第八讲 上次课 电势能的引入U/()-U()= 能量的守恒与转化,电势能是相互作用能 *两个点电荷的电势能U/1 q142 4丌E|i;-F N个点电荷体系的电势能U= q1 9q 4Eo 5r 对点电荷之间的电势能只数一次,相互作用 电势,一个电荷体的做功的能力()-0()=-Ed 点电荷q9= 4E0 电荷体系分、l 1 p(r)dr 连续 P(r) 4兀E0 (5)举例 1,偶极子 q
第八讲 上次课： * 电势能的引入 ( ) () f i U f −Ui F d =− ⋅ ∫ v v l 能量的守恒与转化，电势能是相互作用能 * 两个点电荷的电势能 1 2 01 2 1 4 | | q q U πε r r = −r r N 个点电荷体系的电势能 0 1 4 | i j i j i j q q U πε > r r = − | ∑ r r 一对点电荷之间的电势能只数一次，相互作用 * 电势，一个电荷体的做功的能力 ( ) () f i ϕ ϕ f − i E =− ⋅ d ∫ r v l 点电荷 q 0 1 4 q r ϕ πε = 电荷体系 0 1 4 | | i i i q r r ϕ πε = − ∑ r r 连续 0 1 () ( ) 4 | | r dr r r r ρ ϕ πε ′ ′ = − ′ ∫ r r r r r （5）举例 1．偶极子 l +q -q r + r - P = q r r l
+q的位置0,+=)= q的位置(00,-)=E 线性叠加原理 (F)=V+(F)+V(F) 4ms0|-F|4xE0|产-F F-F厂=(-F)(F-F 2F]2≈(r2-2F,元) 2 F·F1F·F (1 (1+-2) 同理|- 48 qF·(-F)1F 4 4丌 2.电四极子 定义 q(0,0,)=F1-q(0,0,0) a (0,0,-()=F2 (0,0,0)=F q
+q 的位置 (0,0, ) 2 r + = + l r −q 的位置 (0,0, ) 2 r − = − l r 线性叠加原理 0 0 1 1 () () () 4 | | 4 | | q q Vr V r V r πε rr rr πε + − + − − =+= + − − r rr r r r r 1 1 2 | | rr rr rr (( ) ( ))− − − = − ⋅− + ++ rr rr rr 1 1 2 2 2 2 2 [ 2] (2 r r rr r rr ) − − = +−⋅ ≈ −⋅ + + + r r r r 1 2 2 2 1 11 2 (1 ) (1 ) rr rr rr r r r r rr − 3 + + + ⋅ ⋅ ⋅ = − ≈ + =+ rr rr rr 同理 1 3 1 | | r r r r r r − r ⋅ − − ≈+ − r r r 3 3 0 1 1 () [ ] 4 q rr rr V r πε rr rr + − ⋅ ⋅ = + −− r r r r r 3 33 0 00 ( ) 1 1 ~ 4 44 q r rr r q r rr ρ πε πε πε + − ⋅ − ⋅ ⋅ = == 2 r 1 r rr r r r r r l 2．电四极子 定义： 1 q r (0,0, ) + = + r l 1 q r (0,0,0) − = − r 2 q r (0,0, ) + − = + r l 2 q r (0,0,0) − = − r +q -q p -q +q p
线性叠加原理1 4TEo- F-r 阶近似结果为0,必须仔细考虑高阶贡献 厂沿任意方向的结果很复杂,计算沿Z方向 el+e 12zq2 478 Z-e [z2-2=z-()]=(1+) 22)z2+z4 Q=2q2 8 TE 单极q E 偶极P E 四极Q E~? V=Av +by+cv+ 高阶 delay快 3,荷电圆盘RQ=xRo I p(r)dr 解: 4TeoJr-r 1c2rdh·o 4丌
