第十讲 真空中的静电场的所有物理:把握一个原则,即电场由电荷产生 (1)①Ed5=q/6—静电场是有源场 (2) dl=0 静电场是无旋场 (3)F= E U=gl E V=-Edi (4)导体的静电平衡条件:导体是个等势体 第29章:物厦中的电行为 物质分为: (超导体)导体(半导体)绝缘体 自由电荷 束缚电荷 导体 静电平衡:三个条件(不再赘述) 动态平衡 (1)电流的定义 看一个电流产生的例子,将一电中性 E 的金属平板放在外电场E0中,电荷在外电场 中性金属扳 的作用下移动,会产生附加场E', t=0时,E=0,故电荷可以流动, 1→O时,E=-E,E=E+E=0 此时处于平衡情况,电荷运动也就停止下来
第十讲 真空中的静电场的所有物理：把握一个原则，即电场由电荷产生 （1） E dS q 0 ⋅ = ε ∫ ur ur —— 静电场是有源场 （2） E ⋅ = dl 0 ∫ ur r —— 静电场是无旋场 （3） F = qE ur ur ⇔ E V = −∇ ur c c U qV q E dl = =− ⋅ ∫ ur r ⇔ V E = − ⋅ dl ∫ ur r （4）导体的静电平衡条件：导体是个等势体 第 29 章：物质中的电行为 物质分为： （超导体） 导体 （半导体） 绝缘体 ↓ ↓ 自由电荷 束缚电荷 一． 导体 静电平衡：三个条件（不再赘述） 动态平衡: (1) 电流的定义 看一个电流产生的例子，将一电中性 的金属平板放在外电场 中，电荷在外电场 E0 r 的作用下移动，会产生附加场 E ' r ， ' t E = 0 , 0 r 时 = E ， 故电荷可以流动， ' ' 0 0 t E EEE →∞ =− = + = , , 0 r r r rr 时 内 此时处于平衡情况，电荷运动也就停止下来
假设可以把电荷积累移走,使附加电场E不存在,则电荷可以一直流动下去 一个办法当然用导线将两个界面接起来,利用某种力将积累的正电荷从下表面 搬”到上表面,这样就可以使得电流一直持续下去了。以后我们会明白,这种 外力一定要是某种非静电力 而电流是指:电荷的流动 因此我们可以给出电流的定义 给定一个截面A,单位时间通过此截面的净电荷 电流是标量,只有+,-,没有方向 电流的单位是安培=库仑 i给我们的是一个积分的效应,好像电通量,水通量一样。 回想电通量的定义p=「Ed5,及水通量的定义ψ=jF·d5,分别牵扯了某个 场量在一个截面上的积分(电场强度E,速度场ν),这个场给出了我们所研 究的对象的更微观的信息。哪么,对于电流,是否也存在这样一个微观的场?其 实,这个微观的场就是电流密度j(),满足i=[jdS。 电流密度j(r)的定义: (a)先看所有电荷均匀地垂直通过表面的情况 由于j∥n,那么j成为均匀标量 △S AS△tAS 也就是单位时间通过单位面积的电量。 (b)若电荷分布非均匀,则可把截面分成一个个的小块,在小块内一定均匀 j(r)=△t△S
假设可以把电荷积累移走，使附加电场 ' E r 不存在，则电荷可以一直流动下去。 一个办法当然用导线将两个界面接起来，利用某种力将积累的正电荷从下表面 “搬”到上表面，这样就可以使得电流一直持续下去了。以后我们会明白，这种 外力一定要是某种非静电力。 而电流是指：电荷的流动 因此我们可以给出电流的定义： 给定一个截面 A ，单位时间通过此截面的净电荷 q i t Δ = Δ z 电流是标量，只有+,− ，没有方向 z 电流的单位是安培 = 库仑秒 i 给我们的是一个积分的效应，好像电通量，水通量一样。 