第16次课(势能与平衡,能量守恒定律,内能,热量,守恒定律与对称性)10月31日 空间势能函数 保守力做功用势能表示 保守力F引入 U W=「FdS=-△U 保守力做功=系统势能的减少 系统 △=-△U或△(K+U)=0E=K+机械能 机械能守恒定律 (x) 势能U(x)→x()←1=」 dx (E-U() 对于一维保守系统:已知 总能E(守恒量)(F()、dU(x) 1)E=E F(x)= 稳定平衡 E3 E 2)E=E2 Ez 不稳定平衡 3)E=E3,x=x4,中性(随遇) xxxx,「x 平衡 du(x) 4)E=E,xsx≤x2,运动(平=F 对三维系统的势能函数:U(r)=U(x,y,z V a=k梯度算符 在势能函数空间,物体在空间某点受力=势能函数在该点的梯度的负值 梯度大→力大
第 16 次课 (势能与平衡，能量守恒定律，内能，热量，守恒定律与对称性) 10 月 31 日 ( ) ( ) 2 x v E Ux m =± − 势能U x( ) ⇒ x(t) ← ( ) ( ) 0 1 ' 2 x x t dx E Ux m = − ∫ 总能 E (守恒量) ( ) dU x( ) F x dt = − 1) E E = 0 , 0 x = x , F x( 0 ) = 0 稳定平衡 2) E E = 2 , 3 x = x , ( ) 3 F x = 0 不稳定平衡 3) E E = 3 , 4 x = x , 中性（随遇） 平衡 4) E E = 1 , 1 2 x ≤ ≤x x , 运动（平 衡） 对三维系统的势能函数：U r U xyz ( ) = ( ) , , K ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ Ur Ur Ur F Ur i j k xy z ∂∂ ∂ = −∇ = − − − ∂∂ ∂ K K K JK K ˆ ˆ ˆ i jk x y z ∂ ∂ ∂ ∇= + + ∂ ∂ ∂ 梯度算符 在势能函数空间，物体在空间某点受力 = 势能函数在该点的梯度的负值 系统 保守力 F JK 引入 空间势能函数 U r( ) K 保守力做功用势能表示 W F dS U = ⋅ = −Δ ∫ JK JK 保守力做功 =系统势能的减少 Δ = −Δ K U 或Δ(K U+ =) 0 机械能守恒定律 E KU = + 机械能 ( ) ( ) dU x dt F x − = 4 x x 3 x 2 x 1 x 0 x E3 E2 E1 E0 x 对于一维保守系统：已知 梯度大 力大
能量与稳定性 稳定平衡 ∑Fm∑U() 极小值 物体偏离平衡位置 势能上升,有恢复力 举例:分析比萨斜塔 外界干扰 --=- 自我恢复能力 稳定平衡系统 费米能级平衡建筑静力平衡化学反应平衡生态平衡社会稳定平衡…… 电荷, 地震, 温度, 气候…失业率… 具有抗外界干扰能力 物体若不处在势能极小点,则无恢复力,物体将受力发生偏离原来位置的运动势能的差异 势差水流 电势差)电流 浓度差>扩散流 差别一导>流动(运动 地域差别-〉人员流动,资本流动 政治差别→?? 经济差别
举例：分析比萨斜塔 物体若不处在势能极小点，则无恢复力，物体将受力发生偏离原来位置的运动 势能的差异 势差 → 水流 电势差 → 电流 浓度差 → 扩散流 差别 ⎯导致 ⎯⎯→ 流动（运动） …… 地域差别 → 人员流动，资本流动 政治差别 → ？？ 经济差别 稳定平衡系统 外界干扰 自我恢复能力 费米能级平衡 电荷, … 地震,… 建筑静力平衡 化学反应平衡 温度,… 气候,… 生态平衡 社会稳定平衡 …… 失业率,… 具有抗外界干扰能力 物体偏离平衡位置， 势能上升，有恢复力 U r( ) K 0 极小值 τ ext = ∑K 0 Fext = ∑JK 稳定平衡 能量与稳定性
Chapter 13 Energy 3: Conversation of Energy 保守系统 更大的系统, K+l △U+△K=W 无外力 系统机械能来源于 外界做功 外力做功W 保守力→>U1 A(U+U1+K)=0 机械能守恒 有功形式 机械能守恒定律随系统选择不同其表示形式不同 无功形式 系统=物块 系统=物块+弹簧 系统=物块+弹簧+地球 弹簧力做功 f W 地球)万有引力做功 地球 地球 △K=W+W △(K+ △(K+ spring +U 0 能量守恒定律表现形式-)系统选择有关 能量守恒定律普遍成立,但对一些系统仅用机械能无法解释,例如: 1)手推黑板:力的作用点没有位移△Wa=0,重心没有竖直方向移动△U=0 若用△U+△K=Wa→△K=0,但实际△K≠0→矛盾
