第二十七讲 复习 =VR2+(x2-X)2=5m RLC串联电路由两个物理量刻画: Z为阻抗, an g R 刻画电路的电流与电压之间的幅值比值;p为相角,刻画电路的交流特性(电 感性的?电容性的?电阻性的?) 功率及有功功率:F1 P(D)dt= 8 cosφ=Em Cosp-功率因数 共振:基本特征1→极大值:O 定义共振峰的宽度△,其边界为满足1(o)=(a)/V2的频率 (5)共振(续) 峰宽位置所满足的方程为: )2=R2 等式左边改写为 CIVL OL-/C (-n)( L 当(o-a)2<<c2时 上式=42(-2 则方程退化为 0/0
第二十七讲 复习 z RLC 串联电路由两个物理量刻画： 2 2 ( ) tan m L C m L C Z R XX I X X R ε φ = +− = − = ， Z 为阻抗， 刻画电路的电流与电压之间的幅值比值；φ 为相角，刻画电路的交流特性（电 感性的？电容性的？电阻性的？） z 功率及有功功率： 0 1 ( ) cos T P P t dt I I rms rms rms rms T == = ε φε ∫ ⋅ r r cosφ ------ 功率因数 z 共振： 基本特征 I → 极大值 ： 0 1 LC ω = 定义共振峰的宽度 Δω ，其边界为满足 0 I I ( ) ( )/ 2 ω ω = 的频率 ___________________________________________________________________________ （5）共振（续） 峰宽位置所满足的方程为： 1 2 2 ( ) L R C ω ω − = 等式左边改写为： ( )( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 LC C L L 1 L CL LC C C ω ω ωω ωω ω ω ω ω ωω ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − + ⎤ ⎢ ⎥ ⋅− ⋅ = − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 当 2 2 0 0 ( ) ω − << ω ω 时 上式 ( ) 2 0 0 2 0 L 2 C ωωω ω ⎡ ⎤ − ≈ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 则方程退化为 ( ) 2 0 2 0 2 C R L ω ω ω ⎡ ⎤ − ≈ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 得二解： 00 0 1 1 2 2 C R Q L ωω ω ω − ≈± ⋅ =± 1
其中Q= 为一无量纲的数,叫做品质因子(品质因数, Quality Factor)。 RVC 看它的物理意义, a/Q,则:Q △O ρ刻画了此谐振的选频的纯净程度。Q大则谐振峰越尖锐,因而a越易被选出 来。将Q改写为:Q 则物理意义更明显一显然电阻越小电抗越大, R Q越大,则尖峰越尖;反之亦然 共振的另一个普遍性质为电路的相位有丌的跳跃: 根据:tanp= olLC,则低频时,容抗占主导地位,电路显示电容性 R (φ0)。通过共振时 电感性 电容性 丌 1g→0 电阻性 必有一个π的相位跳跃。Q越大,这个跳跃越象一个阶跃函数。 1→∞,p(-x→)是共振的两个普遍特征 (6)(谐振)电路中的能量转换 前面提到F=6-c0=2,即有功功率完全消耗在R上。但是考察瞬时功率:
其中 1 L Q R C = 为一无量纲的数，叫做品质因子（品质因数，Quality Factor）。 看它的物理意义， Δ= − = ω ωωω 21 0 Q ， 则： 0 Q ω ω = Δ Q 刻画了此谐振的选频的纯净程度。Q 大则谐振峰越尖锐，因而ω0 越易被选出 来。将 Q 改写为： X XL C Q R = ，则物理意义更明显---显然电阻越小电抗越大， Q 越大，则尖峰越尖；反之亦然。 共振的另一个普遍性质为电路的相位有π 的跳跃： 根据： 1 tan L C R ω ω φ − = ， 则低频时， 容抗占主导地位，电路显示电容性 （φ 0 ）。通过共振时 必有一个π 的相位跳跃。Q 越大，这个跳跃越象一个阶跃函数。 I → ∞ ， φ ( 2 2 ) π π − → 是共振的两个普遍特征 （6）（谐振）电路中的能量转换 前面提到 cos rms rms dQ P i dt = ⋅= ε φ ，即有功功率完全消耗在 R 上。但是考察瞬时功率： 2
