第九讲 复习: 环路定理导出电势能及电势的定义: Fd=0→U()-U(1)=-Fd UU(F)=q′() de=o ()-()=-E·d 特别注意:电势能是“电荷”与“外场”的相互作用能,为电荷与外场共有 的能量,计算多电荷体系的电势能时特别注意不要多算 例如对2个电荷体系,其电势能为 Un=199 4m6r=q2(7)=q2HG) 可以看成电荷1与电荷2产生的“外电场”的相互作用能,也可以看成电荷 2与电荷1产生的“外电场”的相互作用能,但不能计算2次,如 ≠q2()+q21(2) 物理上理解:可以考虑如何形成这样一个2电荷体系的。都态是2个电荷都放在无穷 远处,它们相距也是无劣远,以这个状态作为我们的电势能0点。两种方法可以最后 到达终态 1)先将电荷1从无穷远处移到终态位量(这个过程外界不对体系做功)再将电荷2 从无穷远处移动到终态位置(这个过程中外界克服电场力做功q2V1() 2)先将电荷2从无劣远处移到终态位量(这个过程外界不体系做功)再将电荷1 从无穷远处移动到终态位置(这个过程中外界克服电场力做功q12(2) 总之,在形成这样一个电荷体系的过程中,只有移动其中一个电荷的过程中牵扯到 力做功,总能量要避免 double-countin 推广到N个电荷的情形,总电势能为 ∑ q 这里的1/2因子就是对 double- counting的修正,我们以后会多次遇到。 ●电势的计算 (1)由定义,选择合适的电势0点及计算路径,计算积分 ()-(=-Ed (2)选择∞处为电势0点,已经知道处于F处的点电荷q在产点的电势为
第九讲 复习： z 环路定理导出电势能及电势的定义： 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f i f i Fd U f Ui F d U r qV r Ed V f Vi Ed ⋅ = ⇒ − =− ⋅ ⇓ = ⋅ = ⇒ − =− ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ r r v v l l r r r r r v l l 特别注意：电势能是“电荷”与“外场”的相互作用能，为电荷与外场共有 的能量，计算多电荷体系的电势能时特别注意不要多算。 例如对 2 个电荷体系，其电势能为 1 2 12 1 21 2 0 12 1 () () 4 q q U qV r πε r = == q V r r r 总 可以看成电荷 1 与电荷 2 产生的“外电场”的相互作用能，也可以看成电荷 2 与电荷 1 产生的“外电场”的相互作用能，但不能计算 2 次，如 物理上理解：可以考虑如何形成这样一个 2 电荷体系的。初态是 2 个电荷都放在无穷 远处，它们相距也是无穷远，以这个状态作为我们的电势能 0 点。两种方法可以最后 到达终态： 1）先将电荷 1 从无穷远处移到终态位置（这个过程外界不对体系做功），再将电荷 2 从无穷远处移动到终态位置（这个过程中外界克服电场力做功 ； 2）先将电荷 2 从无穷远处移到终态位置（这个过程外界不对体系做功），再将电荷 1 从无穷远处移动到终态位置（这个过程中外界克服电场力做功 12 1 21 2 ( ) ( ) ≠ + qV r qV r r r 21 2 qV r( ) r 12 2 qV r( ) r 总之，在形成这样一个电荷体系的过程中，只有移动其中一个电荷的过程中牵扯到外 力做功，总能量要避免double-counting. 推广到N个电荷的情形，总电势能为 0 1 1 2 4 i j i j ij q q U πε ≠ r 总 = ∑ 这里的 1/2 因子就是对double-counting的修正，我们以后会多次遇到。 z 电势的计算 （1）由定义，选择合适的电势 0 点及计算路径，计算积分 ( ) () f i V f Vi Ed − =− ⋅ ∫ r v l （2）选择∞ 处为电势 0 点，已经知道处于r ' r 处的点电荷q在 点的电势为 r r
V(r) ,根据线性叠加原理,对任意电荷分布,可由 E ()=]4zPF计算(2维,1维分有类似的公式) 注意:这里我们已隐含了一个假设,即选择∞处为电势0点L ●电势→电场 E(F)=-VV(),写成分量形式为 E()=-0/(F a|() E,(F) E.()= 计算电场的方法:(1)直接积分;(2)高斯定理;(3)先求电势,再求电场 ●点电荷电势 E 偶极子电势 E 四极子电势- E 偶极子比点电荷更快→0,四极子比偶极子更快→0 等势面:V()=常数定义了一个等势面:等势面与电力线互相垂直:导体 表面是个等势面,整个导体是个等势体 两个例子 1.均匀荷电线的势 考虑一个长度为L的均匀荷电线在中心垂线上某一点的电势, 线电荷密度为
