第五讲 复习: 带电体在电场中的运动。偶极子在电场中的运动可以同一用相互作用能 U(r)=-pE(F)表示。 高斯定理Eds=∑9 (三)应用举例: 计算带电体的电场可以利用两种办法:1)直接积分,2)高斯定理。前者 适用于缺乏明确对称性的有限体系(有限长度的带电棒,有限大小的带电圆盘 等),后者适用于具有明显对称性的结构(通常是无限的)。后面还会学到第三 种方法:由电势计算电场。三种方法各有其适用范围,应当多多体会它们的优 劣 1.无限长均匀荷电线 应用 Guass定理之前,必须仔细分析体系 的对称性。本体系具有(1)平移不变性; (2)旋转不变;(3)反演不变,三个对称性质 在柱坐标系中利用上述3个对称性考虑电场的方向 E e 2 只有它有可能倒过来看就可 倒过来看就可 知道φ方向为0知道z方向为0 同样分析可知E的大小只依赖于p。故,据此可知E=E(p)e 根据对称性,可选择合适的高斯面(如图所示)。由高斯定理 5=「E.d31+[Ed32+E.d33=「Ed3 E(P).2mph=e-h. h 丌E0P 考:若直接积分,可否得到一致的结论?
第五讲 复习： z 带电体在电场中的运动。偶极子在电场中的运动可以同一用相互作用能 Ur p Er () () =− ⋅ r r r 表示。 z 高斯定理 0 / i i S E dS q ε ∈ ∫ ⋅ = ∑ r r ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- （三）应用举例： 计算带电体的电场可以利用两种办法：1）直接积分，2）高斯定理。前者 适用于缺乏明确对称性的有限体系（有限长度的带电棒，有限大小的带电圆盘， 等），后者适用于具有明显对称性的结构（通常是无限的）。后面还会学到第三 种方法：由电势计算电场。三种方法各有其适用范围，应当多多体会它们的优 劣。 1．无限长均匀荷电线 应用 Guass 定理之前，必须仔细分析体系 的对称性。本体系具有（1）平移不变性； （2）旋转不变；（3）反演不变，三个对称性质。 在柱坐标系中利用上述 3 个对称性考虑电场的方向： E // e ρ eφ ez ⇓ ⇓ ⇓ 只有它有可能 倒过来看就可 倒过来看就可 知道φ 方向为 0 知道 方向为 z 0 同样分析可知 E r 的大小只依赖于 ρ 。故，据此可知 E = E e ( ) ρ ρ r r 根据对称性，可选择合适的高斯面（如图所示）。由高斯定理： 123 0 0 ( )2 E dS E dS E dS E dS E dS Q h E h ρ πρ λ ε ε ⋅=⋅ +⋅ +⋅ =⋅ = ⋅ = =⋅ ∫∫∫ ∫ ∫ ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur 2 ρ ρ ρπε λ επρ λ e e h h E 0 0 2 2 = = 思考：若直接积分，可否得到一致的结论？
2.无限大均匀荷电平板 方向:仍然先分析电场的对称性以确定E的方向, E平行于y? E平行于x? E平行于z? 错! 对! 根据对称性,将板绕z轴旋转180度,所得的体系与原体系一样,场也因此完全 样。若电场有E分量,则旋转后的体系具有E,分量,故E,=0。对x方向同 理可证。 大小:通过对称性分析可知E的大小只依赖与z,而与xy无关(板为无限大), 故,E(F)=E()。则如图画一个高斯面 fE.dS=E, dS+Erd =E(=)S1+S2)=2E(=)S E E(=)= 与直接用库仑定律来求解的结果一致(见第3讲(26.5.3)) 注意:高斯定理不能告诉我们场的方向,因此根据对称性确定场的方向是非常 重要的。 3.球状对称结构 (1)壳状:Q=a4xr2
