第二讲 复习:鲁电力 电荷:正电荷(如质子);负电荷(如电子 电荷守恒:任何时刻,孤立系统内部正负电荷代数和恒定不变 q=± e=1.602×10-C ●导体和绝缘体 导体——(内部)自由电荷;绝缘体——(内部)束缚电荷 ●库仑定律 Fir q2 性质:向心力;平方反比;同性相斥,异性相吸 4.叠加原理( The principle of superposition) 我们已知道了两个点电荷之间的静电力的形式--库仑定律。若存在多于2个电 荷,那情况怎样呢? (1)点电荷 如图所示,有三点电荷q,q2,q3,根据库仑定律,2,3分别对1的力为 F2=1 q192 1992 4丌Eoi 2124丌Eon2 14113r13460分373 q193 13元 3-4TE0T3 作用在q1上的合力?实验发现,作用在q1上的合力为 q2和q单独对q1的力的线性叠加 = 此即为静电力的线性叠加原理。 i)静电力为两体相互作用,不因第三者的存在而改变 i)前提条件:q1,q2为点电荷,本身尺度<<r12,r3 若存在N个点电荷,则这些电荷作用在电荷1上的静电力为:
第二讲 复习：静电力 z 电荷：正电荷（如质子）；负电荷（如电子） z 电荷守恒：任何时刻，孤立系统内部正负电荷代数和恒定不变。 ±= enq e C19 10602.1 − ×= z 导体和绝缘体 导体——（内部）自由电荷；绝缘体——（内部）束缚电荷 z 库仑定律： 1 2 12 2 12 0 12 1 ˆ 4 q q F r πε r = r 性质：向心力；平方反比；同性相斥，异性相吸； ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 4．叠加原理 （The principle of superposition） 我们已知道了两个点电荷之间的静电力的形式---库仑定律。 若存在多于 2 个电 荷，那情况怎样呢？ (1) 点电荷 如图所示，有三点电荷 ， ， ，根据库仑定律， q1 q2 q3 2，3 分别对 1 的力为 3 12 12 21 0 2 12 12 21 0 12 4 1 ˆ 4 1 r r qq r r qq F r r πε πε = = 12 r r 21 r r 3 13 13 31 0 2 13 13 31 0 13 4 1 ˆ 4 1 r r qq r r qq F r r πε πε = = 13 r r 作用在 上的合力？实验发现，作用在 上的合力为 1 q 1 q 2 q 和 单独对 的力的线性叠加， 3 q 1 q F1 12 13 = + F F rr r （25.4.1） 此即为静电力的线性叠加原理。 i） 静电力为两体相互作用，不因第三者的存在而改变 ii）前提条件：q1， 为点电荷，本身尺度 2 q << 12 r ， 13 r 若存在 N 个点电荷，则这些电荷作用在电荷 1 上的静电力为：
F1=F1 F q19 4I8o r (2542) (注意:求和为矢量求和) 例1.如图所示有三个点电荷q0,q3<0,求q1所受的力F? 解:先求解2,3分别单独对1的力 4 y q193 34丌on3 根据叠加原理,合力为 F=F+F 求出合力的分量分别为 F=F+F3=Fr+Fu3 sing Fy=F3=F3 cos 则合力大小为 F4+F 方向角满足tnd= Tips:计算时要养成一丝不苟,注意范式的习惯 (2),连续带电体 P()4 q 考虑一个连续带电体对处于F带电量为q的力。将连续带电体分成许多微元,其
