第六讲 复习: *高斯定理的应用:注意对称性分析 对球对称体系,球壳,球体(均匀)(非均匀) r>R, E(r)= 4 r<R各不相同 导体的静电平衡条件 H在表面上E=0,1E4()=a(F)/50(是未知量) (3)同轴电缆静电平衡 同轴电缆是由两个同轴的柱状导体壳嵌套而成的,它在现代通信业中有着重要的 应用。考虑这种体系的静电平衡问题,设 内导体(处在a<P<b范围)上导体单位长度的电量 外导体(处在C<p<d范围)上导体单位长度的电量 求平衡时电荷分布及电场分布。 解:根据导体静电平衡时的第一个基本性质,电荷只能 分布在内外导体的4个表面上 设四表面的单位长度电量为 先寻4条独立方程确定电荷分布。 由电荷守恒:+=(1) 12+=(2) 导体内部电场为0,则 当a<p<b时,En()≡0; 当c<P<d时,En(p)≡0。 根据体系的对称性,电荷在4表面上均匀分布,因此电场的方向平行于e,大小 只依赖于p:E=E(p)n。这与导体静电平衡时的第二个性质E‖e。(在导
第六讲 复习： * 高斯定理的应用：注意对称性分析 对球对称体系，球壳，球体（均匀） （非均匀） 2 0 1 , ( ) 4 Q r R Er πε r > = r R < 各不相同 * 导体的静电平衡条件 I 0 ρin = 0 Ein = v II 在表面上 E|| = 0 ， v III 0 Er r ( ) ( )/ σ ε ⊥ = r r （σ 是未知量） ----------------------------------------------------------------------------------------------------- （3）同轴电缆静电平衡 同轴电缆是由两个同轴的柱状导体壳嵌套而成的，它在现代通信业中有着重要的 应用。考虑这种体系的静电平衡问题，设 内导体（处在 a < ρ < b 范围）上导体单位长度的电量λ 外导体（处在c < < ρ d 范围）上导体单位长度的电量 λ ' 求平衡时电荷分布及电场分布。 解：根据导体静电平衡时的第一个基本性质， 电荷只能 分布在内外导体的 4 个表面上。 设四表面的单位长度电量为： ,,, λabcd λλλ ， 先寻 4 条独立方程确定电荷分布。 a b c d I II III IV V 由电荷守恒： λa b + = λ λ （1） ' λc c + = λ λ （2） 导体内部电场为 0，则 当 a < < ρ b 时， () 0 EII ρ ≡ ； 当 c < < ρ d 时， () 0 EIV ρ ≡ 。 根据体系的对称性，电荷在 4 表面上均匀分布，因此电场的方向平行于eˆρ，大小 只依赖于 ρ ： EE e ( )ˆ = ρ ρ v 。 这与导体静电平衡时的第二个性质 E e || ˆρ v （在导
体表面处)一致 在Ⅱ区以p为半径以单位长度为高做一个高斯柱面,利用高斯定理, 0=了ES=A/ n=0 (3) 在Ⅳ区以p为半径以单位长度为高做一个高斯柱面,利用高斯定理, 0=E5=(4+4+)/=n 2+n+2=0(4) (1)-(4)为确定4个未知量的必要的4个方程,解之可得 n=0 1=元 12=- 1=2+元 再根据求得的电荷分布求电场分布 在I,Ⅲl,V三个区各做相应的同轴柱面作为高斯面,利用高斯积分计算可得 E1(p)2m=0→E1(F) Em(p)2m=1/60→Em()=e1/2n0 E1(p)2m=(2+1)/5→E1()=e2(+1)/2nEp 而在I,IV区,导体内场恒为0, Em(F)≡0 用导体的静电平衡第3个特性验证所得的结果 根据所得结果,导体表面电场为: E1(p) Em (e) 28b 28 b