回想电通量的定义φ = ⋅ E d S ∫ ur ur ， 及水通量的定义φ = v dS ⋅ ∫ ur r ， 分别牵扯了某个 场量在一个截面上的积分（电场强度 E ur ，速度场v r ）， 这个场给出了我们所研 究的对象的更微观的信息。哪么，对于电流，是否也存在这样一个微观的场？其 实，这个微观的场就是电流密度 j r( ) r r , 满足i j = ⋅dS ∫ r r 。 电流密度 j r( ) r r 的定义： (a) 先看所有电荷均匀地垂直通过表面的情况 由于 j n // ，那么 r r j 成为均匀标量 ， S i j S j dS i q j S tS =Δ= ⋅ Δ = = Δ ΔΔ ∫ 也就是单位时间通过单位面积的电量。 (b) 若电荷分布非均匀， 则可把截面分成一个个的小块，在小块内一定均匀 0 () | S q j r t S Δ → Δ = Δ Δ
j的微观计算方法:如何计算△qg?考虑下图,可知M时间内处于高为l 底面积为△S的柱体内的电子可以通过截面。而l="△,v为电荷的漂 移速度,则 △q=n2q1·△S=nv·Mt·△S,其中n为载流子密度,故, n2qv△t·△S A·AS=ng (c)此定义可以推广到一般情况(电荷分布非均匀,速度不必垂直于截面) 此时有:元()=n()()=P(F(F 通过=∫jd3可以计算通过任意曲面的电流(对比电通量,水通 量),可知这样计算出来的电流的确是符合我们最初的定义:单位时间 通过一个给定截面的电荷总量。 1.电流与电流密度是两个不同的物理量:前者是宏观量,后者是微观量(更准确地讲:微 分量)。前者为0并不必然意味着后者为0,因为截面的方向可以与电流密度的方向垂直。 2.这里我们都仅考虑一种载流子的情况(或正或负)。任意情况(体系中即有正电荷,亦有 负电荷)显然同样适用-隐含在电荷密度上。 (2)电流与电荷密度的关系 S与S2包围的体积△V中 Mt时间进入△V中的电量
j 的微观计算方法：如何计算 Δq ？考虑下图，可知 Δt 时间内处于高为l 底面积为 ΔS 的柱体内的电子可以通过截面。而 d lvt = Δ ， 为电荷的漂 移速度， 则 d v Δ = ⋅Δ = ⋅Δ ⋅Δ q n ql S n qv t S e e d ， 其中 为载流子密度， ne 故， e d e d n qv t S j n qv t S Δ ⋅Δ = = Δ ⋅Δ (c) 此定义可以推广到一般情况(电荷分布非均匀，速度不必垂直于截面) 此时有： () () () () () e d ed j r n r qv r r v r = = ρ r r r r r rr r 通过 i jd = ⋅ S ∫ r ur 可以计算通过任意曲面的电流（对比电通量，水通 量）， 可知这样计算出来的电流的确是符合我们最初的定义：单位时间 通过一个给定截面的电荷总量。 1．电流与电流密度是两个不同的物理量：前者是宏观量，后者是微观量（更准确地讲：微 分量）。前者为 0 并不必然意味着后者为 0，因为截面的方向可以与电流密度的方向垂直。 2．这里我们都仅考虑一种载流子的情况（或正或负）。任意情况（体系中即有正电荷，亦有 负电荷）显然同样适用 --- 隐含在电荷密度上。 （2）电流与电荷密度的关系 1 S 与 包围的体积 S2 ΔV 中 Δt 时间进入ΔV 中的电量
q1=j(S1)△S1M M时间出去△V中的电量 Ag2=j(S2)△S2Mt M时间△V中电量的增加(考虑两个界面的方向) Ag=△q1-△q2=j(S1)·AS1·△t-j(S2)△S2△t S·△t 得流守恒定理 j·dS rai ds 动态平衡条件:P(r)=0,即任意位置的电荷分布不随时间变化 稳恒时电流分布是个无源场 应用到导线内部 ∫ds-∫7d2=0 Jm dSm=i 在稳恒条件时,导线内的电流处处相同, 电流密度 G(r) 可知电流密度不相同,截面越小,电(水)流越急 (3)欧姆介质 注意到j=nqv,要计算j与什么有关,从左式中可知要考虑速度与什么 有关?由牛顿第二定律m=qE,我们来做一个简单的猜测,就是j∝E