∑= =++++= N j j j j N r r qq FFFFF 2 3 1 1 1 0 1413121 1 4 1 v r L rrrr πε 1 3 0 1 4 N j i j i ij q q F ij r π ε ≠ r = ∑ r v （25.4.2） （注意：求和为矢量求和） 例 1．如图所示,有三个点电荷q1 0 3 < 0 ,求 所受的力 ? 1 q F r 解： 先求解 2，3 分别单独对 1 的力： 2 12 12 21 0 12 ˆ 4 1 r r qq F πε = r ， 2 13 13 31 0 13 ˆ 4 1 r r qq F πε = r 。 根据叠加原理，合力为 FFF 1312 rrr += 求出合力的分量分别为 12 13 12 13 sin x x FF F FF x = + =+ θ q φ 1 q2 - - + q3 θ x y r 13 r 12 F13 F12 13 13 cos y FF F y = = θ 则合力大小为 2 2 += FFF yx 方向角满足 x y F F tanφ = Tips：计算时要养成一丝不苟，注意范式的习惯 (2)．连续带电体 ′)( ΔVrr ρ r ′ r r r 考虑一个连续带电体对处于 带电量为 的力。将连续带电体分成许多微元，其 r r q
中一个为处于石2=P带电量为92=(F)△V的点电荷。这里p(BF 为 M→0 电荷密度,而Δ为此微元的体积。则根据库仑定律,这一微元(可以认为是 电电荷)对q的力为 △F=197)△ 4 根据线性叠加原理,整个带电体对q的静电力为这些微元的作用力的线性叠加 4re 29p(2)4v (F-P) 当M→>0,上述求和可以写成积分形式 I [qp(r)dr 4 (254.3) 推广到电荷分布在一个2维面上(如球面,柱面等),或是分布在一维线(如带 电棒,带电环等)的情形,得到此时q的受力为 go(r)ds 二维电荷分布:m下 (F-P" (2544) 一维电荷分布:F=10x(0-P 4. (254.5) 其中a(P) 为2维表面上的面电荷分布密度,A(F) 为1维线上 AS→0 的线电荷密度。剧考:电荷总有一定的大小,怎么可能分布在面上,线上呢? 例2总电荷Q均匀分布在长度为的棒上,求距离棒中心y处的电荷qo的受力? 解:线电荷密度为A=O/L。 如图所示,在棒上选取电荷元,长度为d q1=go 2=ndz
中一个为处于 = rr ′ rr2 带电量为 = ′)( ΔVrq2 r ρ 的点电荷。这里 0 ( ) V q r V ρ Δ → Δ ′ = Δ r 为 电荷密度，而 为此微元的体积。 则根据库仑定律，这一微元（可以认为是 电电荷）对 的力为 ΔV q 3 0 1 () ( ) 4 qr V F r r r r ρ πε ′ Δ Δ = − ′ − ′ r r r r r r 根据线性叠加原理，整个带电体对 的静电力为这些微元的作用力的线性叠加 1 q 3 0 1 () ( ) 4 r qr V F r r r r ρ πε ′ ′ Δ = − ′ − ′ ∑r r r r r r r 当 ，上述求和可以写成积分形式： Δ →V 0 3 0 1 () ' ( 4 V q r dr F r r ρ πε ′ = r r′) − ′ ∫ r r r − r r r r （25.4.3） 推广到电荷分布在一个 2 维面上（如球面，柱面等），或是分布在一维线（如带 电棒，带电环等）的情形，得到此时 q 的受力为 二维电荷分布： 3 0 1 () ( 4 S q r dS F r r ) r r σ πε ′ ′ = ′ − ′ ∫ − r r r r r r （25.4.4） 一维电荷分布： 3 0 1 () ( 4 L q r dl F r r ) r r λ πε ′ = ′ − ′ ∫ − r r r r r r （25.4.5） 其中 0 ( ) S q r S σ Δ → Δ ′ = Δ r 为 2 维表面上的面电荷分布密度， 0 ( ) l q r l λ Δ → Δ ′ = Δ r 为 1 维线上 的线电荷密度。思考：电荷总有一定的大小，怎么可能分布在面上，线上呢？ 例 2总电荷Q均匀分布在长度为L的棒上，求距离棒中心 处的电荷 的受力？ 0 y q0 解: 线电荷密度为λ = / LQ 。 如图所示, 在棒上选取电荷元, 长度为dz 01 = qq ， 2 = λdzq θ 2 0 2 12 += yzr Fd r