2． 无限大均匀荷电平板 方向：仍然先分析电场的对称性以确定 E 的方向， E 平行于 y ？ E 平行于 x ？ E 平行于 z ？ 错！ 错！ 对！ 根据对称性，将板绕 z 轴旋转 180 度，所得的体系与原体系一样，场也因此完全 一样。若电场有 分量，则旋转后的体系具有 Ey - Ey 分量，故 0 Ey ≡ 。对 x 方向同 理可证。 大小：通过对称性分析可知 E 的大小只依赖与 ，而与x,y无关（板为无限大）， 故， 。则如图画一个高斯面 z () ()ˆ Er E zz = z r r 2 1 1 2 0 0 ( )( ) 2 ( ) E dS E dS E dS Ez S S Ez S Q σ S ε ε ⋅= ⋅+ ⋅ = + = ⋅= = ⋅ ∫∫∫ ur ur uur ur ur ur 0 ( ) 2 E z σ ε = 与直接用库仑定律来求解的结果一致（见第 3 讲（26.5.3））。 注意：高斯定理不能告诉我们场的方向，因此根据对称性确定场的方向是非常 重要的。 3． 球状对称结构 （1） 壳状： 2 Q r = σ 4π
高斯面 对称性讨论:E|E,E‖e,E‖ Yes 对称性 对称性 结论:方向:E‖l,,大小:E~E(r),故E(F)=E(r)l 根据对称性分析,画高斯面为半径为r的球面,则 r≥R时,E=E()4x2=9,E0 4 r≤R时,Ed=E(r)4x2=0,E(⑦)=0, R 壳状荷电体在远处看与电电荷无异,内场为0 回想直接积分,何其难! (2)球状均匀荷电体: O
R r 高斯面 E 对称性讨论： || ˆ E r e v , E || eˆ φ v , E || eˆ θ v Yes No No 对称性 对称性 结论：方向： || ˆ E er v ， 大小： ，故 E Er ~ () () () E r r Ere = r r r 根据对称性分析，画高斯面为半径为 r 的球面，则 r R ≥ 时， 2 0 ()4 Q E ds E r r π ε ⋅= ⋅ = ∫ v v ， 2 0 ( ) 4 r Q E r e πε r = r r ， r R ≤ 时， 2 E ds E r r ⋅= ⋅ = ()4 0 π ∫ v v ， E r() 0 = r r ， E R r 壳状荷电体在远处看与电电荷无异，内场为 0 回想直接积分，何其困难！ （2） 球状均匀荷电体： 4 3 3 Q r = ⋅ ρ π
E 高斯面 相同的讨论:E()=E(r)l r≥R:E()4x2=9 E(r)= 丌rE r≤R:E(x).4x2 BO\3 E( par, R 探入剧考下去,可纵进一步延件出许多题目,比如 (a)若电荷密度p()r,则此荷电球的电场分布? (b)若电荷均匀分布在一个厚度为δ的薄壳层内,空周的电场分布? ()在δ→0条件下,与荷电球亮的结果比较,得出(b)中的电荷 度p与球壳情形中定义的面密度密度的关系。 ()所有讨论柱状对称体全部重新来一遍。 竽竽
R r 高斯面 E 相同的讨论： () ()ˆ Er Ere = r v r r R ≥ ： 2 0 ()4 Q Er r π ε ⋅ = ， 2 0 ( ) 4 Q E r π r ε = r R ≤ ： 3 2 0 0 4 3 ()4 r Q Er r ρ π π ε ε ⋅ ′ ⋅== 3 2 0 0 4 3 ( ) 4 3 r E r r r ρ π ρ πε ε ⋅ = = E R r 深入思考下去，可以进一步延伸出许多题目，比如： （a）若电荷密度 ρ( )r ∝ r ，则此荷电球的电场分布？ （b）若电荷均匀分布在一个厚度为δ 的薄壳层内，空间的电场分布？ （c）在δ → 0 条件下，与荷电球壳的结果比较，得出（b）中的电荷 密度 ρ 与球壳情形中定义的面密度密度σ 的关系。 （d）所有讨论对柱状对称体全部重新来一遍。 等等…
(四)导体中的电场 导体的特性:有自由电荷,可以自由移动。与绝缘体不同,我们不能预设其电 荷分布(就象我们前面所遇到的)。其电荷分布为未知量 我们的目的:任意形状的导体的静电平衡时的电荷分布及相应的电场 (p(,1)及E(F,1)不随时间变化) (1)假设t=0时,导体内部有自由电荷,则导体内部电场非0 因有内场,电荷受力,做加速运动,因此体系没有达到静电平衡 电荷受力运动,改变电荷分布,产生一个附加场,与原电场方向相反, 运动过程使得导体内部的电荷与电场均变小 pn≠0→En()≠0→电荷运动mv=F(F)=qEn(F) En>0→+Q→+∝运动→E<0 =Em=(Em+E), Pn=(Pn+pn)t 静电平衡性质 导体内部没有自由电荷,没有静电场En=0及Pn=0 深入思考:从上述分析中看平衡时只要求En=0或Dn=0,为什么最后的 结论是Em=0和Pn=0两个条件必须同时满足? (2)电荷在表面如何分布 电荷不能离开导体,但可以在表面自由移动。表面上的电荷的受力方程为
