第15次课(保守力,非保守力,势能,机械能守恒定律,例题)(10月26日 在时间上积累效应→冲量J=「F=p/-p,冲量一动量定理 力 在空间上积累效应→功W=「FdS=K-K,功一动能定理 从做功的角度看 弹簧力 重力 保守力万有引力(有心力) 电场力 力 非保守力一摩擦力 1)弹簧力做功F=-k 只与起始和终止位置有关 W kxdx= L2)与具体经历路径无关 2 如果回到起点(x=x),闭合路径W=0 2)重力做功F=-mgk r=xi +y+zk dr=dxi+dy+dck 只与起始和终止位置有关 -Fd=-mgh=-mg(=-)<与具体经历路径无关 如果回到起点(r=2 闭合路径W=0 3)摩擦力做功 W=「=A1 与具体路径有关 ys2 fd≠0
第 15 次课 (保守力，非保守力，势能，机械能守恒定律，例题) (10 月 26 日) 在时间上积累效应 → 冲量 f i J Fdt p p = = − ∫ JK JK JK 冲量—动量定理 力 在空间上积累效应 → 功 W F dS K K = f i ⋅=− ∫ JK JK 功—动能定理 从做功的角度看 弹簧力 重力 保守力 万有引力（有心力） 力 ⎯做功 ⎯⎯→ 非保守力 — 摩擦力 1) 弹簧力做功 F kx = − 1 1 2 2 2 2 f i x f i x W kxdx kx kx ⎛ ⎞ = − =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 2) 重力做功 F mgkˆ = − JK ˆ ˆ ˆ r xi yj zk =++ K ˆ ˆ ˆ d r dxi dyj dzk = ++ K ( ) f i f z f i i z W F d r mgdz mg z z = ⋅ = − =− − ∫ ∫ JK K 3) 摩擦力做功 1 1 1 2 2 2 W fds fs W fds fs = = = = ∫ ∫ 与具体路径有关 fds ≠ 0 v∫ 电场力 … 只与起始和终止位置有关 与具体经历路径无关 如果回到起点( f i x = x ), 闭合路径W = 0 − = kxdx 0 v∫ 只与起始和终止位置有关 与具体经历路径无关 如果回到起点( f i z z = ), 闭合路径W = 0 “1” ds i “2” 2 s 1s f
力做功区分保守力与非保守力 做功 路径 与路径 闭合路径 保守力 无关 W=dF.dS=0 非保守力 有关 W=6FdS≠0 几种保守力的特定条件: 1)一维运动:凡是位置坐标x单值函数的力都是保守力,如胡克定律∫=-k 2)一维以上运动:力的方向与大小都与位置无关,则是保守力,如重力 3)有心力(大小仅是r的单值函数):在空间上存在一个中心O,物体P在任何位置 所受的力f‖OP,如万有引力 证明有心力是保守力 f(=f(r)i dW=f·dr=f() cos eds(d为微元的弧长) f(r)ar W=Jf()b=∫f()可积积分只与厂和有关,与路径无关 ∫是保守力 势能: 势能是把物体从一个初始位置o(任意规定的,在这一点势能定为零)没有加速度地移动 到给定点时,“我们”所做的功 对于保守力F,给定点位置的势能U()=-Fd5= 定义了势能>我们可以方便计算保守力使物体从i初态变到末态∫所做的功 W=FdS=「FdS-「F.dS=(-F,ds (Ur-U)=-△U 即保守力做的功等于势能的减少 W=-△U
力做功区分保守力与非保守力 做功 路径 力 与路径 闭合路径 保守力 无关 W F dS = ⋅ = 0 ∫ JK JK v 非保守力 有关 W F dS = ⋅ ≠ 0 ∫ JK JK v 几种保守力的特定条件： 1) 一维运动：凡是位置坐标 x 单值函数的力都是保守力，如胡克定律 f = −kx 2) 一维以上运动：力的方向与大小都与位置无关，则是保守力，如 重力 3) 有心力（大小仅是 r 的单值函数）：在空间上存在一个中心O ，物体 P 在任何位置 所受的力 f OP JK JJJK & ，如万有引力 证明有心力是保守力 dW f d r f r ds =⋅ = ( ) cosθ JK K ( ds 为微元的弧长) = f ( ) r dr () () f i f r i r W f r dr f r dr = = ∫ ∫ 可积积分只与 f r 和 ir 有关，与路径无关 f JK 是保守力 势能： 势能是把物体从一个初始位置 O(任意规定的，在这一点势能定为零)没有加速度地移动 到给定点时，“我们”所做的功。 对于保守力 F JK ，给定点 r K 位置的势能 ( ) , 0 r U r F dS WO r =− ⋅ =− ∫ K K K JK JK 定义了势能 → 我们可以方便计算保守力使物体从i 初态变到末态 f 所做的功 00 0 0 ( ) ( ) f fi i f if i W F dS F dS F dS F dS F dS = ⋅ = ⋅ − ⋅ =− ⋅ −− ⋅ ∫∫∫ ∫ ∫ JK JK JK JK JK JK JK JK JK JK = − − = −Δ (UU U f i) 即保守力做的功等于势能的减少 W U = −Δ ( ) ( ) ˆr f r f ru = JK d r K i θ r K f
械能守恒定律 在一个只有保守力的系统中,系统的机械能E(动能K与势能U之和)守恒。 AE=△(K+U)=0或E=K+U常量 ∵在一个保守力的系统中,保守力做的W=-△U,同时根据功一能定理W=△K △U=△K势能的减少=动能的增加 动能与势能可以相互转换 对于转动系统(刚体或质心系)的动能K=M2 势能质心的位置的势能 例题 圆柱体从静止开始无滑动滚下,质心下落了 N h高度时,求质心的速率v 解决这一问题常用的方法 1)动力学方法 2)功能定理的方法 3)机械能守恒的方法>该系统中虽然有非保守力∫,但∫不做功,其它力是保守力, 故E是守恒量 初始位置:势能零点,动能为零E1=0 末态位置:-mgh+m2+l2=Er=0 K 约束条件:纯滚动v=RO和=mR2代入 V3 问题:为什么摩擦力∫不做功?