1 11 Δ = ⋅Δ ⋅Δ q jS S ( ) r uur t t Δt 时间出去 中的电量 ΔV 2 22 Δ = ⋅Δ ⋅Δ q jS S ( ) r uur Δt 时间ΔV 中电量的增加 （考虑两个界面的方向） 1 2 11 2 2 qq q j() () S St j S S j dS t Δ =Δ −Δ = ⋅Δ ⋅Δ − ⋅Δ ⋅Δ =− ⋅ ⋅Δ ∫ r uur r uur r ur t 得流守恒定理： q dq j d S t dt Δ = =− ⋅ Δ ∫ r ur ⇓ e ρ ( )r dr =− ⋅ j d S ∫ ∫ rr r ur & 动态平衡条件 ： ρe () 0 r = ，即任意位置的电荷分布不随时间变化 r & ⇓ j dS ⋅ = 0 ∫ r ur ⇔ 稳恒时电流分布是个无源场 ⇓ 应用到导线内部 11 2 2 j dS j dS ⋅−⋅ = 0 ∫ ∫ ur uur uur uur 11 2 2 m m j ⋅ = ⋅ = ⋅⋅⋅⋅ = ⋅ = dS j dS j dS i ∫∫ ∫ ur uur uur uur uur uur 在稳恒条件时，导线内的电流处处相同， 电流密度 ( ) i j r S = Δ 可知电流密度不相同，截面越小，电（水）流越急 （3）欧姆介质 注意到 j d = nqv r uur ，要计算 j r 与什么有关，从左式中可知要考虑速度与什么 有关？由牛顿第二定律mv = qE r r & ，我们来做一个简单的猜测，就是 j E ∝ 。 r ur
欧姆介质的定义:=σE其中a是电导率与电场、电流无关,仅与材料性质 有关。 所有满足j=E的介质叫欧姆介质或线性介质,半导体,超导体即非欧姆介质 安/米2安/伏 的单位是西门子,考虑到口1B伏/米米,可知:=1安代伏。 由电导率的定义可以定义一个新的物理量:电阻率 E=p小其中p=1/7是电阻率,单位是欧姆米 E,J,σ,p都是微分量,不易观测, E(r=pj(r) j(r)=oE(r) 它们相应的宏观量较容易观测,比如对一个 长度为l,截面积为A的欧姆导体,由微分量之间的关系可以推出: E=pj 4O-·I=RI R= E,j是微观(分)量,p是材料的本征性质,与形状,大小无关 V,Ⅰ是宏观量, R是具体到一定形状,大小的一个物体上 V=IR的适用范围可能更广,毕竟Ⅰ~V曲线总可以观测 如何翻译到a,p则大费思量 通常材料 半导体 欧姆介质
欧姆介质的定义： j E = σ r ur ，其中σ 是电导率与电场、电流无关， 仅与材料性质 有关。 所有满足 j = σ E r ur 的介质叫欧姆介质或线性介质，半导体，超导体即非欧姆介质。 σ 的单位是 西门子米，考虑到 2 / / ~ / / σ j E = = 安米 安 伏 伏米 米 ，可知：1 1 西 安伏 = 。 由电导率的定义可以定义一个新的物理量：电阻率 E = ρ j ur r ， 其中 ρ =1/σ 是电阻率，单位是欧姆 米⋅ E j ,, , σ ρ ur r 都是微分量，不易观测， () () () () E r j jr Er ρ σ = = ur r r r r r ur rr 它们相应的宏观量较容易观测，比如对一个 长度为 l, 截面积为 A 的欧姆导体，由微分量之间的关系可以推出： E = ρ j ⇒ I l V l IRI A A = ⋅ = ⋅= ρ ρ ⇓ l R A = ρ E, j 是微观（分）量 ， ρ 是材料的本征性质，与形状，大小无关 V I, 是宏观量 ， R 是具体到一定形状，大小的一个物体上 V IR = 的适用范围可能更广 ，毕竟 曲线总可以观测。 I V~ 如何翻译到σ , ρ 则大费思量 I V 半导 体
