第二十五讲 复习: 材料的磁性:抗磁性,顺磁性,铁磁性 自感,互感: 62=2+21=-2-4 di,y di, dt L:自感系数;M:互感系数:计算应结合法拉第定律 三、LR电路 前面学习过RC电路,从建立电势差的角度来看,结论是C总是比R的响应慢 半拍。现在我们要研究LR串联电路,如右图所示。解决电路问题要用到 Kirchhoff 的两个定律 Kirchhoff'定律1→>电流i处处相同(电荷守恒) Kirchhof'定律2→电势差环路为0(静电场为保守场) E L 电流建立过程 将电阻、电感与电动势相连,根据 Kirchhoff定律2,得: V+VR+V=0,沿着电流的方向分别计算电源、电阻、电感上的电势差, a-iR-L-=0 iR+l dt er di La,积分可得 dE/L-R/Li' 4 LaL L- R R L ∠% R 其中:=为驰豫时间(L大则电流不易变化,因 R 而r长。作为对比:x。=RC)。落在电阻及电感上的电势差分别为 (Ur -e dt
第二十五讲 复习： z 材料的磁性：抗磁性，顺磁性，铁磁性 z 自感，互感： 2 1 2 22 21 2 di di L M dt dt εε ε = + =− − 1 2 1 11 12 1 di di L M dt dt εε ε = + =− − L ：自感系数；M ：互感系数；计算应结合法拉第定律 三、LR电路 前面学习过 电路，从建立电势差的角度来看，结论是 C 总是比 R 的响应慢 半拍。现在我们要研究 LR 串联电路，如右图所示。解决电路问题要用到 Kirchhoff 的两个定律： Kirchhoff 定律 电流 处处相同（电荷守恒） RC 1→ i Kirchhoff 定律 2 → 电势差环路为 0（静电场为保守场） 1．电流建立过程 将电阻、电感与电动势相连，根据 Kirchhoff 定律 2，得： 0 VVV ε ++= R L ，沿着电流的方向分别计算电源、电阻、电感上的电势差， 0 di di iR L iR L dt dt ε ε −− = ⇒ =+ R di i L L dt ε − = ，积分可得： ' ' ' ' 0 0 0 ln i i t di L R dt i t L RLi R L L ε ε ⎛ ⎞ = ⇒− ⋅ − = ⎜ ⎟ − ⋅ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ln L L R i Rt L L ε ε ⎛ ⎞ − ⋅ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，得 ( ) R t L R it e LL L ε ε − ⋅ − = ，即 () 1 L t it e R ε τ − ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 其中： L L R =τ 为驰豫时间（ L 大则电流不易变化，因 而τ 长。作为对比：τ c = RC ）。落在电阻及电感上的电势差分别为： ( ) V it R = R ， L t L di VL e dt τ ε − =− = 1
R V(t) 物理图像象:当电源接通时,电流的变化立刻被电感器感知到,因此电感上产生 了最大的电势差(全部电动势)。电流逐渐建立后,稳恒的过程中电压逐渐转移 到电阻上,最后直流极限电感上没有电压。 2,电流消失过程(将电池短路) R V+v=0 di iR+L一=0 dt R iR=-L dt L 积分可得 I(t Io t=R,则电流及电感上的电势差分别为 i(t)=ie/=ee-t/L R L=I& R L=8 dtR L R 结论:综合两例发现L对i变化的响应总是快过R(R对电流变化的响应是即时 的)。当电流变化来时L先,R中,C后