dF 1 goAds 4 adz dF= cos 0 1 goonda 4 dF q0 in 6 n02-+y F=]dF=0(根据对称性,或者直接积分) F,=∫ goyoadz qo a 4 L/2 L 4 +yo 4m60y0(+ 检验正确性:y>>L时,y041。我们得到: F goaL gog oyo yo Toyo 棒看上去自身尺度可以忽略,可视为点电荷。 思考:如果q不放在棒的中垂线上?(物理思考:当观测点距离远大于带电体 尺度时--)〉点电荷!能否证明?) L/2 L/4 3L/4 goold q 3L/4 (z2+y2)324 L/4
2 12 0 2 0 0 ˆ 4 1 r yz dzq Fd + = λ πε r 2 2/3 0 2 00 0 2 0 2 0 0 4 )( 1 cos 4 1 yz dzyq yz dzq dFy + = + = λ πε θ λ πε 2 2/3 0 2 0 0 2 0 2 0 0 4 )( 1 sin 4 1 yz dzzq yz dzq dFz + = + = λ πε θ λ πε == 0 z ∫ dFF z (根据对称性，或者直接积分) 2/ 2/ 4 )(4)( 1 2 2/1 0 2 2 00 00 2/ 2/ 2 2/3 0 2 00 0 L L yz z y yq yz dzyq dFF L L y y + − = + == ∫∫ − πε λ λ πε 0 0 2 2 0 0 2 1/2 0 0 2 1/2 0 0 1 4 4 () () 4 4 q q L Q y y L L y y λ πε πε = = + + 检验正确性： 时， >> Ly0 2 0 2 2 0 4 y L y ≈+ 。我们得到： 2 00 0 000 0 4 4 y Qq y L y q Fy πε πε λ = = 棒看上去自身尺度可以忽略，可视为点电荷。 思考：如果q0 不放在棒的中垂线上？（物理思考：当观测点距离远大于带电体 尺度时---〉点电荷！ 能否证明？） Fd r 4/ 4/3 4 )( 4 )( 1 2 2/1 0 2 00 0 4/3 4/ 2 2/3 0 2 00 0 L L yz z y q yz dzyq F L L y + − = + = ∫ − πε λ λ πε
3L/4 L/4 4TEoyo(3L/4)+yo L/4)2+y 当y>L时,F,=42(+y)4x5 (3L/4L/4 Q ∫2=2 L/4 F 4mE6o4(x2+y02)324m02(x2+y2)2-L/4 元1 442134)+x)24)+2 (L/4)2+y 当y>L时,F2≈0+O(L/yo) 因此,远处看仍可近似视为点电荷。其他分布可以类推,不再赘述 ips:每一道题目都可以试图深入思考,从不同的角度理解物理原理 26:电 1.什么是场? 例如:温度场;引力场 气功<能用场定义研究,也就不是伪科学了 场的性质:具有动量,能量,场是传递相互作用力的一个媒介 武侠小说:《天龙八部》中萧锋的降龙十八掌,《小李飞刀》中的气场 2.静电场 我们可以利用库仑定律计算静电相互作用力,原则上所有问题都可以解决,为什 么要费力引入场的概念?事实上,引入场不仅是为了计算方便,更重要的是场是 一种客观存在。 静电力是不是通过场发生的相互作用?历史上有分歧 超距 电荷q 电荷q2 电荷q1电场电荷q2 对 为什么电荷之间的作用是通过电场而非超距作用? 静态分析分辨不出其间的分别,动态则不然。q1的扰动以一定的速度c被q2感
[ ] [ ] ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = 2/1 2 0 2 2/1 2 0 2 00 0 ))4/( 4/ ))4/3( 4/3 4 yL L yL L y q πε λ 当 时， >> Ly0 2 00 0 000 0 0 4 4/4/3 4 y Qq y L y L y q Fy πε πε λ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ + 4/ 4/3 )(2 1 4 )( 4 1 2 2/1 0 2 0 0 4/3 4/ 2 2/3 0 2 0 0 L L yz q yz zdzq F L L z + − = + = ∫ − πε λ λ πε [ ] [ ] ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − + = 2/1 2 0 2 2/1 2 0 2 0 0 ))4/( 1 ))4/3( 1 2 1 4 yL yL q πε λ 当 时， >> Ly0 2 0 z +≈ yLOF )/(0 因此，远处看仍可近似视为点电荷。