负电阻 炭管(仙台 (4)欧姆定律的微观机制 a)经典理论 在经典理论中,导体中的电子可以看成自由电子。在外场下,电子受力 F=qE,由牛顿第二定律:m=F,因此在电场下,电子一直做加速运动。自 由电子气的速度可以写成两个部分:=v+,可是无规热运动,亏是定向漂 移速度。 由于电子无规运动向各个方向的几率都一样的,所以()=()。平均意义下, 我们只需考虑电子的漂移运动。 问题是:电荷在外场的作用下一直在做加速运动,得不到一个稳恒的电流。 必须有其他的机制来平衡外场力的作用,才可能建立稳恒的电流! 电子之间的碰撞可以改变一个电子的速度,但这属于内力,不能改变整个 自由电子气的平均速度!这个机制一定是其他粒子(杂质,声子等)对电 荷(子)的散射! 考虑了其他粒子的散射贡献之后,电子的运动方程可以改写成 dv, ge F 右边的第二项是散射对电子的作用力,显然非常复杂。为了定量考虑这一 贡献,让我们对散射作如下近似 1)定义τ为电子平均两次被异类粒子散射的间隔时间,通常称作迟豫时 间 2)假设电子被散射后将原有的定向运动的漂移速度完全忘记
（4）欧姆定律的微观机制 a) 经典理论 在经典理论中，导体中的电子可以看成自由电子。在外场下，电子受力： F = qE r r ，由牛顿第二定律：mv F = r r & ，因此在电场下，电子一直做加速运动。自 由电子气的速度可以写成两个部分： r vv v = + d r r r ， r v r 是无规热运动， 是定向漂 移速度。 d v r 由于电子无规运动向各个方向的几率都一样的，所以 d = vv 。平均意义下， 我们只需考虑电子的漂移运动。 问题是：电荷在外场的作用下一直在做加速运动，得不到一个稳恒的电流。 必须有其他的机制来平衡外场力的作用，才可能建立稳恒的电流！ 电子之间的碰撞可以改变一个电子的速度，但这属于内力，不能改变整个 自由电子气的平均速度！这个机制一定是其他粒子（杂质，声子等）对电 荷（子）的散射！ 考虑了其他粒子的散射贡献之后，电子的运动方程可以改写成： d s dv F qE dt m m = + r r r ca ， 右边的第二项是散射对电子的作用力，显然非常复杂。为了定量考虑这一 贡献，让我们对散射作如下近似 1） 定义τ 为电子平均两次被异类粒子散射的间隔时间，通常称作迟豫时 间。 2 ） 假设电子被散射后将原有的定向 运动的漂移速度完全忘记
( Dephasing),变成只有完全无规热运动。 在这两个近似下,根据牛顿第二定律,散射对电子有效作用力为 其中Δ为M时间内粒子的因散射而改变的漂移速度。根据近似1),M 时间内被散射的机率为—;根据近似2),每次散射后速度改变为 (0-1)。因此, ) 故,散射贡献的等效力为 带入可得, dva ge 迟豫时间近似下的运动方程 电场下的稳恒电流?要求v不随时间变化,则有 何Er~E-的确证实了我们最初的猜测! /=m=忽 E 物理讨论: 1)与不同物理量之间的关系:电子密度大,则电流大;电荷质量大,则惯 性大,不易被加速,同样驱动力下电流因此小;迟豫时间长,意味着散射的几 率小(杂质密度低,样品纯净),因而导体的导电性能好。 2)散射的作用可以类比于摩擦力:F=-m=-,a为廖擦系数或粘 滞系数。外场与摩擦力平衡时决定了终态电流-就像在沙子上拉车,或是将 个小球从液体中释放,终态速度正比于电场、牵引力、或是重力 3)更深层次的物理在能量交换上。考虑电场作用下的电荷体系,电场一直 对电荷作功,然而若我们要求电流稳恒,则意味着体系的机械能没有变化。能 量到哪里去了?-思考 b)经典物理图象的困难 经典图像尽管直观易懂,但有几点与实验不符