i(t) t VL (t) t ε/R ε 物理图像象：当电源接通时，电流的变化立刻被电感器感知到，因此电感上产生 了最大的电势差（全部电动势）。电流逐渐建立后，稳恒的过程中电压逐渐转移 到电阻上，最后直流极限电感上没有电压。 2．电流消失过程（将电池短路） 0 V V R L + = 0 di iR L dt + = di di R iR L dt dt i L =− ⇒ =− ⋅ 积分可得 0 ( ) ln L it t i τ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ L L R τ ⎛ ⎞ ⎜ = ⎝ ⎠⎟ ， 则电流及电感上的电势差分别为 0 ( ) L L t t it ie e R − − τ ε τ = =⋅ L L t t L di R VL L e e dt R L ε τ τ ε − − =− = ⋅ ⋅ ⋅ = VL t 结论：综合两例发现 L 对 i 变化的响应总是快过 R(R 对电流变化的响应是即时 的)。当电流变化来时 L 先，R 中，C 后。 2
四、磁场能 与电容相似,电感可以贮存磁能。检查一个LR串联电路看电感内部的B场 是如何建立的。电动势的输出功率 P=6(单位时间电源对外界做功)E一 L 单位时间以热能形式耗散在R上 d@ir 剩余的用以建立磁场能 di dU dt dt 电路中,电流最后稳定时的静磁能 B(1)==L 尽考:F=qxB磁场运动电荷(电流)产生作用力。但是,当B稳恒 时,F⊥1(7)磁场不对电流做功Fj=0,那么磁场能如何与流交换胎量 建立起来的? 五:磁能密度 长螺线管的自感系数为:L=0n2: 则体系的总磁能为:U2=L2=An2·Ω2,则 可定义磁能密度: 注意到 B=0mi,则,aB= 事实上此式严格成立,而且成立的范围更广,对非均匀磁场及随时间变化的磁场, 均有:u2( 将两种磁场能的表达式做一对比
四、磁场能 与电容相似，电感可以贮存磁能。 检查一个 LR 串联电路看电感内部的 B ur 场 是如何建立的。电动势的输出功率 P = εi （单位时间电源对外界做功） 单位时间以热能形式耗散在 R 上 dQ 2 i R dt = 剩余的用以建立磁场能 ( ) 2 B dU i iR dt ε − = B di dU Li dt dt ⇒ = 电路中，电流最后稳定时的静磁能 1 2 ( ) 2 U i Li B = 思考： F qv B = ×⇐ 磁场对运动电荷（电流）产生作用力。但是，当 ur r ur B ur 稳恒 时，F vj ⊥ ( ) 磁场不对电流做功 ur r r F j ⋅ = 0 ur r ，那么磁场能如何与电流交换能量 建立起来的？ 五：磁能密度 长螺线管的自感系数为： 2 L n = ⋅ μ μ0 r Ω 则体系的总磁能为： 2 2 0 1 1 2 2 U Li n i B r == ⋅ μ μ 2 Ω，则 可定义磁能密度： 2 2 0 1 2 B B r U u n = = μ μ i Ω 注意到： B 0 r = μ μ ni ，则， 2 0 1 2 B r B u μ μ = 事实上此式严格成立，而且成立的范围更广，对非均匀磁场及随时间变化的磁场， 均有： 2 0 ( ) 1 ( ) 2 B r B r u r μ μ = ur r r 将两种磁场能的表达式做一对比 3
磁能被i带有 磁能以场能的形式存在 不妨与电场能(电容能)做一个对比,可以发现同样的结论。 例:同轴电缆内导体:半径a的导体柱壳 外导体:半径b的导体柱壳 内导体:电流i均匀分布在壳上 外导体:电流i均匀分布在壳上 电流从内导体流出,从外导体流回来,形成回路。 求:a)单位长度内的磁场能 b)单位长度的自感 解:a)求B: H(r 2→B(r) 27(re:其他区域为0 磁场能密度为:H2(r)= G 10r 101 总磁场能(总长度为h): UB=h.ua().-2rrdrh[Ho, -dr b a 47I Li=o#=In(b 丌 L=n()b单位长度的电感为L=m(b 尽考趣: (1)利用电感的定义来计算此体系的电感系数,是否得到间样的结果? (2)b→0附此结果应国到一个半径为a的单导线的情况。但结果发散,你觉 得奇怪么? (3)月前的定义及计算只对细导线成立。若导线有一定的截面积,因此导线内 部的磁通量不舵忽略,应如何计算电感? (4)月前的定义及计算假设电流籽导线均匀,所以可以用一个参量1来代表 若导线上因为某种原因必须考虑电流非均匀,此时如何定义及计算L? 第阿7章:史电隆