其他分布可以类推，不再赘述。 Tips：每一道题目都可以试图深入思考，从不同的角度理解物理原理 第 26 章：静电场 1. 什么是场？ 例如：温度场；引力场 气功 ⇐ 能用场定义研究，也就不是伪科学了 场的性质：具有动量，能量，场是传递相互作用力的一个媒介 武侠小说: 《天龙八部》中萧锋的降龙十八掌，《小李飞刀》中的气场 2. 静电场 我们可以利用库仑定律计算静电相互作用力，原则上所有问题都可以解决，为什 么要费力引入场的概念？事实上，引入场不仅是为了计算方便，更重要的是场是 一种客观存在。 静电力是不是通过场发生的相互作用？历史上有分歧 超距 电荷q1 电荷q2 错 电荷q1 电荷q1 电场 电场 电荷q2 对 为什么电荷之间的作用是通过电场而非超距作用？ 静态分析分辨不出其间的分别，动态则不然。 的扰动以一定的速度 q1 c被 感2 q
知,因此并非超距作用,这是因果关系的体现!!!学到后来越来越清楚,场是脱 离电荷的一个客观存在! 3.静电场的定义 a).点电荷的电场 原点的q在F点的电场E(F):在F点放一个试探电荷qo (其尺度及电量趋于0),其受力为F(F) 定义:E(F)=F()/q263) 因为F()4xn2,所以点电荷的电场为 E(F)= q (26.32) 4 原点 小心!场不满足牛顿第三定律。考虑q,q2处于,F q1对q2的力 F1=199 q2对q1的力 F12 q1q2i12( f12=-r2) 牛顿第三定理 q1对q2的电场 E,=F2142=4mE02 q2对q1的电场 E;104m02 (注意:E1≠-E2) b)线性叠加原理 q1,q2处于,弓,它们在F处的电场?在F处放一个试探电荷qo q1对q的力F1= q140 4TEo F-FI (F-F) 9对的方。1 90(F-n) i 4zε0|F-F2P 原点
知，因此并非超距作用，这是因果关系的体现！！！学到后来越来越清楚，场是脱 离电荷的一个客观存在！ 3. 静电场的定义 a）. 点电荷的电场 原点的q 在r v 点的电场 rE )( v r ：在r v 点放一个试探电荷 q0 （其尺度及电量均趋于 0），其受力为 rF )( r r 定义： 0 E( ) ( )/ r Fr q = r r v v (26.3.1) r r 因为 r r qq rF ˆ 4 1 )( 2 0 πε 0 = r r , 所以点电荷的电场为 2 0 1 ( ) ˆ 4 q E r πε r = r r r (26.3.2) 小心！场不满足牛顿第三定律。考虑 ， 处于 1 q 2 q 1r v ， 2r v 1 q 对 的力 2 q 2 21 21 21 0 21 ˆ 4 1 r r qq F πε = r 2 q 对 的力 1 q 2 12 12 21 0 12 ˆ 4 1 r r qq F πε = r ( 12 21 = −rr ˆˆ ) 12 FF 21 r r −= —— 牛顿第三定理 1 q 对 的电场 2 q 2 21 21 1 0 2211 ˆ 4 1 / r r q qFE πε == rr 2 q 对 的电场 1 q 2 12 12 2 0 1122 ˆ 4 1 / r r q qFE πε == rr (注意: ) 1 EE 2 rr −≠ b）. 线性叠加原理 q1， 处于 2 q 1r v ， 2r v ,它们在r r 处的电场? 在r r 处放一个试探电荷q0 1 q 对 的力 q )( 4 || 1 3 1 1 01 0 1 rr rr qq F rr rr r − − = πε 21 r v 2 q 对 的力 q )( 4 || 1 3 2 2 02 0 2 rr rr qq F rr rr r − − = πε 1r v 2r v