体表面处）一致 在 II 区以 ρ 为半径以单位长度为高做一个高斯柱面，利用高斯定理， 0 0 0 == ⇒ ∫ E dS II a λε λa = v r （3） 在 IV 区以 ρ 为半径以单位长度为高做一个高斯柱面，利用高斯定理， 0 0 ( ) 0 = ⋅ = ++ ⇒ ++= ∫ E dS λλ λε λλ λ cab cab v r （4） （1）-（4）为确定 4 个未知量的必要的 4 个方程， 解之可得， 0 ' a b c d λ λ λ λ λ λ λ λ ⎧ = ⎪ ⎪ = ⎨ = − ⎪ ⎪ ⎩ = + 再根据求得的电荷分布求电场分布 在 I，III，V 三个区各做相应的同轴柱面作为高斯面，利用高斯积分计算可得 ( ) 2 0 ( ) 0 E E I I ρ πρ ⋅ =⇒ = r r r 0 0 ( ) 2 / ( ) / 2 ˆ E E III III r ρ ρ ⋅= ⇒ = πρ λ ε e λ πε ρ r r 0 0 ( ) 2 ( ') / ( ) ( ') / 2 ˆ E E V V r e ρ ⋅ =+ ⇒ = + πρ λ λ ε ρ λ λ πε ρ r r 而在 II， IV 区，导体内场恒为 0， () 0 () 0 II IV E r E r ≡ ≡ r r r r 用导体的静电平衡第 3 个特性验证所得的结果 根据所得结果，导体表面电场为： 0 ( )| 0 a EI a ρ σ ρ ε = = = 0 0 ( )| 2 2 b b EIII b b b ρ 0 λ λ σ ρ πε πε = === ε
Em(e) p=c 1+A! E,(p) Eo 所得的结果均满足导体静电平衡时的第3个性质。 注意:导体静电问题的难点在于不知道电荷分布,因此要充分利用导体静电平 衡时的三大特性,建立合适的方程求解电荷分布。对这类问题,首先想到的是 电荷守恒定律。 (4)更困难的例子: 两个大导体平板,面积均为A,分别带总电量Q,Q,忽略边缘效应,求平衡时 的电场及电荷分布。 解:此时的电荷分布要重新确定,电荷分布为未知量。跟据对称性,忽略边缘 效应,则电荷在表面上必均匀分布,电场在空间任意一点均垂直于板。设平衡时 电荷在4个表面上的面密度分别为O1O2,O3,O3,必须要找出4条方程来确 定这4个未知数。导体上的电荷可以自由移动,但电荷守恒仍需满足 1+a2=Q/A 3+4=QA (2) ∈电荷守恒 还需要2个方程才能完全确定所有未知数。充分发掘导体静电平衡时的特性及利 用高斯定理来寻找这2个方程。构造如图两个高斯面S,S'(截面积为单位面积) 2 o
0 0 ( )| 2 c EIII c c ρ λ σ ρ πε ε = = = − 0 0 ' ( )| 2 d EV d d ρ λ λ σ ρ πε ε = + = = 所得的结果均满足导体静电平衡时的第 3 个性质。 注意：导体静电问题的难点在于不知道电荷分布，因此要充分利用导体静电平 衡时的三大特性，建立合适的方程求解电荷分布。对这类问题，首先想到的是 电荷守恒定律。 （4）更困难的例子： 两个大导体平板，面积均为 A，分别带总电量 Q，Q’，忽略边缘效应，求平衡时 的电场及电荷分布。 Q Q' 解： 此时的电荷分布要重新确定， 电荷分布为未知量。跟据对称性，忽略边缘 效应，则电荷在表面上必均匀分布，电场在空间任意一点均垂直于板。设平衡时 电荷在 4 个表面上的面密度分别为 123 ,,, σ σσσ 3 ，必须要找出 4 条方程来确 定这 4 个未知数。 导体上的电荷可以自由移动，但电荷守恒仍需满足： 1 2 3 4 / (1) '/ (2) Q A Q A σ σ σ σ ⎧ + = ⎨ ⎩ + = Å 电荷守恒 还需要 2 个方程才能完全确定所有未知数。充分发掘导体静电平衡时的特性及利 用高斯定理来寻找这 2 个方程。构造如图两个高斯面 S，S’（截面积为单位面积） σ4 σ3 σ2 I II III IV V S S' σ1