1 2 2 U L B = i 2 0 ( ) 1 ( ) 2 B r B r u r u μ μ = r r r 磁能被i 带有 磁能以场能的形式存在 不妨与电场能（电容能）做一个对比，可以发现同样的结论。 例：同轴电缆 内导体：半径a的导体柱壳 外导体：半径b 的导体柱壳 内导体：电流i 均匀分布在壳上 外导体：电流i 均匀分布在壳上 电流从内导体流出，从外导体流回来，形成回路。 求：a） 单位长度内的磁场能 b） 单位长度的自感 解：a）求 B ur ： 0 () () 2 2 r i i H r Br r r μ μ π π =⇒ = (r ab ∈[ , ]) ；其他区域为 0。 磁场能密度为： 2 2 2 0 0 22 22 0 1 1 () () 2 24 r B r r i i r Br r r 8 μ μ μ μ μ μ μ π π === r ur r 总磁场能（总长度为 h）： 2 0 0 2 ()2 ln 4 4 b r r B B a i b U h r rdr h dr i h r a μμ μμ μ π π π ⎛ ⎞ =⋅ ⋅ =⋅ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ r b） 1 2 2 0 ln 2 4 r B b U Li i a μ μ π ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⋅ h 0 ln 2 r b L a μ μ π ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⋅ h 单位长度的电感为 0 ln 2 r b L a μ μ π ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 思考题： （1）利用电感的定义来计算此体系的电感系数，是否得到同样的结果？ （2） 时此结果应回到一个半径为 a 的单导线的情况。但结果发散，你觉 得奇怪么？ b → ∞ （3）目前的定义及计算只对细导线成立。若导线有一定的截面积，因此导线内 部的磁通量不能忽略，应如何计算电感？ （4）目前的定义及计算假设电流沿导线均匀，所以可以用一个参量 i 来代表。 若导线上因为某种原因必须考虑电流非均匀，此时如何定义及计算 L？ 第 37 章：交流电路 4
(1)定义 直流→电流方向不随时间变化 交流→电流方向随时间变化 (如右图所以,在磁场中的旋转线圈即产生一个交流 电动势,接上外加负载,即有交流电流) 交流电的随时间变化的方式很多,最简单为简谐交流电 E=Eo sin(ot) ←可以由线圈以恒定的角频率切割磁力线得到。 根据 Fourier变换,任意的随时间变化的函数可展开 F()=∑nsin(o) 因此,只要单频的情况明白了,所有的都明白了 单频的外电动势:E= e sin ot即是一个受迫振动源(类似力学中的受迫振 子)。瞬态过去后,回路中产生的电流一定为:i(1)= I sin(Ot-y) 受 迫振动的基本概念,即振动的方式一定于振动源O一定相同。但振幅与相位n,φ 未知,是我们本章的核心内容。在解决这个问题之前,我们首先分别研究各个基 本元件的电压与电流之间的关系。 (2)基本元件的电压差与电流之间的关系 为统一起见,取电势差为△=V。-V6(与我们前期的定义略有不同)。 a)电阻R 直流时R=△=V-V △U 交流时(不太大时欧姆定律成立)仍成立: i(t) Ri()=△(t) △v2(t)= iSin(ot-p) 结论:△V与(t)同位相,与O无关 b)电感L d i 基本方程:E=-L=Vb-V 理想无内阻 △(O)=V-Vn=La c s Lo cos(ot-o)=Losin(ot-o+ △V4()=x2sin(o1-p+z)