机械能守恒定律 在一个只有保守力的系统中，系统的机械能 E (动能 K 与势能U 之和)守恒。 Δ =Δ + = E KU ( ) 0 或 E KU = + 常量 ∵ 在一个保守力的系统中，保守力做的W U = −Δ ，同时根据功—能定理W K = Δ ∴ −Δ = Δ U K 势能的减少 = 动能的增加 动能与势能可以相互转换 对于转动系统（刚体或质心系）的动能 1 1 2 2 2 2 K = + Mv I c ω 势能 质心的位置的势能 例题： 圆柱体从静止开始无滑动滚下，质心下落了 h 高度时，求质心的速率 c v 解决这一问题常用的方法 1) 动力学方法 2) 功能定理的方法 3) 机械能守恒的方法 → 该系统中虽然有非保守力 f ，但 f 不做功，其它力是保守力， 故 E 是守恒量 初始位置： 势能零点，动能为零 0 Ei = 末态位置： 1 1 2 2 0 2 2 −mgh mv I E + + == c f ω U K 约束条件： 纯滚动 c v R = ω 和 1 2 2 c I = mR 代入 4 3 c v gh = 问题：为什么摩擦力 f 不做功？ x y N l α mg f R h
2)用功能定理解决该问题 质心平动:( mg sin a-f)l=m2 外力做功质心动能的变化 绕质心转动:W4=「rd R 转动功转动动能 加约束条件:R=1,V=RO和代入=mR 问题:在这里显然我们用了摩擦力做的功,但为什么上面我们还能用机械能守恒? 1)平动:做了负功,使平动能减少了f 注意:这里的摩擦力做了两部分功 2)转动:R摩擦力矩做了正功,使转动能增加了∫ 摩擦力做的总功为零 仅仅使一部分平动动能转化为转动动能 另外,纯滚,接触点瞬时静止,无相对滑动,故不做功。 例题:给小球一个初始速度v,摩擦系数H 问:1)多长距离变为纯滚? 2)纯滚时的质心速率? 解:力:f=-mng=ma。al=-gv.()=v0-gr 力矩:r=Wmgr=laa=mg"=548 5ug
2) 用功能定理解决该问题 质心平动：( ) 1 2 sin 2 mg f l mv α − = c 外力做功 质心动能的变化 绕质心转动： W d = z τ ϕ 转 ∫ ( ) 0 fR d ϕ ϕ − = − ∫ = fRϕ 1 2 2 c = I ω 转动功 转动动能 加约束条件： Rϕ = l ， c v R = ω 和代入 1 2 2 I = mR 4 3 c v gh = 问题：在这里显然我们用了摩擦力做的功，但为什么上面我们还能用机械能守恒？ 1) 平动：做了负功，使平动能减少了 fl 注意：这里的摩擦力做了两部分功 2) 转动： fR 摩擦力矩做了正功，使转动能增加了 fl ⇓ 摩擦力做的总功为零 ↓ 仅仅使一部分平动动能转化为转动动能 另外，纯滚，接触点瞬时静止，无相对滑动，故不做功。 例题：给小球一个初始速度v0 K ，摩擦系数 μ 问：1) 多长距离变为纯滚？ 2) 纯滚时的质心速率？ 解： 力： c f =− = μmg ma c a g = −μ c ( ) 0 v t v gt = − μ 力矩： τ = = μ α mgr I 5 2 mgr g I r μ μ α = = ( ) 5 2 g tt t r μ ω α= = f 0 v r m
随时间t↑,,O↑t时间v=rO纯滚 vo -ugt=at 7 g 距离S=+1ar2=12,,=5 g W,=lS(=4 mo △K=/K、1n0 问题:为什么W≠△K?
随时间t ↑ ， c v ↓ ，ω ↑ t 时间 c v r = ω 纯滚 0 5 2 g v gt t r μ − = μ 0 2 7 v t μg = 距离 2 2 0 0 1 12 2 49 c v S vt at μg =+ = ， 0 5 7 c v v = 2 0 2 0 12 49 7 49 f f i W f S mv K K K mv =⋅= Δ= − = 问题：为什么W K f ≠ Δ ？