P(t=8(t)i(t)=mim sin(at)sin(at -o) dt im sin (ot-e)R P(ω)≠=∞ω,即电源瞬时输出功率≠在电阻上瞬时消耗。根据能量守恒 P()-c0 d为电源瞬时作用于L,C的功率,其应等于L,C中单位时间能量 的增长: P2(1) d()d[UE()-U() ≠ dh 般来讲,电源与L,C一直进行着能量交换,只是一周期平均下来为0。(有时 →L,有时L→E,有时E→C,有时C→E) 谐振时,φ=0 d o d、}瞬时值与平均值均相同 P(1) do d[U(1)-U2(1) 谐振时,电源与L,C之间没有能量交换!电源瞬间的输出功率全给R!这给我们 个重要的启示:此时L→C之间可能有能量交换!考察C,L中储存的能量: 0()=1cN=1cl Co sin(@(-)=1 i2 cos (02) 2 C0 UB(O)=Li(2=-Li2 sin(oo()=Li2 sin2(oo1) 注意到一=LC=L,则 U()+U2(t)=L2与时间无关! 电场能与磁场能的随时间的变化关系如下图所示:
2 2 ( ) ( ) ( ) sin( )sin( ) sin ( ) m m m P t tit i t t dQ i tR dt ε ε ε ωω ω φ ⎧ = = −φ ⎪ ⎨ = −⋅ ⎪ ⎩ ( ) ( ) dQ t P t dt ε ≠ ， 即电源瞬时输出功率 ≠ 在电阻上瞬时消耗。根据能量守恒， ( ) ( ) dQ t P t dt ε − 为电源瞬时作用于 L,C 的功率，其应等于 L，C 中单位时间能量 的增长： ( ) [ ] () () ( ) 0 E B dQ t dU t U t P t dt dt ε − − = ≠ 一般来讲，电源与 L,C 一直进行着能量交换，只是一周期平均下来为 0。（有时 ε → L，有时 L →ε ，有时ε → C ，有时C →ε ） 谐振时，φ = 0 ( ) d Q P d t d Q P t d t ε ε ⎫ = ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ = ⎪⎭ 瞬时值与平均值均相同 ⇒ [ () ()] 0 B dU t U t dt − ≡ E 谐振时，电源与 L,C 之间没有能量交换！电源瞬间的输出功率全给 R ！这给我们 一个重要的启示：此时 之间可能有能量交换！考察 C，L 中储存的能量： L C ⇔ 2 2 2 2 0 0 2 0 0 2 22 22 0 0 1 1 1 ( ) sin( ) cos ( ) 2 2 22 11 1 ( ) ( ) sin ( ) sin ( ) 22 2 m m E C B mm i i Ut C V C t t C C U t L i t Li t Li t π ω ω ω ω ω ω ⎡ ⎤ = ⋅Δ = ⎢ ⎥ − = ⎣ ⎦ =⋅ = = 注意到 2 0 1 1 LC L C C ω = = ，则 1 2 () () 2 U t U t Li E B + = m 与时间无关！ 电场能与磁场能的随时间的变化关系如下图所示： 3
谐振时的电流与电容上的电荷积累为 i(0=im sin(ar) q(0=-mcos(or) 由图可知,能量在L和C之间交换,视E为无物!形象看来,电荷在LC之间振 荡。q最大时,U最大,但此时i耗尽,Ua=0;反之,i开始增加时,Ua变大, 但电荷开始减小,直到U2最大时(i最大),Ug为0(q耗尽)。周而复始,循 环往复。显然,这个过程并没有外部激励源的参与。 事实上,注意到谐振时L=5m=5m即En=LR。 当R→0时,要得到相同的响应,所需的外部激励ε→>0相应地变小。 理想条件下R=0,E=0,Ln可以取任意值!意味着 有了初扰动,电流(荷)可以在LC电路中无耗散得以a持续振荡 (7)阻尼振荡: 理想的LC串联电路在谐振时即使无外电动势,只要有初始扰动,电流(荷)即 可振荡下去。在非理想的情况总有电阻(电感的内阻,导线的内阻等),若仍没 有外电动势驱动,情况会如何呢?考虑RLC串联电路,没有电动势,则根据 Kirchhoff第二定律可得:△V+△V+△V=0,即 iR+i di+9=0考虑到1-dt 因此, d q +r-+ L=0回到RC回路,C=∞(电容连通)回到LR回路