线性叠加原理 01 2 1 2 [ ] 4 | || | q q V πε rr rr r + + = + − − rr rr q − 一阶近似结果为 0，必须仔细考虑高阶贡献 r r 沿任意方向的结果很复杂，计算沿 Z 方向 0 1 2 [ ] 4 | || | q q V q πε Z Z Z = + − + l l − 2 2 0 12 2 [ ] 4 Zq q πε Z Z = − − l 2 2 2 21 2 21 2 22 1 1 [ ] [1 ( ) ] (1 ) 2 Z Z 4 Z Z ZZ −− − − = − = + ≈+ l l l l 2 3 3 0 0 12 1 [ ] 4 4 q Q V πε πε Z Z = = l 2 Q q = 2 l 单极 q 1 V ~ r 2 1 E ~ r 偶极 P 2 1 V ~ r 3 1 E ~ r 四极Q 3 1 V ~ r ? 1 E ~ ? r ...... V AV BV CV =+++ qPQ ↓ 高阶 delay 快 3．荷电圆盘 R 2 Q R = π σ 解： 0 1 () ( ) 4 | | r dr V r r r ρ πε ′ ′ = − ′ ∫ r r r r 2 2 0 1 2 ( ) 4 rdr V Z Z r π σ πε ⋅ = + ∫
gdr 2√r2+Z Z 80(r+Z R2+22 R2+22-1|2 28g (2+R)2=z(+(2yz+2(2 I R R V(Z) 28 2 Z2 4re z2 4re Z R>>Z (R2+z)%=R(+(2y7≤R+121R+2R 2R 2e(R-1ZD ≈ (6)电势→电场
2 2 2 1 2 2 2 0 0 1 2 4 4 ( ) R dr r Z r Z σ σ σ ε ε = = + ∫ + 22 2 0 [ ] 2 R Z Z σ ε = +− r z 2 2 0 [ | 2 R Z Z |] σ ε = +− Z >> R 1 1 22 2 2 2 2 1 2 ( ) [ (1 ( ) ] | |[1 ( 2 R R ZR Z Z ) ] Z Z + =+ ≈+ 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 22 4 4 RR Q V Z 2 Z Z Z0 σ πσ ε πε π = == ε R >> Z 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 ( ) [(1 ( ) ] [1 ] 2 2 Z Z RZ R R R R R R Z R + = + ≈ + ≈+ ≈ 0 () ( | |) 2 V Z σ R Z ε ≈ − ~z ~z -2 z V （6）电势 电场 ⇒
0(G1)-0()=-Ed 维 0(Z)-0(z)=-E2(Z)z 当24-2B=△Z→>0时 q(ZB+△z)-0(Z8)≈-E2(ZB)△Z E2(Z)≈-(z) qp(ZB+△z)-0(Z △Z AZ→0 E2z→d=dZ,(+△Z),F→(F)} 三维任何方向的电场积分path∥/该方向 Ez(x, y,=) a(x,y,2) aZ c((x y Ex(x, y,=) E OX Ex→>(F+△x),dC=dx,F→()} E(r=-Vo(r 产的方向与d的方向不必一样,无关系;E的方向与求导的方向相同E∥, lEko 0()→0(+n)n=δx+j ()举例 例1:由带电圆盘的电势,求周围电场。圆盘半径为R,电荷密度为σ。 解:(∠)=0 R2+z2-|Z 28