（Dephasing），变成只有完全无规热运动。 在这两个近似下，根据牛顿第二定律， 散射对电子有效作用力为 d sca dp v F m dt t Δ = = Δ r r r 其中 为 时间内粒子的因散射而改变的漂移速度。根据近似 Δvd 1）， r Δt Δt 时间内被散射的机率为 t τ Δ ；根据近似 2），每次散射后速度改变为 (0 − vd ) r 。 因此， ( ) 0 d d t t v v τ τ ⎛⎞ ⎛⎞ Δ Δ Δ = − =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ r r d v r 故，散射贡献的等效力为 d d sca v v Fm m t τ Δ = =− Δ r r r 带入可得， d dv v qE dt m d τ = − r r r --- 迟豫时间近似下的运动方程 电场下的稳恒电流？ 要求 d v r 不随时间变化，则有 d ~ Eq v m = τ E r r r --- 的确证实了我们最初的猜测！ 2 d nq j nqv E m τ ⇒= = ⇒ 2 nq m σ = τ 物理讨论： 1）与不同物理量之间的关系：电子密度大，则电流大；电荷质量大，则惯 性大，不易被加速，同样驱动力下电流因此小；迟豫时间长，意味着散射的几 率小（杂质密度低，样品纯净），因而导体的导电性能好。 2) 散射的作用可以类比于摩擦力： d sca d v F m v r r α r ， τ =− =− α 为摩擦系数或粘 滞系数。外场与摩擦力平衡时决定了终态电流 --- 就像在沙子上拉车，或是将 一个小球从液体中释放，终态速度正比于电场、牵引力、或是重力。 3）更深层次的物理在能量交换上。考虑电场作用下的电荷体系，电场一直 对电荷作功，然而若我们要求电流稳恒，则意味着体系的机械能没有变化。能 量到哪里去了？--- 思考。 b) 经典物理图象的困难 经典图像尽管直观易懂，但有几点与实验不符
(1).金属电阻的温度依赖关系 在低温下,可以假设散射主要由杂质贡献。设 杂质之间的平均间隔为λ:又称作平均自由程 其物理意义就是电子平均运动多少距离碰到一次 散射。显然这个量基本上不随温度T变化 经典物理中,可以由此计算出迟豫时间对T的 依赖关系 T-12(见习题) 故 然而真实的测量结果为 OUT Po 两点不符:a)即使温度为绝对零度也有电阻p0! b)对温度的依赖关系亦不相同! (2)平均自由程A是多少? 电子在晶格中运动,平均经过一个晶格长度就会被离子实散射一次,似 乎l就是晶格周期a!至少在经典力学中这样考虑是合情合理的。然而, 0世纪初,人们发现这个图像是错误的。在理想固体(晶格完美,没 有缺陷及杂质),实验发现l→∞!这是一个惊人的结果,因为电子 直在受到离子实的散射,为什么这些散射不会导致电阻呢?这是经典力 学的困难。 这些问题直到量子力学建立以后才解决 c)量子力学的图象:(更深一步了解) 在量子力学里,经典的电阻的图像基本正确,但需要做如下修正 (1)电子质量m→m有效质量 (2)()=0--热运动的平均值为0(杂乱无章),这点一致 量子:(,)=v→费米速度:热运动的速率几乎与温度无关!,参 与导电的电子以ν为速率,方向杂乱无章的运动。 (3)仍有平均散射时间(迟豫时间)的概念。而且进一步,因为热运动的 速率恒为vr,迟豫时间与平均自由程的关系为l=vr,但>a