（四）导体中的电场： 导体的特性：有自由电荷，可以自由移动。与绝缘体不同，我们不能预设其电 荷分布（就象我们前面所遇到的）。其电荷分布为未知量！ 我们的目的： 任意形状的导体的静电平衡时的电荷分布及相应的电场 （ ρ(,) r t r 及 Ert (,) r r 不随时间变化） + + ++ ++ + + + + + + + + + + + E （1） 假设t = 0时， 导体内部有自由电荷，则导体内部电场非 0： 因有内场，电荷受力，做加速运动，因此体系没有达到静电平衡 电荷受力运动，改变电荷分布，产生一个附加场，与原电场方向相反， 运动过程使得导体内部的电荷与电场均变小 0 () 0 () () in Ein in ρ ≠⇒ ≠⇒ r mv = = F r r r qE r v v v v r 电荷运动 & 0 运动 E Q in > ⇒+ →+∝ v ⇒ E′ < 0 v ⇒ = ( )' , ( )' E EE in in +↓ = +↓ ρ ρρ in in r rr 静电平衡性质 I 导体内部没有自由电荷，没有静电场 0 Ein = v 及 0 ρin = 深入思考：从上述分析中看平衡时只要求 0 Ein = v 或 0 ρin = ，为什么最后的 结论是 Ein = 0 和 v 0 ρin = 两个条件必须同时满足？ （2）电荷在表面如何分布？ 电荷不能离开导体，但可以在表面自由移动。表面上的电荷的受力方程为：
mn=F1=qE(F)其中‖指平行于表面 t=0,表面存在切向电场则电荷受到切向作用力,电荷受力被移动 电荷重新分布产生的附加电场与原电场方向必相反,从而使得切向总电场减小。 E≠0→F≠0→电荷运动→() changes→E()<0 E1=(E1+E) t=∞o,静电平衡,满足 I1导体表面电场没有平行分量E(F)=0 (3)导体表面的电场: 取高斯面为如图所示的上下表面为S平行于导体 E 表面的柱体,根据导体静电平衡时的三大特性, 容易算出高斯面积分为 JE.ds =SE1(r) 所以:E(P) E I导体表面只有垂直电场E()= E 注意:导体表面的电荷分布σ(P)是个未知量!这一点非常重要!我们前面 的课程中,总是对某一假设的电荷分布(比如有服长均匀带电棒)求其产生的 空间电场,原则上讲,这些巳知的电荷分布只能在绝綠体上实现(因为绝缘体 上电荷不能自由运动)。对导体来讲,我们不能预先设置其电荷分布,我们知道 的只是前面的三大性质。一旦求得了电荷分布,空间电场也就知道了。这是求 解导体带电体的静电问题一定要注意的 (五)举例 (1)导体空腔
|| || || mv F qE r = = ( ) v v v v & 其中 || 指平行于表面， t = 0 ，表面存在切向电场则电荷受到切向作用力，电荷受力被移动 电荷重新分布产生的附加电场与原电场方向必相反，从而使得切向总电场减小。 ⇒ ( ) || || || || || 0 0 ( ) changes ( ) 0 E F r Er E EE ≠⇒ ≠⇒ ⇒ σ ⇒ < ′ ⇒= + ↓ ′ v v r r v v vv 电荷运动 t = ∞ ，静电平衡，满足 II 导体表面电场没有平行分量 || E r() 0 = v v S E （3）导体表面的电场： 取高斯面为如图所示的上下表面为 S 平行于导体 表面的柱体，根据导体静电平衡时的三大特性， 容易算出高斯面积分为： 0 0 ( ) ( ) q rS E ds S E r σ ε ε ⊥ ⋅ =⋅ = = ∫ v v v v 所以： 0 ( ) ( ) r E r ⊥ = v v σ ε III 导体表面只有垂直电场 0 ( ) ( ) r E r ⊥ = v v σ ε 注意：导体表面的电荷分布σ ( )r v 是个未知量！这一点非常重要！我们前面 的课程中，总是对某一假设的电荷分布（比如有限长均匀带电棒）求其产生的 空间电场，原则上讲，这些已知的电荷分布只能在绝缘体上实现（因为绝缘体 上电荷不能自由运动）。对导体来讲，我们不能预先设置其电荷分布，我们知道 的只是前面的三大性质。一旦求得了电荷分布，空间电场也就知道了。这是求 解导体带电体的静电问题一定要注意的。 （五）举例 （1）导体空腔