() () A B r A B r ϕ ϕ rr E − =− ⋅ ∫ r r d r r r r l 一维 ( ) ( ) () A B Z AB Z Z ϕ ϕ Z − =− ⋅ Z EZ ∫ dZ 当 ZZ Z A B − =Δ → 0 时 ( ) () () ϕ ZB BZ +Δ − ≈ − ⋅Δ Z Z EZ ϕ B Z 0 () ( ) () ( ) BB B Z B Z Z ZZ Z E Z Z Z ϕϕ ϕ Δ → ∂ + Δ − ≈− =− ∂ Δ { E d dZ r Z r r Z → = +Δ → , ( ), ( ) ϕ ϕ } r r r l r 三维 任何方向的电场 积分 path // 该方向 (, ,) (, ,) Z x y z E xyz Z ∂ϕ = − ∂ (, ,) (, ,) X x y z E xyz X ∂ϕ = − ∂ E y y ∂ϕ = − ∂ { ( ), , ( E r x d dx r X → +Δ = → ϕ ϕ r r) r r r l } ⇓ Er r () () = −∇ϕ r r r r r 的方向与 的方向不必一样，无关系； d r l E r 的方向与求导的方向相同 ， E n // ˆ r | | E n ∂ϕ = ∂ ϕ() ( ) r r → + ϕ n r r r n x = δ + δ y r r r (7) 举例 例 1：由带电圆盘的电势，求周围电场。圆盘半径为 R，电荷密度为σ 。 解： 2 2 0 () [ | |] 2 VZ R Z Z σ ε = +−
E2(Z) av(z) az 28 R+Z Z|→>0E2(2)→ o ZI z均匀电场 O 1Z|→>0E2(乙m V(z E2(z) ()z曲线 E()口曲线 注意:我们求得了盘中心线上的电势V(Z),由电势可以求得E2(Z),但我们 不能讲E、(2)=0E,(2)=0,因为我们只知道中线上的电势V(0,0,Z),要 知道Ex(Z)必须知道(X,0,Z)。 例2:由偶极子的电势→E 1 PCr V(F)→ 4e ——偶极子全空间的电势,由此可以看出由电势求电场的好处 假设P∥Z V(r) 因为E=-VV(F),以计算Z方向为例 E(r) 1 P 3 P= ar 1 V(r) 4兀E0 4丌 f r az4E 我们检查几个极限情形
2 2 0 ( ) | | ( ) [ ] 2 Z V Z Z Z E Z Z R Z Z σ ε ∂ =− = − + ∂ + ||0 Z → 0 | | ( ) 2 Z Z E Z Z σ ε ⇒ 均匀电场 | | Z → ∞ 2 0 ( ) 4 Z Q E Z πε Z ⇒ Vz z ( ) 曲线 ( ) Ez z z 曲线 注意：我们求得了盘中心线上的电势 ，由电势可以求得 V Z( ) ( ) EZ Z ，但我们 不能讲 ，因为我们只知道中线上的电势 ，要 知道 必须知道 。 () 0 E Z x = () 0 E Z y = V Z (0,0, ) ( ) E Z X VX Z ( ,0, ) 例 2：由偶极子的电势V E ⇒ 解： 3 0 1 Pr ( ) 4 V r πε r ⇒ r r r ——偶极子全空间的电势，由此可以看出由电势求电场的好处 假设 ˆ P Z // r 3 0 1 ( ) 4 Pz V r πε r = r 因为 E = −∇V r( ) r r ，以计算 Zˆ 方向为例 2 34 3 00 0 1 3 1 13 () () [ ] 44 4 z 5 P Pz r z E r Vr z r rz r πε πε πε ∂ ∂ =− =− + = − + ∂ ∂ r r r 我们检查几个极限情形
12 F=(0,0,2)E2(0.0,)=[ 丌E二 F=(x,0,0)E2z(x,0,0)= 4 ZE x 与直接求解所得电场相比完全一致。 已知全空间的电势!任意位置的电场E(F),任意方向的分量均可求得, 由电场直接求解要麻烦许多! 偶极子的电场|E E|~|VV|,求导的结果是级数+1--- General law 比如四极子 E 有兴趣的同学试求解E2()E,(),比较与直接求电场的不同 (1).定义 V(F)是电势的空间分布,V(F)=常数的位置定义了一个等势面 维分布→>面 维分布→线 维分布→点 (1)两个等势面不可能相交 若V(F)=C1,V(F)=C2,则V(F)=? (2)每个等势面应当是连续的,否则电场在边缘处没有定义。 点电荷的等势面 4 常数