（1）. 金属电阻的温度依赖关系 在低温下，可以假设散射主要由杂质贡献。设 杂质之间的平均间隔为λ ：又称作平均自由程 其物理意义就是电子平均运动多少距离碰到一次 散射。显然这个量基本上不随温度 T 变化。 经典物理中，可以由此计算出迟豫时间对 T 的 依赖关系 （见习题） 故： 1/2 τ ~ T − T ne m ~ 2 τ ρ = 然而真实的测量结果为 ρ τ ~)( ρ 0 +αT 两点不符：a）即使温度为绝对零度也有电阻 ρ 0！ b）对温度的依赖关系亦不相同！ （2）平均自由程λ 是多少？ 电子在晶格中运动，平均经过一个晶格长度就会被离子实散射一次，似 乎 就是晶格周期 ！至少在经典力学中这样考虑是合情合理的。然而， 20 世纪初，人们发现这个图像是错误的。在理想固体（晶格完美，没 有缺陷及杂质），实验发现 l a l → ∞ ！这是一个惊人的结果，因为电子一 直在受到离子实的散射，为什么这些散射不会导致电阻呢？这是经典力 学的困难。 这些问题直到量子力学建立以后才解决 c) 量子力学的图象：（更深一步了解）， 在量子力学里，经典的电阻的图像基本正确，但需要做如下修正 （1）电子质量 → mm ∗ 有效质量 （2） 0 r v = r --- 热运动的平均值为 0（杂乱无章），这点一致。 量子： 2 rr f vv v ⋅ =→ r r 费米速度：热运动的速率几乎与温度无关！，参 与导电的电子以 f v 为速率，方向杂乱无章的运动。 （3）仍有平均散射时间（迟豫时间）的概念。而且进一步，因为热运动的 速率恒为 f v ，迟豫时间与平均自由程的关系为 = ⋅τ f vl ， 但l >> a
在量子力学中,导电电子的一个完整图象是:电子以vr=100m/s的 速度作无规则运动,但整体有一个极其缓慢10m/s的漂移速度 解决经典图像的问题: 电阻率的温度依赖关系 ①即使≈=0,量子图像中电子仍以费米速度运动,r=→2,因此仍 会碰到杂质从而产生电阻,这就是P的来源!(经典图像中 →∞(T→0),低温下电子运动极其缓慢,散射时间无穷长!) ②T上升,无规运动变大,更快遇到杂质,τ变小,ρ变大 p=p(1+an),但解释此线性依赖关系要用到费米球的概念,这里不再 进一步介绍了 2.对第二个问题,量子力学建立之后, Heisenberg把这个问题交给了他的学 生 Bloch, Bloch完美地解决了这个问题,并因此获得了Nobl奖。 习题 P. 674, Questions: 4, Problems:2,4,6,8,10,14,16
在量子力学中，导电电子的一个完整图象是：电子以 smv f 6 = 10 的 速度作无规则运动，但整体有一个极其缓慢 sm 4 10 − 的漂移速度。 解决经典图像的问题： 1．电阻率的温度依赖关系 ① 即使 T=0，量子图像中电子仍以费米速度运动， 2 f v v λ λ τ = → ，因此仍 会碰到杂质从而产生电阻，这就是 ρ 0 的来源！（经典图像中 2 ( 0) T v λ τ = →∞ → ，低温下电子运动极其缓慢，散射时间无穷长！） ② T 上升，无规运动变大， 更快遇到杂质， τ 变小， ρ 变大 0 ρ = + ρ α (1 ) T ，但解释此线性依赖关系要用到费米球的概念，这里不再 进一步介绍了。 2． 对第二个问题， 量子力学建立之后，Heisenberg 把这个问题交给了他的学 生 Bloch，Bloch 完美地解决了这个问题，并因此获得了 Nobel 奖。 习题： P．674， Questions：4， Problems：2，4，6，8，10，14，16