第二十三讲 复习: 动生电动势的物理实质:E=下×B(洛伦兹力产生的非静电等效场);感生 电动势的物理实质:可E·d=丁2d5(产生了一个有旋无源的性质类似 静磁场B的电场,非保守场。) 磁偶极子m与p的相似性 r=mxB F=V(m B) UR=-m B 3.(1)轨道磁矩 -21 l=n42核子的磁矩 <H可以忽略不计 (2)无磁性介质(组成单元没有固有磁矩) 与E对没有固有P的电介质的作用是产生偶极子, 原子 原子 E=0时,介质原子正负电荷中心重合 E≠0时,介质原子正负电荷 中心分离 此时该原子等效为电偶极子。 相似的B→m 完整的处理需要量子力学,因磁性的起源有许多种。 举例: a)均匀电子气 B B=0时,当然电子无规运动,没有任何磁矩m; B存在时,m出现了,电子在磁场作用下打转,本 质是Len定律( Lorentz力)。朗道用量子力学解了这
第二十三讲 复习： 1. 动生电动势的物理实质：E v K = × B r r r （洛伦兹力产生的非静电等效场）；感生 电动势的物理实质： k S B E dl dS t ∂ ⋅ =− ⋅ ∂ ∫ ∫ r r r ur （产生了一个有旋无源的性质类似 静磁场 B ur 的电场，非保守场。） 2. 磁偶极子m 与 的相似性 ur p ur τ = × m B r ur ur F =∇ ⋅ (m B) ur ur ur U m B = − ⋅B ur ur 3. （1）轨道磁矩 2 l e l n m μ = = μ B 核子的磁矩 mP >> me μ P << μe可以忽略不计 _________________________________________________________________ （2）无磁性介质（组成单元没有固有磁矩） 与 E ur 对没有固有 p 的电介质的作用是产生偶极子， ur E = 0 r 时，介质原子正负电荷中心重合 E ≠ 0 r 时，介质原子正负电荷 中心分离， 此时该原子等效为电偶极子。 相似的 B m ⇒ ur ur 完整的处理需要量子力学，因磁性的起源有许多种。 举例： a) 均匀电子气 B = 0 时，当然电子无规运动，没有任何磁矩m ur ur ； B ur 存在时，m 出现了，电子在磁场作用下打转，本 ur 质是 Lenz 定律（Lorentz 力）。朗道用量子力学解了这 1
个问题——朗道能级(量子Hall效应的中心原理) b)无磁性原子 电子绕原子核运动,有分子环流,每个这样的分子环流都贡献一个磁偶极子。当 电子数为一定的数目时(满壳层,2,10,…),在B=0时,因为左旋的电子和 右旋的环流相等,因此相互抵消。有外场时,因为U=-m·B,原子中左旋的电 子(从而产生于外磁场同向的环流)的数目增加,从而使得原子产生诱导磁矩 (3)原子具有固有磁矩m 对一些原子,不加外磁场就已有固有磁矩。产生磁矩的原因是:1)电子不是满 壳层,因此原子内部的电子形成的分子环流不能互相抵消:2)电子本身有自旋 (Spin)。当这些原子组合在一起形成宏观固体时, 固有p在E中 若有固有m,在B中如何? p>=0 类似电介质,磁介质中的这些偶极子的方向完全杂乱无章;但有磁场时,磁矩在 外场的力矩作用下向磁场偏转,因而产生宏观磁矩,如上图所示。 核心 p×E T=m×B P趋向∥E m趋向∥B 综合上面各种情况,我们得到结论:B的出现会产生m,尽管m可能平行于B, 亦可能反平行于B。(不同的起源重要性在不同介质中各不相同) 为了研究磁介质中的磁场行为,下面我们将类比电场的情形,研究磁场如何磁化 介质,磁化后的介质如何产生磁化电流,磁化电流又如何产生附加磁场,反馈回 原来的磁场的。要做到这一点,我们要引入磁化强度、磁化电流、退磁场等概念
个问题—─朗道能级（量子 Hall 效应的中心原理） b) 无磁性原子 电子绕原子核运动，有分子环流，每个这样的分子环流都贡献一个磁偶极子。当 电子数为一定的数目时（满壳层，2，10，…），在 B=0 时，因为左旋的电子和 右旋的环流相等，因此相互抵消。 有外场时，因为U = − ⋅ m B r r ，原子中左旋的电 子（从而产生于外磁场同向的环流）的数目增加，从而使得原子产生诱导磁矩。 （3）原子具有固有磁矩m ur 对一些原子，不加外磁场就已有固有磁矩。产生磁矩的原因是：1）电子不是满 壳层，因此原子内部的电子形成的分子环流不能互相抵消；2）电子本身有自旋 （Spin）。当这些原子组合在一起形成宏观固体时， 固有 在p ur E ur 中 若有固有m ur ，在 B ur 中如何？ 