第19次课(引力势能,能量与轨道,开普勒问题)20071114 上节课解决了椭圆轨道问题(椭圆轨道一)万有引力定律) ?? 开普勒问题 牛顿方程 能量 轨道 总能 mM;参数 守恒量 半轴 角动量微分方程 e偏心率 初始条件r0,vo 引力势能: 选取无穷远处的引力势能为零 u=-「F.dr mM dr =cG mM t.·dr=d u(r)=_GmM 为负值,间距r越小,势能越小 守恒量:太阳+行星系统(无外力做功)总能E守恒 (无外力矩,引力通过太阳)相对于太阳的行星角动量L守恒 L=r×mv= rosin日 m1= const(常量)
第 19 次课 (引力势能，能量与轨道，开普勒问题) 2007.11.14 上节课解决了椭圆轨道问题 （椭圆轨道 → 万有引力定律） ← ？？ —— 开普勒问题 引力势能： 选取无穷远处的引力势能为零 2 r r u F dr mM G dr r mM G r ∞ ∞ =− ⋅ ′ ⎛ ⎞ = − ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ′ = − ∫ ∫ K JK JK ( ) GmM u r r = − 为负值，间距 r 越小，势能越小 守恒量： 太阳 + 行星系统 (无外力做功) 总能 E 守恒 (无外力矩，引力通过太阳) 相对于太阳的行星角动量 L 守恒 L r mv rmv =× = sinθ JKK K mrv const = = ⊥ (常量) m 微分方程 初始条件 r0 K , v0 K 2 ˆr dv mM m Gu dt r = − K 参数 a 长半轴 e 偏心率 守恒量 总能 角动量 能量 YZZZZ ZZZZZXZ 轨道 牛顿方程 M ( ) ∞ ˆr u ˆr u d r dr ⋅ = K d r K r K M v⊥ r K θ v
对于椭圆轨道 行星每时每刻的速率不相等,即v=v,+"i 径向速率垂直于径向速率 其中 行星动能:K=m+m2s L 2 GmM D 势能 (D=GmM) 能量:E=K+U=m(2m2r K,径向动能U(),有效势能 r→>0→∞ r→∞→0 r=极有效势能极小点 E(r)= const常量与r,v,无关 =b,}=,代入E 1-ecos a↑,E↑轨道大能量大(近地卫星,能量小 可得:E=-D=Dm(2-)人同一长半轴a的不同轨道,不同偏心韦但能量一样大 EL E E E1=E2=E3 同一长半轴a的不同轨道,e个,L个越扁L越小 同样:L=aDm(-e) L1>L2>L3
对于椭圆轨道： 行星每时每刻的速率不相等，即 ˆ ˆ r r v vu v u = + ⊥ ϕ K 径向速率 垂直于径向速率 其中：vr r ⊥ = = ϕ ω 行星动能： 2 22 2 2 11 1 22 22 r r L K mv mv mv mr =+=+ ⊥ 势能： GmM D U r r =− =− ( D = GmM ) 能量： 2 2 2 1 2 2 r L D E K U mv mr r ⎛ ⎞ =+= + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Kr ,径向动能 U r eff ( ), 有效势能 r → 0 → ∞ U r eff ( ) r → ∞ → 0 r r = 极 有效势能极小点 E r const ( ) = 常量 与r , r v 无关 0 1 cos r r e ϕ = − , 2 0 b r a = , r r v = , 代入 E a ↑ , E ↑ 轨道大能量大 (近地卫星, 能量小) 可得： ( ) 2 2 2 1 2 2 D Dm E e a L =− = − 同一长半轴 a 的不同轨道, 不同偏心率, 但能量一样大 同样： ( ) 2 L aDm e = −1 —— v⊥ K r K ϕ v K r v K 2a EEE 123 = = E1 2a 2a E2 E3 L1 L2 L3 同一长半轴 a 的不同轨道，e ↑ , L ↑ 越扁 L 越小 LLL 123 > > Ueff r 极 2 2 2 L mr D r r U r eff ( )
E E=E E=0 E=E-本 E=E 2 D 1)E=Em0,e>1,rn<r<∞,双曲线 守恒量轨道参数初始条件 E L 不同初始条件(x,)决定了轨道参量(ae),也决定了系统的能量和角动量(E,L) 反之亦然。 严格讲,地球表面 能量→)决定轨道 上抛物运动实际上 是一个椭圆曲线
1) min E E = 0 , e >1, min r r < <∞ , 双曲线 守恒量 轨道参数 初始条件 0 0 E a r L e v ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ U U 不同初始条件( ) 0 0 r v, 决定了轨道参量(a e, ) ，也决定了系统的能量和角动量( ) E L, ， 反之亦然。 M v0 K 能量 →决定轨道 严格讲，地球表面 上抛物运动实际上 是一个椭圆曲线。 Ueff r Kr E = 0 E E E = min E E = 2 E E = 1 rmin r max r 极小 r
“----- v初速→>圆形轨道 E轨道变化 能量改变 个 来源于动能 举例:嫦娥卫星的近月制动! 解决开普勒问题:由万有引力定律导出开普勒三定律! mM 本D rm— rxl dL 0L= const常矢量,守恒量 Z=xm=m2=2m2m)=2ns→S=m-开普勒第二定律证毕 2 M. GM(1 did di ②=-G"ln= L=mro dt dt L dt dv=2cn积分、L
