第十一讲 复习: 上次课讲得是导体中的电行为。导体的主要特征是有“自由电荷”,在电场的作 用下导体中的电荷会运动,产生附加场,而附加场又会反作用于电荷。因此附加 场的有无就给了我们两种不同情况下的导体的电平衡状态--1)静态平衡(有 附加场),2)动态平衡(以某种方式将附加场去除)。后面一种平衡状态的一个 主意特征物理量就是电流。 ①电流 d q 1’l=「nas,j()=P()() ②电荷守恒 dt Jar pe(r,t)dr= -f jdS 稳恒条件 ()=0,i守恒 ③欧姆介质 微观 j(r)=o(rE(r) a是电导率 E(r=p(ri(r) p是电阻率(欧·米) ④σ、p的微观起源 dv, ge v 外部驱动力与散射作用(等效为摩擦力)平衡 no t 二.电介质(绝缘体) 绝缘体(又叫电介质)是与导体截然不同的另一种物质,其最大的特征就是电荷 为束缚电荷,不能自由流动从而形成电流。那么当外电场作用于一块电介质的时 候,它的电行为又如何呢? 这里要强调的是,静电场是由电荷产生的,不管是自由电荷还是电介质的束 缚电荷,只要存在电荷,就会产生电场。因此要想知道在介质中的电场,我们必 须首先知道介质中的电荷对外电场是如何响应的
第十一讲 复习： 上次课讲得是导体中的电行为。导体的主要特征是有“自由电荷”，在电场的作 用下导体中的电荷会运动，产生附加场，而附加场又会反作用于电荷。因此附加 场的有无就给了我们两种不同情况下的导体的电平衡状态 --- 1）静态平衡（有 附加场），2）动态平衡（以某种方式将附加场去除）。后面一种平衡状态的一个 主意特征物理量就是电流。 ① 电流： dq i dt = ，i j = d S ∫ r ur ， () () () e d j r rv = ρ r r r rr r ② 电荷守恒 (,) e V S d r t dr j dS dt ρ Δ = − ⋅ ∫ ∫ rr r r u ⇒ 稳恒条件： () 0 e d r dt ρ = r ，i 守恒 ③ 欧姆介质 微观： jr rEr () () () = σ r r r ur r σ 是电导率 E() ()() r rj = ρ ur r r r rr ρ 是电阻率（欧·米） ④ σ 、 ρ 的微观起源 d dv v qE dt m d τ = − r r r ：外部驱动力与散射作用（等效为摩擦力）平衡。 2 0 n q m τ σ = _____________________________________________________________________ 二. 电介质（绝缘体） 绝缘体（又叫电介质）是与导体截然不同的另一种物质，其最大的特征就是电荷 为束缚电荷，不能自由流动从而形成电流。那么当外电场作用于一块电介质的时 候，它的电行为又如何呢？ 这里要强调的是，静电场是由电荷产生的，不管是自由电荷还是电介质的束 缚电荷，只要存在电荷，就会产生电场。因此要想知道在介质中的电场，我们必 须首先知道介质中的电荷对外电场是如何响应的。 1
只有知道了介质中的束缚电荷的分布,我们才有可能得知空间总电场的行 为。下面我们将由浅入深地,一步步地研究。 (一)、分子(原子)的极化 首先从最简单的分子(原子)对外电场的相应开始。这中间又包含了两种情形 1.非极化原子:正负电荷中心重合的原子。 E=0 E≠0 原子 原子 E=0时,原子没有极性 E≠0时,原子正负电荷中心偏离 中心位置,等效于一个偶极子。 这叫“位移极化”现象 E电离P∝E,线性变化 E上电离 被电离 我们只考虑电场较小的情形,即p∝Ea 2.极化原子:正负电荷中心偏离的原子。 这类原子当外电场E=0时有固有偶极矩,它的正负电荷的中心不重合 这时我们加电场E,p当然会加强(将正负电荷进一步拉开) 因为p=P+aE0E,但这非主要响应 U=-pE=P2Ecos0+aE2,当E→0时这项贡献E2是小量。 在外加电场中,0级的响应是转动,其结果使得P平行于E。 (二)宏观介质对电场的响应 基本图象