谐振时的电流与电容上的电荷积累为： ( ) sin( ) ( ) cos( ) m m it i t i q t t ω ω ω ⎧ = ⎪ ⎨ = − ⎪ ⎩ 由图可知，能量在 L 和C 之间交换，视ε 为无物！形象看来，电荷在 之间振 荡。q 最大时， 最大，但此时i 耗尽， LC UE 0 UB = ；反之，i 开始增加时， 变大， 但电荷开始减小，直到 最大时（i 最大）， 为 0（q 耗尽）。周而复始，循 环往复。显然，这个过程并没有外部激励源的参与。 UB UB UE 事实上，注意到谐振时 m mi m Z R ε ε = = 即 m m ε = i R。 当 时，要得到相同的响应，所需的外部激励 R → 0 0 m ε → 相应地变小。 理想条件下 R = = 0, 0 ε ， 可以取任意值！意味着： mi 有了初扰动，电流（荷）可以在 LC 电路中无耗散得以ω0 持续振荡 （7）阻尼振荡： 理想的 LC 串联电路在谐振时即使无外电动势，只要有初始扰动，电流（荷）即 可振荡下去。在非理想的情况总有电阻（电感的内阻，导线的内阻等），若仍没 有外电动势驱动，情况会如何呢？考虑 RLC 串联电路，没有电动势，则根据 Kirchhoff 第二定律可得：Δ +Δ +Δ = VVV RCL 0，即 R L C i q 0 di q iR i dt C + += 考虑到 dq i dt = ， 因此， 2 2 1 0 d q dq LR q dt dt C + += L = 0 回到 回路， RC C = ∞ （电容连通） 回到 LR 回路。 4
解上面这种齐次微分方程有个技巧。所有的齐次方程的通解为: q()= qm exp(a)=qne"e,其中a=-a+io'一般为复数。我们 可以先假设q()为复数,最后求得结果后再取其实部或虚部即可(因方程是线 性)。将(1)= qm exp(an)代入方程可得 La2+Ra+-=0 解这个2次方程可得 R±,R2-4 2L 我们现在考虑电阻远远小于电抗的情况,R0,解为 Cb,T->∞,即电流(荷)无 衰减地以共振频率振荡下去。此结论与前期 由受迫振动推出的完全一致 思考:最一般的解的形式应为张(1)=Aee,其中A,d两个参数应由初始条件 q(=0)=qo,i(t=0)=给出。求解此时的电荷,电流随时闻的变化,并讨论能量的转化 初始量是否完全转化成热能?
解上面这种齐次微分方程有个技巧。所有的齐次方程的通解为： ' ( ) exp( ) tit m m qt q t qe e α ω α − % = = % ，其中α% = − + α ωi ' 一般为复数。我们 可以先假设 为复数，最后求得结果后再取其实部或虚部即可（因方程是线 性）。 将 q t( ) ( ) exp( ) m qt q t % = α% 代入方程可得： 2 1 L R 0 C α α % % + + = ， 解这个 2 次方程可得： 2 4 2 L R R C L α −± − % = 我们现在考虑电阻远远小于电抗的情况， L R C << ，则两个根 2 2 1 2 4 R R i L LC L α% =− ± − 因此： 2 R L α = ， 2 2 0 ' (2 ) R L ω ω =± − 。 可由此解出电荷电流随时间的变化关系： [ ] 0 0 ( ) Re ( ) cos ' ( ) ( ) ' sin ' t t qt qt qe t dq t i t qe t dt α α ω ω ω − − = = = =− % 得到结论 没有ε 的条件下， 回路的电流是阻尼振荡 LRC 振荡频率ω'相对于共振频率有平移（因为阻尼的影响）。 振荡的衰减时间为τ = = 1/ 2 / α L R 理想条件下 R → 0, 解为： ω ω0 ′ = , τ → ∞ ，即电流（荷）无 衰减地以共振频率振荡下去。此结论与前期 由受迫振动推出的完全一致。 思考：最一般的解的形式应为 ( ' ) ( ) t i t q t Ae e −α ω +φ % = ，其中 A,φ 两个参数应由初始条件 给出。求解此时的电荷，电流随时间的变化，并讨论能量的转化 --- 初始能量是否完全转化成热能？ 0 qt q it i ( 0) , ( 0) == == 0 5