在近日点（或远日点）加速或减速 → 轨道变化 ↑ 能量改变 ↑ 来源于动能 举例：嫦娥卫星的近月制动！ 解决开普勒问题：由万有引力定律导出开普勒三定律！ ① 2 2 ˆ ˆ r r dv mM D m Gu u dt r r =− =− K 2 ˆ 0 r dv D rm ru dt r × =− × = K K K 0 d L dt = JK → L const = JK 常矢量, 守恒量 1 2 2 2 L r mv rmv m rv mS ⊥ ⊥ ⎛ ⎞ =× = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JKK K → S const = — 开普勒第二定律证毕 ② 2 2 1 ˆ ˆ ˆr dv M GM D du du G u dt r r dt L dt ϕ ϕ ω ⎛ ⎞ =− = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ K 2 L mr = ω ˆ D d v du L = ϕ K ⎯积分 ⎯⎯→ ˆ L vu c D = ϕ + K K 0 v 初速 →圆形轨道 E < 0 , 闭合轨道 2 v 0 v3 r M 3 v 1 v 0 v 0 v 1 v 2 v v⊥ K r v K
c:由初始条件决定的常矢量 当9=0,_Ⅱ.al ▲v D L v·Ln=Lni+ci 1+ccosφ r m (圆锥曲线) DM(1+ccos p) 可以是椭圆,则c=-e, rpMa(e2)_b2 DM 轨道椭圆,第一定律证毕 椭圆面积 ③S= dt →S=丌ab=-T 2 2m b2 2m a-b Dm 4Tm D GM 第三定律证毕 与行星质量无关常量 开普勒问题解决 人、如 .牛顿万有引力定律微分方程 开普勒三个定律是该方程的解,轨道由徵分方程+初始条件决定 守恒量轨道参数 dv mM +初始条件[6)些定E
c K : 由初始条件决定的常矢量 当ϕ = 0 , 0 v jˆ ϕ= K & , 0 ˆ u j ˆ ϕ= & c jˆ K & , 0 0 ˆ ˆˆ 1 L L c v j v j cj D D ϕ ϕ = = ⎛ ⎞ = −= − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ K K ˆ ˆ L v u cj D = + ϕ K ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1 cos L v u u u cj u c D ⋅ = ⋅ + ⋅ =+ ϕ ϕϕ ϕ ϕ K & 1 L v r r m ⊥ = = ω ( ) 2 1 cos L r DM c ϕ = + （圆锥曲线） 0 1 cos r e ϕ = − 可以是椭圆, 则c e = − , ( ) 2 2 2 0 1 L b r ae DM a = =−= → 2 2 aL b DM = 轨道椭圆, 第一定律证毕. 椭圆面积 周期 ③ 2 L S m = 2 L dS dt m = ⎯积分 ⎯⎯→ 2 L S ab T m = = π 2 2 222 2m T ab L π ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 4 4 m 3 3 a a D GM π π = 第三定律证毕 与行星质量无关常量 开普勒问题解决 2 ˆr dv mM m Gu dt r = − K 牛顿万有引力定律微分方程 开普勒三个定律是该方程的解，轨道由微分方程 + 初始条件决定 守恒量 轨道参数 2 ˆr dv mM m Gu dt r = − K + 初始条件 0 0 r E a v L e ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ K K YZZZ YZZZ ZZZX ZZZX 决定 决定 uˆϕ y x ϕ v K vϕ=0 K ˆr u ϕ 2 2 aL b Dm =
规律的有心力->导致了美妙的行星运动轨迹(圆锥曲线) 如果不是的力—宇宙将会是什么?行星的轨道? 为什么一定是一规律的力,更深层的原因是什么? 开普勒问题的解是西方思想登峰造极的成就,就像贝多芬的交响乐,或莎士比亚的戏剧, 或西斯廷教堂的穹顶一样,她是我们文化遗产的一部分。 物理不仅是自然科学的基石,而且她也是一种文化! 当你在罗马西斯廷大教堂欣赏米开朗基罗的穹顶壁画时,你应该想到牛顿的万有引力定 律与她可以比美;当你在纽约联合国邮局发送明信片时,你能向同伴讲解傅科摆;当你在英 国游览伦敦桥和大笨钟时,请你不要忘记造访西斯敏斯大教堂,因为那里有科学巨人牛顿的 个崇尚科学的民族是一个伟大的民族! 一个崇尚科学的国家是一个强盛的国家 廿一世纪如果是中国的世纪,她不仅要具有先进的技术,她必须是一个崇尚科学的国家 因为科学是先进文化的重要组成部分!
2 1 r 规律的有心力 ⎯⎯→ 导致了美妙的行星运动轨迹（圆锥曲线） 如果不是 2 1 r 的力 ⎯⎯→ 宇宙将会是什么？行星的轨道？ 为什么一定是 2 1 r 规律的力，更深层的原因是什么？ 开普勒问题的解是西方思想登峰造极的成就，就像贝多芬的交响乐，或莎士比亚的戏剧， 或西斯廷教堂的穹顶一样，她是我们文化遗产的一部分。 物理不仅是自然科学的基石，而且她也是一种文化！ 当你在罗马西斯廷大教堂欣赏米开朗基罗的穹顶壁画时，你应该想到牛顿的万有引力定 律与她可以比美；当你在纽约联合国邮局发送明信片时，你能向同伴讲解傅科摆；当你在英 国游览伦敦桥和大笨钟时，请你不要忘记造访西斯敏斯大教堂，因为那里有科学巨人牛顿的 墓。 一个崇尚科学的民族是一个伟大的民族！ 一个崇尚科学的国家是一个强盛的国家！ 廿一世纪如果是中国的世纪，她不仅要具有先进的技术，她必须是一个崇尚科学的国家。 因为科学是先进文化的重要组成部分！