对高斯面S 0+o. 0=E,-E (3)∈导体内电场Em=En=0 对高斯面S E,-E, Ⅳ E 但我们必须确定E。据平面电荷的电场的叠加可得 Er=x[1+a2+3+4] 综上2式可得第四条方程: [G1+a2+o3+4]=o4 (4) 解(1)-(4)可得: (Q+Q) 2A- (-),=24+g) 根据电荷分布可以确定电场(利用导体静电平衡的性质3,朝右为+方向) o+Q Eu=o 2E.4 E Eo 28.A Q+Q 28. A 注 (a)也可以根据4个电荷分布利用面荷的电场公式E=0来计算空闻各点 的电场。试计算之,并与上面结果相比较。 (b)考虑两个特例: 1.Q=Q',则,a2=03=0,a1=04=Q/A,即电荷全部分布在外表面; 2.Q=-Q',则G1=04=0,02=Q1A,a3=-Q/A,即电荷全部分布在内表面;
对高斯面 S 2 0 0 E E III IV σ σ 3 ε + =−= （3）Å 导体内电场 0 E E III IV = = 对高斯面 S’ 4 0 EE E V IV V σ ε − == 但我们必须确定 EV 。据平面电荷的电场的叠加可得： 1234 0 1 [ ] 2 EV σ σσσ ε = +++ ， 综上 2 式可得第四条方程： 1234 1 [ 2 4 σ +++ = σσσ σ ] （4） 解（1）-（4）可得： 1 1 ( 2 Q Q A σ = + ') 2 1 ( ' 2 Q Q A σ = − ) 3 1 (' ) 2 Q Q A σ = − ， 4 1 (' ) 2 Q Q A σ = + 根据电荷分布可以确定电场（利用导体静电平衡的性质 3，朝右为+方向）： 1 0 0 2 0 0 0 ' , 0 2 ' , 0 2 ' 2 I II III IV V Q Q E E A Q Q E E A Q Q E A σ ε ε σ ε ε ε + =− =− = − = = = + = 注： （a）也可以根据 4 个电荷分布利用面电荷的电场公式 0 2 E σ ε = 来计算空间各点 的电场。试计算之，并与上面结果相比较。 (b) 考虑两个特例： 1. Q Q= '，则， 23 14 σ == == σ σσ 0, / Q A，即电荷全部分布在外表面； 2. Q Q = − '，则， 14 2 3 σ = = = =− σσ σ 0, / , / QA QA，即电荷全部分布在内表面；
第98章电与电 (1)电势的概念 与引力势的对比 电场 引力场 电力 引力 电势能 势能 电场(矢量),电势(标量)是静电理论的两种表达式,但并非所有的场都可以 有标量表达形式 (2)环路定理 静电场的一个重要性质是其满足环路定理, (a)点电荷产生的电场 能引入势能的前提条件是场做功与路径无关,又叫堡守场 电场对外电荷的做功 W=Fd e 先从点电荷做功出发 E 场对q的作用力 电场做功为: gQ e . de 4 对于任意一条路径,我们总可以将其分成非常小的小段,则电场做的总功为这些 小段上的贡献的叠加: W=S△W=912△ zE 对每一小段,e·M=N,即M投影在径向的距离。则,电场在这一小段对电荷 做功为 △ 1 9Q △ 4 所将每一小段的做功相加,则有