只有知道了介质中的束缚电荷的分布，我们才有可能得知空间总电场的行 为。下面我们将由浅入深地，一步步地研究。 (一)、分子（原子）的极化 首先从最简单的分子（原子）对外电场的相应开始。这中间又包含了两种情形。 1．非极化原子：正负电荷中心重合的原子。 E = 0 时，原子没有极性 E ≠ 0 ur 时，原子正负电荷中心偏离 中心位置，等效于一个偶极子。 这叫“位移极化”现象。 EE 电离 被电离 我们只考虑电场较小的情形，即 ext p ∝ E r r 2．极化原子：正负电荷中心偏离的原子。 这类原子当外电场 时有固有偶极矩，它的正负电荷的中心不重合。 E = 0 这时我们加电场 E r ， 当然会加强（将正负电荷进一步拉开） p r 因为 0 0 p = + p αε E r r r ，但这非主要响应 2 0 0 U p E pE E =− ⋅ = + cosθ αε r r ， 当 时这项贡献 E → 0 2 E 是小量。 在外加电场中，0 级的响应是转动，其结果使得 P 平行于 E 。 （二）宏观介质对电场的响应 1．基本图象 2
非极性分子 平板介质 非极化分子 E 将一个由非极性分子(原子)构成的介质放置于外电场中时,分子(原子)被外 场极化,产生一个个与电场方向平行的偶极子,如上图所示。 极性分子: E。=0时,尽管每个分子有极性,由于热运动的影响,这些分子的偶极距的方向 是完全随机的,因为(p)=0,平均下来不显示宏观的极性。 E6≠0时,每个分子“倾向于”外电场,宏观极性开始显现:()≠0。另一方面, 热运动的影响是使得这些固有极距的方向完全杂乱分布。这两个因素 的竟争决定了()的大小。电场越大,前面的影响力越大,()越大。 思 ①P完全由E0决定? ②极化过程什么时候达到稳定? 2,极化强度 与单个分子不同,大块的固体中包含有大量的分子,极化后含有大量的偶极子。 如何刻画宏观物质的极化的程度? 极化强度P(宏观)←偶极子P(微观)
非极性分子 平板介质 非极化分子 ⇒ 将一个由非极性分子（原子）构成的介质放置于外电场中时，分子（原子）被外 场极化，产生一个个与电场方向平行的偶极子，如上图所示。 极性分子： 0 E = 0 r 时，尽管每个分子有极性，由于热运动的影响，这些分子的偶极距的方向 是完全随机的，因为 p = 0 r ，平均下来不显示宏观的极性。 0 E ≠ 0 r 时，每个分子“倾向于”外电场，宏观极性开始显现： p ≠ 0 r 。另一方面， 热运动的影响是使得这些固有极距的方向完全杂乱分布。这两个因素 的竞争决定了 p r 的大小。电场越大，前面的影响力越大， p r 越大。 思考： ①P 完全由 决定？ E0 ②极化过程什么时候达到稳定？ 2．极化强度 与单个分子不同，大块的固体中包含有大量的分子，极化后含有大量的偶极子。 如何刻画宏观物质的极化的程度？ 极化强度 P （宏观） ↔ 偶极子 p ur （微观） 3
P是偶极子的强度的宏观体现。 ∑P 定义:P=L △F p大,P不见得大,P是宏观量。 3,极化率 E很小时,许多介质是线性响应,即介质某处的极化强度与介质此处的总电场 成正比。 定义:物质的极化率z: E P=Eox 更严格的定义(非均匀的任意情形)P()=6nzE(G 其中E≠E,E是总局域电场,E是外加电场。需要强调的是,静电场范畴内, 电场都是由电荷产生的。空间的电荷包括两部分:(1)放在远处的产生E的电 荷P(F),(2)因为介质被极化而产生的束缚电荷分布Pn(F)。总的局域电场就 是由这两部分电荷产生的电场的叠加E=E+Ep(外电场+极化电荷电场)。需 要指出的是:这里我们假设源电场电荷不受极化电荷电场的影响。 (三)极化电荷pn(F)与极化强度P(F)的关系 要计算En(F),需计算极化电荷分布pn(F)。这里我们将讨论对已知的一个极化 强度P(F),如何来计算由此产生的pn(P)。 在具有极化强度分布为P(F)的一块介质中的一个任意形状的区域Ω内,我们求 区域中包含的束缚电荷总量Q。根据极化强度的定义,区域内有N。=∫P(F)d 个偶极子。如果这N个偶极子完全处于Ω中,因为每个偶极子必然包含等量异号 的电荷,则对Ω内的净电荷总量没有贡献。因此,只有穿过其表面的才对Ω中 的净束缚电荷有贡献。将Ω的表面分成一块块的小面积,分别考虑这些小面积