38意:率方组与电 理想LC电路中能量没有耗散,是否真的永不停息地振荡下去?电磁场究竟能否 脱离源(电荷,电流)而存在?光的本质又是什么?所有这些问题都是 Maxwell 建立其伟大的方程组之前人们所不了解的。 (一)回顾 让我们回想已学到的电磁学的知识: 静电场了Ed 静磁场「B·d=0 电磁感应: (动态场) E·dC B·dS dt 感应电场EK与静磁场B类似,均为有旋无源场,满足高斯定理: E·ds=0 静电场与感应电场均可作用于电荷,因此可统一定义空间的总电场为: E =E。+ E 则总电场满足的高斯定理及环路定理为 了Ed=E+ 了Ed= de+Exd=-[oB Eds=y/ Eo Ed=」 aB 考虑磁场。磁场随时间变化时仍为无源场
第 38 章：麦克斯韦方程组与电磁波 理想 LC 电路中能量没有耗散，是否真的永不停息地振荡下去？电磁场究竟能否 脱离源（电荷，电流）而存在？光的本质又是什么？所有这些问题都是 Maxwell 建立其伟大的方程组之前人们所不了解的。 （一）回顾 让我们回想已学到的电磁学的知识： 静电场 0 S q E ds ε ⋅ = ∫ r r 静磁场 0 B ds S ⋅ = ∫ r r 0 E d S ⋅ = ∫ r r l BS 0 ⋅ = d I μ ∫ r r l 电磁感应： d dt φ ε = − （动态场） ↓ ↓ ( ) K S d B E d B dS dS dt t ∂ ⋅ =− ⋅ =− ⋅ ∂ ∫ ∫∫ r rr r r r l 感应电场 EK r 与静磁场 BS 类似，均为有旋无源场，满足高斯定理： r 0 E ds K ⋅ = ∫ r r 静电场与感应电场均可作用于电荷，因此可统一定义空间的总电场为： EE E = +S K rr r 则总电场满足的高斯定理及环路定理为： 0 S K q E ds E ds E ds ε ⋅= ⋅+ ⋅= ∫∫ ∫ rr r rrr S K B E d Ed Ed d t ∂ ⋅ = ⋅ + ⋅ =− ⋅ ∂ ∫∫ ∫ ∫ S r rr r r r r r lll 即： 0 q E ds ε ⋅ = ∫ r r B E d dS t ∂ ⋅ =− ⋅ ∂ ∫ ∫ r r r r l 考虑磁场。磁场随时间变化时仍为无源场: 6
了B·d=0仍成立(因为没有磁单极) 但安培定律是否成立B、d=A1?需打一个大大的间号! 不妨看一个例子假设长度为L的导线中有电流/,在与棒垂直的线上距离 导线d处的磁场可以解得: B4= 4Id L2 (33章 pagel754) +d2)2 4 计算环绕此导线的一个安培环路上的积分为 dl=B 2rd= 4o/ L T≠山1,安培定理不成立! (L2/4+d2) 仔细分析只有L→时Bd=A1l才正确! 什么原因使得安培定理不成立? 习题:P843, Problems,13,15,l6 P. 859. Problems. 8 思考题(选作)
∫ B ds ⋅ = 0 仍成立（因为没有磁单极） r r 但安培定律是否成立 BS 0 ⋅ = d I μ ∫ r r l ？ 需打一个大大的问号！ 不妨看一个例子 假设长度为 L 的导线中有电流 I ，在与棒垂直的线上距离 导线d处的磁场可以解得： 0 2 1 2 2 4 ( ) 4 I L B d L d φ μ π = + （33 章 page1754） I L/2 -L/2 d 计算环绕此导线的一个安培环路上的积分为： 0 1 0 2 2 2 2 2 (4 ) I L B dBd L d I μ ⋅ =⋅ = π ≠ μ + ∫ r r l ，安培定理不成立！ 仔细分析 只有 时 L → ∞ B 0 ⋅ = d μ I ∫ r r l 才正确！ 什么原因使得安培定理不成立？ 习题：P. 843, Problems, 13, 15, 16 P. 859, Problems, 8 思考题（选作） 7