第 28 章 电势能与电势 （1）电势的概念 与引力势的对比 电场 ⇔ 引力场 电力 ⇔ 引力 电势能 ⇔ 势能 电场（矢量），电势（标量）是静电理论的两种表达式，但并非所有的场都可以 有标量表达形式。 （2）环路定理 静电场的一个重要性质是其满足环路定理。 (a) 点电荷产生的电场 能引入势能的前提条件是场做功与路径无关，又叫保守场 电场对外电荷的做功 f i W Fd = ⋅ ∫ v v l 先从点电荷做功出发 2 0 1 ˆ 4 r Q E e r = v πε 场对 的作用力 q 2 0 1 ˆ 4 r qQ F e πε r = v 电场做功为： 2 0 1 ˆ 4 f r i qQ W e πε r = ⋅ ∫ d v l 对于任意一条路径，我们总可以将其分成非常小的小段，则电场做的总功为这些 小段上的贡献的叠加： 2 0 1 ˆ 4 i r i i i qQ WW e πε r = Δ = ⋅Δ ∑ ∑ i v l 对每一小段，e l ˆ r ⋅Δ =Δ ，即 r r Δl r 投影在径向的距离。则，电场在这一小段对电荷 做功为 2 0 1 4 i i i qQ W r πε r Δ= Δ 所将每一小段的做功相加，则有
W=∑ tEO 4丌E tEo r 电场对电荷的做功与路径无关! (b)线性叠加原理→此结论对任意电荷分布成立! W=「dFd不依赖于路径 保守场)向心力是根本!F‖e 向心力,任意路径可以分成E+E F做功沿e的路径积分为0 F只对沿e方向的路径做功 可以马上推出电场的环路定理 F·dC=0 E·dC=0
2 2 0 0 1 1 4 4 f i r i r i qQ qQ W r πε r r πε =∑ Δ = ∫ dr 1 0 0 1 1( ) 4 4 f r i f r qQ r r =− = − πε πε 1 r r N r 3 r Q 2 i f r 1 电场对电荷的做功与路径无关！ （b）线性叠加原理 Æ 此结论对任意电荷分布成立！ W d 不依赖于路径 f i = ⋅ F d ∫ v vl （保守场） 向心力是根本！ || ˆ F er v 向心力，任意路径可以分成 ˆ ˆ r e e + θ F v 做功沿 eˆ θ 的路径积分为 0 F v 只对沿 方向的路径做功 ˆr e 可以马上推出电场的环路定理 0 c F d⋅ = ∫ v v l ⇔ 0 c E d⋅ = ∫ v v l
C指任意闭合路径。 (3)电势能的定义 有过程,→f,场对带电体做功,W=」Fd 使物体的机械能增加:△K=FdC 能量哪里来?由电场与电荷的相互作用能的减少作为代价 电场与电荷的相互作用能定义为电势能(可以与引力势能相比较) 将电场与带电体作为一体来考虑,根据能量守恒,则在f的过程中 总能量守恒。在这个过程中,外电场没有发生变化,带电体自身的电 场没有发生变化,只有带电体在外电场中的相对位置有关,即相互作 能(电势能)发生了改变。故:电势能的减少等于机械能的增加 △U+△K=0△U+「FdC=0 电势能的数学定义()-(0=Fd 习题:P630, Exercises,15(不要预先假设电荷分布在内表面!),25 P631-633, Problems,8,14,16
C 指任意闭合路径。 （3）电势能的定义 有过程， ，场对带电体做功， i → f f i W Fd = ⋅ ∫ v v l 使物体的机械能增加： f i ΔK = ⋅ F d ∫ v v l 能量哪里来？ 由电场与电荷的相互作用能的减少作为代价 电场与电荷的相互作用能定义为电势能（可以与引力势能相比较） 将电场与带电体作为一体来考虑，根据能量守恒，则在 i—f 的过程中， 总能量守恒。在这个过程中，外电场没有发生变化，带电体自身的电 场没有发生变化，只有带电体在外电场中的相对位置有关，即相互作 能（电势能）发生了改变。故：电势能的减少等于机械能的增加 0 0 f i Δ +Δ = ⇔ Δ + ⋅ = U K U Fd ∫ v v l ⇓ 电势能的数学定义 ( ) () f i U f Ui F d − =− ⋅ ∫ v v l 习题：P.630, Exercises, 15 (不要预先假设电荷分布在内表面！)， 25 P.631-633, Problems, 8, 14, 16