r z = (0,0, ) r 3 3 0 0 1 13 1 (0,0, ) [ ] 4 4 E z z πε zz z πε = −+ = 3 2 r x = ( ,0,0) r 3 5 0 0 1 10 1 ( ,0,0) [ ] 4 4 E x Z 3 1 πε x x x πε = − + =− 与直接求解所得电场相比完全一致。 已知全空间的电势！任意位置的电场 E( ) r r r ，任意方向的分量均可求得， 由电场直接求解要麻烦许多！ 偶极子的电场 3 1 | | E ~ r | |~| E ∇V | ，求导的结果是级数+1------General law! 比如四极子 3 1 V ~ r 4 1 E ~ r 有兴趣的同学试求解 ( ) E r x r ( ) E y r r ，比较与直接求电场的不同。 等势面 （1）．定义 V r( ) 是电势的空间分布，V r r ( )= r 常数 = C r = C r 的位置定义了一个等势面 三维分布 面 → 二维分布 线 → 一维分布 点 → （1） 两个等势面不可能相交 若V r ，V r ，则V r 1 ( ) 2 ( ) () ? = r （2）每个等势面应当是连续的，否则电场在边缘处没有定义。 点电荷的等势面 1 0 1 ( ) 4 q V r C πε r = = r 0 1 4 q r πε C = = 常数
C1-C1=△C=常数,等差数列 两相邻等势面 常数 7-7+1 C (F大,C1小,△r大) r→>0等势面密;r→∞等势面疏 (2)、等势面与电力线之间的关系 E=-VV求导 7++2k az 亦可分成Pn P+-n P是在等势面上的单位矢量(P⊥P2),n是⊥等势面的单位矢量 0·0.即在等势面上无论如何走都是相等的 E (i+1)-V(1)C+1-C1 7+1-7 即E等于电势差/两等势面距离差 (1)电场E的方向沿电势V下降的方向 (2)E⊥等势面 等势面与电力线相生相克,得到一个即可得到另一个。 举例:
CC C i i +1 − =Δ = 常数 ，等差数列 两相邻等势面 1 0 10 1 1 ( ) 4 4 i i i i i i q q r r πε C C CC πε + + + −= − = 常数 1 V （ 大ri ，Ci 小 ， 大） Δr r → 0 等势面密； r → ∞ 等势面疏 （2）、等势面与电力线之间的关系 E = −∇ r 求导 i j k x y z ∂ ∂ ∂ ∇= + + ∂ ∂ ∂ r r r 亦可分成 ˆ P nˆ P n ∂ ∂ + ∂ ∂ Pˆ 是在等势面上的单位矢量 1 2 ˆ ˆ ( ) P ⊥ P ， 是nˆ ⊥ 等势面的单位矢量 1 1 0 E V P P ∂ =− = ∂ r ，即在等势面上无论如何走都是相等的。 1 1 1 ( 1) ( ) i i w ii ii Vi Vi C C E V n rr r + + + r ∂ +− − =− =− = − ∂ − − 即 等于 Ew 电势差/两等势面距离差。 （1） 电场 的方向沿电势 E V 下降的方向 r （2） E ⊥ 等势面。 r 等势面与电力线相生相克，得到一个即可得到另一个。 举例：
3)导体的等势面 回忆导体的静电平衡条件 (1)En=0pn=0 (2)表面En=0 E Eo E1=0→导体表面是一个等势面△=E1d=0 Em=0→整个导体是一个等势体 在导体内:(a)-P(b)=Ed=0 习题: P654 Questions: 4,9, 16, 20, 24 P658-660 Problems:4,6,8,10,12,14,18
（3）导体的等势面 回忆导体的静电平衡条件： （1） 0 Ein = r 0 ρin = || （2） 表面 E = 0 （3） 0 E σ ε ⊥ = ⇒ 导体表面是一个等势面 || ΔV Ed = ⋅= 0 ∫ r r l || E = 0 0 Ein r = ⇒ 整个导体是一个等势体 Va Vb Ed () () 0 − = ⋅= ∫ r r 在导体内： l 习题： P654 Questions：4，9，16，20，24 P658-660 s Problem ： 4，6，8，10，12，14，18