P 是偶极子的强度的宏观体现。 定义： i i p P V = Δ ∑uur ur p r 大， P 不见得大， P 是宏观量。 3．极化率 E0 r 很小时，许多介质是线性响应，即介质某处的极化强度与介质此处的总电场 成正比。 定义：物质的极化率 χ ： P E 0 = ε χ r r 更严格的定义（非均匀的任意情形） 0 Pr Er () () = ε χ r r r r 其中 ≠ EE 0 ，E 是总局域电场，E0 是外加电场。需要强调的是，静电场范畴内， 电场都是由电荷产生的。空间的电荷包括两部分：（1）放在远处的产生 E0 的电 荷 0 ρ ( )r r ，（2）因为介质被极化而产生的束缚电荷分布 ( ) p ρ r r 。总的局域电场就 是由这两部分电荷产生的电场的叠加 0 += EEE P （外电场+极化电荷电场）。需 要指出的是：这里我们假设源电场电荷不受极化电荷电场的影响。 （三） 极化电荷 ( ) p ρ r r 与极化强度 P r( ) r r 的关系 要计算 E r p ( ) ，需计算极化电荷分布 r r ( ) p ρ r r 。这里我们将讨论对已知的一个极化 强度 P r( )，如何来计算由此产生的 r r ( ) p ρ r r 。 在具有极化强度分布为 的一块介质中的一个任意形状的区域 内，我们求 区域中包含的束缚电荷总量 。根据极化强度的定义，区域内有 个偶极子。如果这N个偶极子完全处于 P r( ) r r Ω Qp ( ) N Pr d p = ⋅ ∫ ur r rr Ω 中，因为每个偶极子必然包含等量异号 的电荷，则对 内的净电荷总量没有贡献。 Ω 因此，只有穿过其表面的 i p r 才对 中 的 Ω 净束缚电荷有贡献。 将Ω 的表面分成一块块的小面积，分别考虑这些小面积 4
上穿过的偶极子对区域内的电荷总量的贡献。对任意一块小面积△S,设其为宏 观小,微观大,只有偶极子与面元不平行(△S·p≠0)才可能“穿过”此面元, 从而对电荷有贡献。每一个穿过此面元的偶极子p=l对Ω内的净电荷的贡献 可由下式计算 AS . S. p △g2 q △ 负号是因为p是由负电指向正电。将穿过△S的所有的偶极子的贡献全部叠加, 可得 M=∑9=∑ ∑ P S·P(F) △Q 为区域△g=AS·l内的净电荷。对所有面积元求和变积分可得: ∑4=∑AP=-fFdS f PdS=-0=,()dr 应用举例 1)均匀极化的材料内部qp=0 △内的qp=-P△S1+P·△S2=(P2-P)△S=0 物理上看,内部的电荷互相抵消 均匀极化1=92非均匀极化,1≠
上穿过的偶极子对区域内的电荷总量的贡献。对任意一块小面积 ，设其为宏 观小，微观大，只有偶极子与面元不平行（ ΔS ur 0 i ΔS p⋅ ≠ ur r ）才可能“穿过”此面元， 从而对电荷有贡献。每一个穿过此面元的偶极子 i i p = lq r r 对Ω 内的净电荷的贡献 可由下式计算： i iii i S p S p Slq q q Δ ⋅ Δ ⋅ = Δ ⋅ ⋅ = −ΔΩ ⋅ ⇒ = − ΔΩ ur r ur r r r 负号是因为 i p uur 是由负电指向正电。将穿过ΔS ur 的所有的偶极子的贡献全部叠加， 可得 ( ) i i i i i i Sp p q q S SP Δ ⋅ Δ = = − = −Δ ⋅ = −Δ ⋅ ΔΩ ΔΩ ∑∑ ∑ ur r r ur ur r r r 为区域ΔΩ = Δ ⋅ S l r r 内的净电荷。对所有面积元求和变积分可得： ∑ ∑ Δ =− Δ ⋅ =− ⋅ q SP P dS ∫ r r r r 则： ( ) P P P d S Q r dr ρ Ω ⋅ =− =− ∫ ∫ ur ur r r 应用举例： （1）均匀极化的材料内部 q p = 0 ΔV 内的 0)( P 122211 SPPSPSPq =Δ⋅−=Δ⋅+Δ⋅−= 物理上看，内部的电荷互相抵消 5