静电力满足叠加原理 F处q受的合力为F=F1+F2 F处的总电场为 E(r=F/ (F-F) (F-2) E|产-F 注意场不依赖于探电荷所以才叫做试探电荷 ).推广到N个电荷 E(F)=E1(7)+E2(F)+…+E(F) 4n一/(-)+,9 q1 (r-2)+…+ Ir-FI Ir-r PN 4 4丌E (2643) d)连续电荷分布的电场 在F处取一电荷元q,=p(G)△V,它激发的电场为 △E(r)= OG△V (r-F) 4TE r 总场为 P()△H 4TEo f r-r A:→ (26.44) (r-r (注意矢量性!) 这里直接用到了场的叠加原理,而没有用试探电荷 同理,对2维面电荷分布及1维线电荷分布的连续带电体,电场为 E() g(r)ds (r r-rI I r i(r)dl (264.5) E(r 4z605|F-F
静电力满足叠加原理 r r 处 受的合力为 q0 FFF 211 rr r += r r 处的总电场为 )( 4 || 1 )( 4 || 1 /)( 3 2 2 2 0 3 1 1 1 0 0 rr rr q rr rr q qFrE rr rr rr rr r v r − − +− − == πε πε 注意: 场不依赖于试探电荷,所以才叫做试探电荷. c）. 推广到 N 个电荷 )()()()( 1 2 N rErErErE r r L r r r r r r +++= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ++− − +− − = )( || )( || )( 4 || 1 3 2 3 2 2 3 1 1 1 0 N N N rr rr q rr rr q rr rr q rr L rr rr rr rr rr πε ∑= − − = N i i i i rr rr q 1 3 0 )( 4 || 1 rr rr πε (26.4.3) d) 连续电荷分布的电场 在 处取一电荷元 ir r Δ= Vrq iii )( r ρ , 它激发的电场为 ΔVi 3 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 i i r V E r r r r r ρ πε Δ Δ= − − r v r r r r r 总场为 3 0 1 0 3 0 1 ( ) ( ) ( ) 4 || 1 ( ') '( ') 4 | '| i N i i i i i V V r V E r r r r r r dr r r r r ρ πε ρ πε = Δ → Δ = − − → − − ∑ ∫ r r r r r r r r r r r r r (26.4.4) (注意矢量性！) 这里直接用到了场的叠加原理,而没有用试探电荷. 同理，对 2 维面电荷分布及 1 维线电荷分布的连续带电体，电场为 3 0 3 0 1 ( ') ( ) ( ') 4 | '| 1 ( ') ( ) ( ') 4 | '| S S r dS E r r r r r dl r E r r r r σ πε λ πε = − − = − − ∫ ∫ r r r r r r r r r r r r r r r （26.4.5）
注意 场是自然存在的,和试探电荷无关 场更本质,受力则依赖于试探电荷的大小 E的单位:NC(常用单位Vm) 习题: P583-584 Exercises:2,16,26 P585 Problems: 2, 4,8, 10
注意: z 场是自然存在的, 和试探电荷无关; z 场更本质, 受力则依赖于试探电荷的大小. z EqF rr = E r 的单位: N/C (常用单位:V/m) 习题： P 583-584 Exercises：2, 16, 26 P 585 Problems: 2, 4, 8, 10