类似电介质，磁介质中的这些偶极子的方向完全杂乱无章；但有磁场时，磁矩在 外场的力矩作用下向磁场偏转，因而产生宏观磁矩，如上图所示。 核心： τ = p E× r ur ur τ = m B× r ur ur p 趋向// ur E ur m ur 趋向// B ur 综合上面各种情况，我们得到结论：B ur 的出现会产生m ur ，尽管m ur 可能平行于 B ur ， 亦可能反平行于 B ur 。（不同的起源重要性在不同介质中各不相同） 为了研究磁介质中的磁场行为，下面我们将类比电场的情形，研究磁场如何磁化 介质，磁化后的介质如何产生磁化电流，磁化电流又如何产生附加磁场，反馈回 原来的磁场的。要做到这一点，我们要引入磁化强度、磁化电流、退磁场等概念。 2
三)、磁化强度 对比电介质极化强度P() △F 对磁介质定义磁化强度M(m)s4m M刻化了介质被磁化的大小的宏观量 对线性介质,M(r)显然正比于B(r)分局域磁感应场 对比P()=5E(r) 应定义M(r)=xnB()/ 历史误会:MG)=,mB)x称作磁化率,对大多数线性介质为常数, Ho 1+2 不依赖于B的大小 (三)磁化电流 在电介质中极化强度P→极化电荷p 磁介质中 磁化强度M→磁化电流Jn 完整的磁化图像B→M→L→B 给定M(),如何求n? 空间中任选一个S求通过此S的总磁化电流/。注意到 (1)所有不在S的分子环流(即小的偶极子m)不计在内 (2)所有在§内的分子环流(m)(因为通过两次,正负抵消) 不计在内 (3)通过S一次的m可计,因此只有边界处有可能 问题变成只考虑S的边界
（三）、磁化强度 对比电介质 极化强度 ( ) i i p P r V = Δ ∑uur ur r 对磁介质定义 磁化强度 ( ) M r mi V Δ = Δ uur uur r M uur 刻化了介质被磁化的大小的宏观量 对线性介质，M ( )r uur r 显然正比于 B( )r ur r ⇔ 局域磁感应场 对比 0 () () Pr Er e = ε χ ur r ur r 应定义 0 () () M r Br = χ m μ uur r ur r 历史误会： 0 1 ( ) ( ) 1 m m M r B r χ μ χ = + uur r ur r m χ 称作磁化率, 对大多数线性介质为常数， 不依赖于 B ur 的大小。 （三）磁化电流 在电介质中 极化强度 P ur ⇒ 极化电荷 ρ P 磁介质中 磁化强度 M uur ⇒ 磁化电流 mI 完整的磁化图像 BM I B →→→m m ur uur 给定M ( )r uur r ，如何求 mI ？ 空间中任选一个S ur 求通过此 S 的总磁化电流 ur mI 。注意到： （1） 所有不在S ur 的分子环流（即小的偶极子m r ）不计在内 （2） 所有在S 内的分子环流（ ur m ur ）（因为通过S ur 两次，正负抵消） 不计在内 （3） 通过S 一次的 可计，因此只有边界处有可能 ur m ur 问题变成只考虑S ur 的边界。 3
看一个分子环流,定义为ml=1S,对d长度边界的总的电流贡献可由下式 计算: m.·dl=i,s·dl=i.dΩ, 其中d为以s为底以dl为高的柱体的体积。将所有与dl相交的分子环流考虑 进来,则 ∑md=∑id→ d ∑ db=Mdl←磁偶极子对d长度边界电流的贡献 将整个边界考虑进去,则有总的极化电流及极化电流密度 M·dl=I 作为对比,极化强度与极化电荷 币Ps=-9=-Pdr 举例应用:应用时注意与安培环路定理jBM=40对比。 例1.一均匀磁化的无限长圆柱磁化强度为M(来源不论),求空间的磁化电流 分布? 解:如图作安培环路1,2,3 (1)I=0(2)ln=hM(3)ln=-hM 这样即可求出磁化电流分布。显然磁化电流为束缚在界面的 电流,此时不宜再用体电流j刻画,可以用面电流密度刻画。 定义:面电流密度Jmh=ln→Jn=ln/h 其物理意义是:设电流均匀分布在表面的一个厚度为o的薄层内,密度为jn, 则Jmh=jm6h=l,故Jm=jn8 此时|Jm 对比la=P 均匀极化时极化电荷面分布 (四)介质中的磁场(完整的磁化图像)