(2)非均匀极化的材料内部 非均匀极化,P≠P2,q1≠q2,有净极化电荷qp (3)均匀极化的两种介质分界面 两种介质内部都没有极化电荷 但界面出qp≠0,故极化电荷只能以面电荷 σp形式分布 ∮PdS=(P-PAS=-9 a)P垂直于S 9=-(P-P2) AS 1是空气P=0 o = P 个个个个个P 2是空气P2=0 因此,放置于空气中的一个均匀极化的具有极化强度为P的介质的上表面有 极化电荷(极化电荷面密度位σp=P),下表面有-极化电荷(极化电荷面 密度位a=-P)。 b)P不垂直于S(如右图所示,选取合适的闭合曲面) P ds=-qp =B1·△S-P·△S S △S 故一般情况下,Gp=nP
（2）非均匀极化的材料内部 非均匀极化， ≠ PP 21 ，q ≠ q21 ，有净极化电荷 P q （3）均匀极化的两种介质分界面 两种介质内部都没有极化电荷 但界面出 ≠ 0 P q ，故极化电荷只能以面电荷 σ P 形式分布 P −=Δ−=⋅ qSPPSdP∫ )( 21 a) P 垂直于 ur S )( PP 21 S qP P −−= Δ σ = 1 是空气 0 P1 = σ P = P2 2 是空气 0 P2 = σ P = −P1 因此，放置于空气中的一个均匀极化的具有极化强度为 P r 的介质的上表面有 +极化电荷（极化电荷面密度位σ P = P），下表面有-极化电荷（极化电荷面 密度位σ P = −P ）。 b) P 不垂直于 ur S （如右图所示，选取合适的闭合曲面） P −=⋅ qSdP∫ = ⋅Δ − ⋅Δ P SP S 1 2 ur ur uur ur =− ⋅Δ P S 2 uur ur =− ⋅ ⋅Δ Pn S 2 uur r 故一般情况下， P 2 σ = ⋅ n P r uur 6
习题 1)一个圆柱状的电介质,截面半径为R,长为L,被沿着轴线方向极化,已知 极化强度P(x)=kxe2(k为比例常数),坐标原点取在圆柱的一个端面上,如 图所示,试求 (i)极化电荷的分布情况; (i)极化电荷的总电量 (ⅲi)x轴任意一点的电场强度E(假设空间没有其他电荷源,并且棒子很细 R<<L) 习题1图 2)一个半径为R的介质球,沿z方向被均匀极化,设极化强度为P,空间没有 其他的电荷源(球为驻极体)。求 (i)空间的极化电荷分布; (ⅱi)极化电荷在z轴上产生的电场(球内球外都要考虑); (ⅲi)将你的(球外电场计算结果与一个偶极子(偶极矩为p)的电场相比 较,得到什么结论? R 习题2图
习题： 1）一个圆柱状的电介质，截面半径为 R，长为 L，被沿着轴线方向极化，已知 极化强度 ( ) ˆ P x kxe = x r （k 为比例常数），坐标原点取在圆柱的一个端面上，如 图所示，试求 （i）极化电荷的分布情况; (ii) 极化电荷的总电量; (iii) x 轴任意一点的电场强度 E（假设空间没有其他电荷源，并且棒子很细 R<<L） x L O 习题 1 图 2）一个半径为 R 的介质球，沿 z 方向被均匀极化，设极化强度为 P，空间没有 其他的电荷源（球为驻极体）。 求 （i） 空间的极化电荷分布； （ii） 极化电荷在 z 轴上产生的电场（球内球外都要考虑）； （iii）将你的（球外电场计算结果与一个偶极子（偶极矩为 ）的电场相比 较，得到什么结论？ p r P Z R 习题 2 图 7