(1) 定义 直流 → 电流方向不随时间变化 交流 → 电流方向随时间变化 （如右图所以，在磁场中的旋转线圈即产生一个交流 电动势，接上外加负载，即有交流电流）。 交流电的随时间变化的方式很多，最简单为简谐交流电： 0 ε = ε ω sin( )t ← 可以由线圈以恒定的角频率切割磁力线得到。 根据 Fourier 变换，任意的随时间变化的函数可展开 F t( ) sin( )t ω ω = ∑ε ω 因此，只要单频的情况明白了，所有的都明白了。 单频的外电动势： sin m ε = ε ωt 即是一个受迫振动源（类似力学中的受迫振 子）。瞬态过去后，回路中产生的电流一定为： ( ) sin( ) m it i t = ω −φ 受 迫振动的基本概念，即振动的方式一定于振动源 ⇐ ω 一定相同。但振幅与相位 , m i φ 未知，是我们本章的核心内容。在解决这个问题之前，我们首先分别研究各个基 本元件的电压与电流之间的关系。 （2）基本元件的电压差与电流之间的关系 为统一起见，取电势差为 Δ= − VVV a b （与我们前期的定义略有不同）。 a）电阻 R 直流时 R a b i VVV =Δ = − 交流时（ω 不太大时欧姆定律成立）仍成立： Rit Vt () () = Δ ( ) sin( ) Δ= − V t iR t R m ω φ 结论： ΔVR 与 i t( ) 同位相，与ω 无关 b）电感 L 基本方程： b a di L V V dt ε = − =− ← 理想无内阻 ( ) cos( ) sin( ) 2 ( ) sin( ) 2 a B L L di Vt V V L L t L t dt Vt X t π ω ωφ ω ωφ π ω φ Δ = − = = − = −+ Δ = −+ 5
X2=Lo即定义为感抗(与电阻同量纲)。其与频率成正比,因此,高频电流不 易通过L。另外,A比()(或是V()快x相位 c)电容C 看起来似乎没电流,但交流电可以“有效”通过C1(1) 因()= 对简谐变化的电流,()=insn(ot-p) 可知,q(t)= ≈cos(or-g)(成立条件:最初的瞬态过去之后,稳定后的结果) 故:△=9()_1 ocm cos(ot-o) oCm sin(ot-d-T 可定义X=一为容抗,与电阻、感抗同量纲且物理作用一致。容抗与频率成 反比,ω→0时x→>∞,因此低频不能通过(直流电的确不能通过电容)。另 外:C上电压的相位比电流(或是电阻上的电压相位)晚z。 总结:与前期的结论一致,L的变化快过R快过C。」 将V-i关系写成统一的形式 RLC (1)= RLI Sin(Ot-p+△中 R.L.C X=R X=LO X △2=0 △d 2 2 与频率无关,即时阻高频,通低频,快半拍阻低频,通高频,慢半拍 习题:P842, Problems,5,9,10 P840, Excercies, 30, 32
XL = Lω 即定义为感抗（与电阻同量纲）。其与频率成正比，因此，高频电流不 易通过 L 。另外，ΔVL 比 i t( )（或是 ）快 ( ) V t R 2 π 相位。 c） 电容C ( ) a b q t V V C − = 看起来似乎没电流，但交流电可以“有效”通过C 因 ( ) ( ) dq t i t dt = ，对简谐变化的电流， ( ) sin( ) m it i t = ω −φ ， 可知， ( ) cos( ) mi q t ωt φ ω =− − （成立条件：最初的瞬态过去之后，稳定后的结果） 故： () 1 1 cos( ) sin( ) 2 Cm m q t V i t it CC C π ωφ ωφ ω ω Δ = =− − = − − 可定义 1 X C ωC = 为容抗，与电阻、感抗同量纲且物理作用一致。容抗与频率成 反比，ω → 0 时 ，因此低频不能通过（直流电的确不能通过电容）。另 外：C 上电压的相位比电流（或是电阻上的电压相位）晚 Cx → ∞ 2 π 。 总结：与前期的结论一致， L 的变化快过 R 快过C 。 将V −i 关系写成统一的形式： , , , , , , ( ) sin( ) Δ = − +Δ V tX i t RLC RLC m ω φ φ RLC XR = R X L L = ω 1 X C Cω = 0 Δ = φ R 2 L π Δφ = 2 C π Δφ = − 与频率无关，即时 阻高频，通低频，快半拍 阻低频，通高频，慢半拍 习题：P842， Problems，5， 9， 10 P840， Excercies，30，32 6