看一个分子环流，定义为 m i j j = s r r ，对dl r 长度边界的总的电流贡献可由下式 计算： m dl i s dl i d jj j ⋅ = ⋅ = ⋅Ω r r r r ， 其中dΩ 为以 s 为底以 为高的柱体的体积。将所有与 dl r dl r 相交的分子环流考虑 进来，则 j j j j m m dl i d dl i d d ⋅ = Ω⇒ ⋅ = = mI Ω ∑ ∑∑ ∑ uur uur r r 即： dI M dl m = ⋅ uur r ←磁偶极子对dl r 长度边界电流的贡献 将整个边界考虑进去，则有总的极化电流及极化电流密度： m m S M ⋅= = ⋅ dl I j dS ∫ ∫ uur r uur ur 作为对比，极化强度与极化电荷 P P V P dS q dr ⋅ =− =− ρ ∫ ∫ ur ur r 举例应用： 应用时注意与安培环路定理 B 0 0 dl I = μ ∫ ur r 对比。 例 1．一均匀磁化的无限长圆柱磁化强度为M uur （来源不论）， 求空间的磁化电流 分布？ 解：如图作安培环路 1，2，3 （1） I = 0 （2） mI = ⋅ h M （3） mI = − ⋅ h M 这样即可求出磁化电流分布。显然磁化电流为束缚在界面的 电流，此时不宜再用体电流 mj 刻画，可以用面电流密度刻画。 定义：面电流密度 / m m mm JhI J I h ⋅= ⇒ = 其物理意义是：设电流均匀分布在表面的一个厚度为δ 的薄层内，密度为 mj ， 则 m m Jh j hI ⋅= ⋅⋅= δ ，故 m m J j = δ 。 此时 m J M= 对比 σ P = P ⇐ 均匀极化时极化电荷面分布 （四）介质中的磁场（完整的磁化图像） 4
得到了所有的碎片,与介质的极化过程类似,磁化的完整图象为 XmB 1+x M B+B B。=B.4F_cldl× Ao[ Imdl r B-S定理对不论传导电流(产生B的源电流或叫做传导电流),还是磁化电流 (束缚电流)均成立。在稳恒条件下,安培环路定理为: Bdl=Ho(I, +Im)=(B,+Bm) 注意到 因此, M-di=I 引入辅助矢量BM 10 则H场满足的环路定理为 H·dl=l H场只与Ⅰ,有关 fD.ds=q, 与D相似,只与q,有关 上面所有关系式是普适的,与介质的种类无关 对线性介质M∝B,根据定义M= B,易得 H=B-M M 即 历史上误以为H为基本物理量,因此定义M与H的比为磁化率。H的物理意义 基本上可以理解成源电流产生的磁场,与D场在电学中的地位相似
得到了所有的碎片，与介质的极化过程类似，磁化的完整图象为： 0 ( ) 1 m f m m m B B M IM m dl B I χ χ μ → = → = ⋅→ + ∫ ur uur uur uur r uur BB B = +f m ur uur uur 0 0 2 2 ˆ ˆ 4 4 f m f m I dl r I dl r B BB r r μ μ π π × × =+= + ∫ ∫ r r uuur uur uur 总 B S − 定理对不论传导电流（产生 Bf uur 的源电流或叫做传导电流），还是磁化电流 （束缚电流）均成立。在稳恒条件下，安培环路定理为： 0 ( )( ) B fm f m ⋅= + = + ⋅ dl I I B B dl μ ∫ ∫ ur r uur uur r 注意到 M m ⋅ = dl I ∫ uur r 因此， 0 f B M dl I μ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⋅= ⎣ ⎦ ∫ ur uur r 引入辅助矢量 0 B H M μ = − ur uur uur 则 H uur 场满足的环路定理为 H f ⋅ = dl I ∫ uur r ⇒ H uur 场只与 f I 有关 D f ⋅ = dS q ∫ ur ur 与 D ur 相似，只与 f q 有关 上面所有关系式是普适的，与介质的种类无关 对线性介质 M ∝ B uur ur ，根据定义 0 1 1 m m M B χ μ χ = + uur ur ，易得： 0 1 1 m m m B H M MM χ μχ χ + = −= −= M ur uur uur uur uur uur 即 M = χ m H uur uur 历史上误以为 H uur 为基本物理量，因此定义M uur 与 H uur 的比为磁化率。H uur 的物理意义 基本上可以理解成源电流产生的磁场，与 D r 场在电学中的地位相似。 5