设一个有空腔的导体带有电荷q,分两种情况讨论: (a)空腔内没有电荷。从导体的基本性质可知,电荷分布在导体表面,设分 布在内外表面上的电量分别为qn和qm,则根据电荷受恒, g=qout t g 画高斯面如图所示,则 Elds =0 (因导体内场En=0) 因E=0=9n,则内表面上总电荷q 故qom=q 所有的电荷均分布在导体的外表面 風考:此处根据高斯定理,只能确定内表面上的总电荷为0,并不能确定内 表面上的任何一点上都没有电荷分布。但实际情况的确是内表面上处处都没有 电荷分布,你有无方法证明? q (b)导体空腔有电荷q 作一样的三个高斯面,则 0=E=qm+g→qn=-q 根据电荷守恒 q=qin t qout 3 qout=g-qin=q+q
S1 Metal S2 设一个有空腔的导体带有电荷 q, 分两种情况讨论： （a）空腔内没有电荷。从导体的基本性质可知，电荷分布在导体表面，设分 布在内外表面上的电量分别为 和 ，则根据电荷受恒， in q out q out in qq q = + 画高斯面如图所示，则 2 0 s E ds = ∫ v v （因导体内场 0 Ein ≡ v ） 因 0 E in ds q = = ∫ v ， 则内表面上总电荷 in q =0 故 out q q = 所有的电荷均分布在导体的外表面。 思考：此处根据高斯定理，只能确定内表面上的总电荷为 0，并不能确定内 表面上的任何一点上都没有电荷分布。但实际情况的确是内表面上处处都没有 电荷分布，你有无方法证明？ q' q （b）导体空腔有电荷 q’. 作一样的三个高斯面，则 2 0 ' in in s = = +⇒ = E ds q q q q ' ∫ v v − 根据电荷守恒 ' in out out in q q q q qq qq = + ⇒ =− =+
最后的结果是:导体空腔内表面感应出等量异号的电荷 剧考:根据以上的两种情况的结果,升析 franklin用来证明高斯定理的 实验(书上27-7,图27-19 (2)单个金属薄板 导体表面的电场为E=/ 但一层均匀分布的面电荷E=a/20,若有 带电金属薄板,其电场应当为什么?如何统一? 仔细观察一个带电金属薄板,根据金属带电体的三个 基本性质(只能表面带电,内场为0,表面只有垂直场) 及对称性,可知 两表面各有均匀面电荷分布,设密度为a。利用导体表面电场与导体表面面 电荷密度的关系,得 E=,/ 另一方面,若将薄板看成一个整体,此时的电荷面密度应定义为 2 利用无限大均匀带电平面的电场表达式,得 E 288 得到一致的结果。两个公式都对,但面密度的定义不同。 σ’为真实的金属表面电荷密度, σ为假设金属板非常薄时此板整体的一个面电荷密度。 习题:P627 Questions:6,8,12,30 P 631 Problems: 4.6
最后的结果是：导体空腔内表面感应出等量异号的电荷。 思考：根据以上的两种情况的结果，分析 Franklin 用来证明高斯定理的 实验（书上 27-7，图 27-19）。 （2）单个金属薄板 导体表面的电场为: 0 E = σ / ε 但一层均匀分布的面电荷 0 E = σ / 2ε ，若有一 带电金属薄板，其电场应当为什么？如何统一？ 仔细观察一个带电金属薄板，根据金属带电体的三个 基本性质（只能表面带电，内场为 0，表面只有垂直场） σ' + + + + ++ + + + + σ' 及对称性，可知 两表面各有均匀面电荷分布，设密度为σ′ 。利用导体表面电场与导体表面面 电荷密度的关系，得 0 E = σ′/ ε 另一方面，若将薄板看成一个整体，此时的电荷面密度应定义为 σ = 2σ′ 利用无限大均匀带电平面的电场表达式，得 0 0 ' 2 E σ σ ε ε = = 得到一致的结果。两个公式都对，但面密度的定义不同。 σ′ 为真实的金属表面电荷密度， σ 为假设金属板非常薄时此板整体的一个面电荷密度。 习题：P. 627 Questions：6，8，12，30 P. 631 Problems: 4, 6