单极天线 偶极天线 变化电流 0 ii t = sin( ) ω 电磁辐射 共振线路提 完整 线理论 简单图像（ 号的不对称使场可以离开源） ⇒ 供最大电流，提高辐射 的处理⇒电动力学、天 ± B E dl dS t ∂ ⋅ =− ⋅ ∂ ∫ ∫ r r r r ： 电场以 B r & 作为源，满足左手法则 0 0 E B dl dS t μ ε ∂ ⋅= ⋅ ∂ ∫ ∫ r r r r ：磁场以 E r & 作为源，满足右手法则 ⇒ ⇒ i Br 变， 变 E r 亦变 如果 号不对称性没有，能量不可能脱离源而去，只可能局域在电流的周围。 B i r 脱离 而去 ± （3） 电磁波的解 （i） 0 E Ex = ˆ r 假设t 时刻 E r 在 z 点 xy 平面内为一均匀电场， 。取如下图所示的安 培环路，则由 1 0 0 C E B dl dS t ∂ r ⋅ = ⋅ ε μ ∫ ∫ r r ∂ r 可知， 0 0 2 2 22 (,) y y zz x a a bb B z Bz b Bz Bz a ab t ε μ − − + ⋅+ + − − ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎦ ⋅ ∂ 当 时， ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎣ ∂E yz = a b, 0 → 5
左边 B aB dE aE 右边=0at aaO (其实同样的结果也可以由 Maxwel)程的微分形式VxB=0推出) (i)假设t时刻,z点处B场已知 先取定如由图所示的安培环路,应用 币Ed=J可知 E.|z+ E b B ab aE aB 在(a,b→>0)时, 同样道理,选取垂直于z轴的安培环路,应用 Faraday定律可得 aEaE aE =0(初始条件:E∥为均匀场) 因而B.=0,考虑电磁波的解,可取B.=0(静态的磁场解不是电磁波的解)。 因此(i)处得到的方程可简化为人OB =E00 综合上述2个方程可得 aE a-E B OaO B a2B Rollo 此波动方程的解为 E coS(ot B k=Colon k=√oO, 代入可得 B.k√=0o
0 0 0 0 y z z y x x B B ab ab B B E = z y E yz t ab t ε μ ε μ ∂ ∂ ⎫ − ⋅ + ⋅ ⎪ ∂ ∂ ⎪ ∂ ∂ ∂ ⎬ ⇒ −= ∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ = ⋅ ⎪ ∂ ⎭ 右边 （其实同样的结果也可以由 Maxwell 方程的微分形式 左边 0 0 E B t ε μ ∂ ∇× = ∂ r r 推出） （ 假设 时 点处 ii） 刻， z ' t B r 场已知 先取定如由图所示的安培环路，应用 C2 B E dl dS t ∂ ⋅ =− ⋅ ∂ ∫ ∫ r r r r 可知 2 2 y x x a a B E z E z b ab t ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ + − − ⋅ =− ⋅ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎦ ∂ 在(, ) a b → 0 时， Ex By ∂ z t ∂ = − ∂ ∂ 同样道理，选取垂直于 z 轴的安培环路，应用 Faraday 定律可得 0 x x y z B E E E t yxy ∂ ∂ ∂ ∂ =−= E x // ˆ r = ∂∂∂ ∂ （初始条件： 为均匀场） 因而 B& z = 0 ，考虑电磁波的解，可取 0 Bz = （静态的磁场解不是电磁波的解）。 因此（i）处得到的方程可简化为 0 0 y x ∂B E z t ε μ ∂ ∂ − = ∂ 综合上述 2 个方程可得 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 x x x y y y ⎧∂ ∂ E ∂∂ ∂ E E ∂ B z tz t t t B B εμ εμ ε μ ⎛ ⎪ =− =− − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎞ ∂ z t ⎪ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪∂ ∂ = ⎪ ⎩ ∂ ∂ os( ) y y t kz B B ω 此波动方程的解为 c x x E ⎧ ⎫ E0 0 ⎧ ⎫ − ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 代入可得 ⎪ ⎪ ⎨ ⎬⎨ ⎬ = 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 , x 1 y k k E B k ε μ ω ε μω ω ε μ = ⇒= = = 6