注意:xmxe的定义的不同!! M=yH=?y Bo ←源场 P=XoE ←总局域场 尽管磁化强度对源场,或局域场都有线性依赖关系。显然,将M定义为正比于 总局域场更合理、直接。进一步看B与H的关系 B=0(H+M)=0(H+xnH)=0(1+xn)H B=104H=1+xn 是相对磁导率 又一次,历史的误会,对比D=s,E [E]为真实场,可以产生力的场 [D刀为辅助场,但,A的定义因历史误会而不同 例2.将载流导线密绕在磁介质棒上,载流导线上的传导 电流为,线圈密度为n,圆柱形内部磁介质磁化率为zm 求空间的B场分布? 解:(1)不用辅助场H 求由传导电流产生的“源”磁场将介质磁化后产生的磁化电流 E=Am→M=1瓦→J=M Ho 1+ 磁化电流产生的附加磁场为 pBnd=Hm→Bn=HJm=HbM 总磁场为源电流产生的磁场及磁化电流产生的附加场的总和: B=Bo+B 考虑到最后的磁化强度及磁化电流是由空间的总磁场决定的,故 行1团+互)=1飞m(m1+M)成(m+M) Ho 1+x 解上面这个自洽方程,得 M(1 M n 1+im zm l+x
注意： , χ m χe 的定义的不同！！ 0 0 ? m m B M H χ χ μ = = uur uur uur ← 源场 P = χeε 0 E ur ur ←总局域场 尽管磁化强度对源场，或局域场都有线性依赖关系。显然，将 M 定义为正比于 总局域场更合理、直接。进一步看 B 与 H 的关系： 00 0 ( ) ( ) (1 ) B = += + = + μ μχ μ HM H H H m m ur uur uur uur uur ur χ u B = μ μ0 r H ur uur 1 μr m = + χ μr 是相对磁导率 又一次，历史的误会，对比 D = ε 0ε r E ur ur ⎡B, E ⎣ ur ur⎤ ⎦ ⎤ ⎦ 为真实场，可以产生力的场 ⎡D H, ⎣ ur uur 为辅助场，但 ,r r ε μ 的定义因历史误会而不同 例 2. 将载流导线密绕在磁介质棒上，载流导线上的传导 电流为 f i ，线圈密度为n，圆柱形内部磁介质磁化率为 χ m ， 求空间的 B ur 场分布? 解：（1）不用辅助场 H uur 。 求由传导电流产生的“源”磁场将介质磁化后产生的磁化电流 0 0 0 0 1 1 m f m m B ni M B J M χ μ μ χ = →= →= + uur uur uur 磁化电流产生的附加磁场为： 0 0 Bm m mm 0 ⋅= → = = dl I B J M μ μ ∫ r μ 总磁场为源电流产生的磁场及磁化电流产生的附加场的总和： B = + B B 0 m ur uur uur 考虑到最后的磁化强度及磁化电流是由空间的总磁场决定的，故 0 0 0 0 0 1 1 () ( ) ( 11 1 mm m m f mm m ) M B B f ni M ni M χ χ χ μ μ μχ μχ χ = += + = ++ + uur uur uur + 解上面这个自洽方程，得 (1 ) 1 1 m m f m m M ni χ χ χ χ − = + + ⇒ 1 1 1 M χ m nif χ χ m m = + + 6
xm·n 故空间的磁场为: B: 1+xmu,M=(1+xm)Aoni,=HA, nm,=Anls z 物理是:在这种条件下,磁化产生的磁化电流(束缚在磁介质的表面)与原来的 传导电流同向,因此可以增强总磁感应场强度 (2)亦可应用万,选取安培环路: f=1→B=m B=HoA H=Hou ni, 用H可以避免使用M及讠,及自洽过程,因而可大大简化处理。但缺点是物理 意义不清晰。 习题:P820-821, Problems,4,6,9 P819 Excersies: 11
M m f = ⋅ χ ni 故空间的磁场为： 0 0 0 1 (1 ) m m f rf m B M n f i ni ni χ μ χ μ μμ χ + = =+ = = ur uur μ 物理是：在这种条件下，磁化产生的磁化电流（束缚在磁介质的表面）与原来的 传导电流同向，因此可以增强总磁感应场强度。 （2） 亦可应用 H uur ，选取安培环路： ∫ H dl I H ni =⇒= f f uur r uur B H = = μμ μμ 0 0 r r ur uur f ni 用 H uur 可以避免使用M uur 及 ，及自洽过程，因而可大大简化处理。但缺点是物理 意义不清晰。 mi 习题：P820-821， Problems，4，6，9 P819， Excersies：11 7