Chapter 13 Energy 3: Conversation of Energy 能量守恒定律普遍成立，但对一些系统仅用机械能无法解释，例如： 1) 手推黑板：力的作用点没有位移 0 ΔWext = ，重心没有竖直方向移动 Δ = U 0， 若用 Δ +Δ = U KWext → Δ = K 0，但实际 ΔK ≠ 0 ⇒ 矛盾 地球 地球 地球 ⇑ Wgrav 万有引力做功 系统 =物块 系统 =物块 + 弹簧 系统=物块 + 弹簧 + 地球 ⇓ Wspring 弹簧力做功 ⇑ Wgrav Δ= + KW W spring grav Δ+ = (KU W spring grav ) 能量守恒定律表现形式 → 系统选择有关 ( ) 0 Δ KU U ++= spring grav 更大的系统， 无外力 ( ) 1 Δ UU K ++ = 0 机械能守恒 系统机械能来源于 外界做功 ΔU KW +Δ = ext 外力做功Wext 保守力 →U1 保守系统 K U+ 有功形式 无功形式 机械能守恒定律随系统选择不同其表示形式不同
2)压缩弹簧一物体: 压缩弹簧,ΔU≠0,静止释放→>振动一 摩擦>静止 △K=0 系统无外力W=0 由△U+△K=Wc→△Umg=0 矛盾 解决以上矛盾,必须在能量守恒方程中加一新的能量项:系统内能( internal energy) △K+△U+△Em=W 1)手推黑板:△K+△Em=0△K=-AEm人获得动能来源人体内能的减少 2)有摩擦的弹簧物块:△UJmm+AEm=0,系统储有的弹性势能转化为系统的内能 △(K+U+Em+…)=H 其他类型能量 但它不能解释加热壶水系统 3)加热壶水系统 系统:△K=0,△U=0,△E≠0,△W=0 // 由A(K+U+Em)=H→△Em=0,矛盾 解决这一矛盾:系统能量增加除了通过外界做功的途径,另一个途径是外界输入的热量 △(K+U+△Em+…)=W+Q(热力学第一定律)
2) 压缩弹簧—物体： 解决以上矛盾，必须在能量守恒方程中加一新的能量项：系统内能(internal energy) Eint Δ +Δ +Δ = KUEW int ext 1) 手推黑板： int Δ +Δ = K E 0 Δ = −Δ K Eint 人获得动能来源人体内能的减少 2) 有摩擦的弹簧物块： int 0 Δ +Δ = U E spring ，系统储有的弹性势能 转化为系统的内能 Δ ++ + = ( ) KU E W int " ext 其他类型能量 但它不能解释加热壶水系统 3) 加热壶水系统： 解决这一矛盾：系统能量增加除了通过外界做功的途径，另一个途径是外界输入的热量 Q ，故： Etotal Δ + +Δ + = + ( ) KU E W Q int " ext （热力学第一定律） 系统：ΔK = 0，ΔU = 0， int ΔE ≠ 0， 0 Δ = Wext 由 Δ ++ = (KU E W int) ext → int ΔE = 0 ，矛盾 x = 0 压缩弹簧， 0 ΔUspring ≠ ，静止释放 →振动 ⎯摩擦 ⎯⎯→ 静止 系统无外力 0 Wext = ΔK = 0 由 0 ΔU KW U +Δ = →Δ = ext spring 矛盾
质心能量方程(coM)与能量守恒方程(CoE) dv 由Fx=macm 两边积分 f.dx -m2=Km/-Km=△ =△K 合外力(不一定通过质心)集中在质心对质心所做的功等于质心平动能的改变 COM 解决问题例子详见讲义 COE 摩擦力做功 匀速运动,T=∫ v= Constant W 系统:MK+△En1=W+W T 故Wr=-AS+△E 表明在有内能变化的条件下,摩擦力做功一般不能表示成W=-S 守恒定律与对称性1918年诺特定理 1)动量守恒<>空间平移对称性(或不变性) 势能U()在空间、时间平移以及空间转动不变 2)角动量守恒>空间转动对称性 3)机械能守恒<>时间平移对称性 举例:核电<>水电的转换
质心能量方程（COM）与能量守恒方程（COE） 由 F ma ext cm = → cm ext cm cm cm cm cm cm dv F dx ma dx m v dt mv dv dt == = 两边积分 2 2 , ,, , 1 1 2 2 Fext cm cm f cm i cm f cm i cm dx mv mv K K K = − = − =Δ ∫ W K cm ext cm , = Δ 合外力（不一定通过质心）集中在质心对质心所做的功等于质心平动能的改变 COM COE 解决问题例子详见讲义 摩擦力做功： 匀速运动，T f = 系统： Δ +Δ = + K E WW int f T = 0 ≠ 0 = fS 故W fS E f =− +Δ int 表明在有内能变化的条件下，摩擦力做功一般不能表示成W fS f = − 守恒定律与对称性 1918 年诺特定理 1) 动量守恒 ↔ 空间平移对称性(或不变性) 势能U r( ) K 在空间、时间平移以及空间转动不变 2) 角动量守恒 ↔ 空间转动对称性 3) 机械能守恒 ↔ 时间平移对称性 举例：核电 ↔ 水电的转换 f JK Wf ⇐ T JK ⇐ WT v = K Constant