0 1 ( ) 4 ' q V r πε r r = − r r r ，根据线性叠加原理，对任意电荷分布，可由 0 1 () ( ) 4| | r dr V r r r ρ πε ′ ′ = ′ − ∫ r r r r r 计算（2 维，1 维分布有类似的公式）。 注意：这里我们已隐含了一个假设，即选择∞ 处为电势 0 点！ z 电势Æ电场 E() () r V = −∇ r r rr ，写成分量形式为 ( ) ( ) ( ) () , () , () xyz V r Vr Vr Er Er Er x y z ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ r r rrr r 计算电场的方法：（1）直接积分；（2）高斯定理；（3）先求电势，再求电场 z 点电荷电势-------- 1 r 2 1 E ~ r 偶极子电势-------- 2 1 r 3 1 E ~ r 四极子电势-------- 3 1 r 4 1 E ~ r M 偶极子比点电荷更快 ， → 0 四极子比偶极子更快 → 0 z 等势面：V r( )= r 常数定义了一个等势面；等势面与电力线互相垂直；导体 表面是个等势面，整个导体是个等势体。 两个例子 1．均匀荷电线的势 考虑一个长度为L的均匀荷电线在中心垂线上某一点的电势， 线电荷密度为
[/2 现在是标量积分 F=(0,0,=) F-F= -L/2 利用电势的积分公式,得 ndz V() 1p()dl′1 4mE。|F-产 兀E -L/22 Z+I 「√+ +V4 看几个极限情形 1)r>>L(观察点在很远处) V(r)→ 4ITEo L L (1 (1+ V(r)≈ [(1+-) 40 In[1+ 4 22 L 4丌En2r4mEnr4mEnr 回到点电荷的电势,合理! 2)L→>∞(荷电线为无限长) 1+(2y L 2+r2≈L+ 2 L
Q L λ = 现在是标量积分 r z ′ = (0,0, ) r 2 2 | | rr z r − ′ = + r r dz z -L/2 L/2 r 利用电势的积分公式，得 / 2 1 / 2 2 2 2 0 0 1 () 1 ( ) 4 | |4 ( ) L L r dr dz V r r r z r ρ λ πε πε − ′ ′ = = − ′ + ∫ ∫ r r r r r 2 2 2 2 0 ( ) 2 2 ln 4 ( ) 2 2 L L r L L r λ πε ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ −+ + ⎢⎣ ⎥⎦ 看几个极限情形： 1) r >> L （观察点在很远处）， 0 2 ( ) ln 4 2 r L V r r L λ πε ⎡ + ⎤ → ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ 1 1 1 1 ( ) (1 ) (1 2 2 L L r r rr − − − =− ≈+ ) 2 L r 2 0 0 2 ( ) ln[(1 ) ] ln[1 ] 4 24 2 L L V r r r λ πε πε ≈ += + 0 0 2 1 424 4 LL Q rrr 0 λ λ 1 πε πε πε ≈ == 回到点电荷的电势，合理！ 2) （荷电线为无限长） L → ∞ 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 [( ) ] [1 ( ) ] (1 ) 22 2 L L r Lr r L L + =+ ≈+ 2 2 2 ( ) 2 2 LL r r L L + + ≈+
2 带入电势的表达式可得 4 neO r 对无限长荷电线(L→>∞),电势处处发散?! 这个发散显然是不合理的。发散的原因是是我们隐含地定义了在无穷远处为电 势0点,即V(∞)=0,即 V(r)-V(∞) 2E0 但对此体系,因为带电体为无限长,∞处有电荷(L→>0)!。因而定义∞ 处为电势0点是不合理的--这是发散的本源! 注意:若考虑的体系是电荷被限制在一定区域内 时,V(F)→>0 但现在不是,因而发散! 如何处理此种发散? 必须合理选择势能0点。若用 dr ()= 4mE|F-F1则自动选择了处为=0 此时应利用原始定义:P()-P()=-丁Ed计算
2 2 2 ( ) 2 2 LL r r L −+ + ≈ 带入电势的表达式可得 2 0 0 ( ) ln[( ) ] ln[ ] 4 2 L L V r r r λ λ πε πε → = ↓ 对无限长荷电线（ L → ∞ ），电势处处发散？！ 这个发散显然是不合理的。 发散的原因是是我们隐含地定义了在无穷远处为电 势 0 点，即 ，即 V() 0 ∞ = 0 ( ) ( ) ln[ ] 2 L Vr V r λ πε − ∞= 但对此体系，因为带电体为无限长， ∞ 处有电荷 。 因而定义 处为电势 0 点是不合理的 ---- 这是发散的本源！ ( 0 L → )! ∞ 注意：若考虑的体系是电荷被限制在一定区域内 则 r → ∞ 时，V r() 0 →r 但现在不是，因而发散！ 如何处理此种发散？ 必须合理选择势能 0 点。若用 0 1 ( ) 4 | dr V r r r | ρ πε ′ = − ′ ∫ r r r r 则自动选择了 ∞ 处为V = 0 此时应利用原始定义： ( ) () f i V f Vi Ed − =− ⋅ ∫ r v l 计算
需先计算电场: 由对称性 e(p) 由高斯定理E()2,h=9/=,b e(p) E 定义与中心点距离为a的一点为电势0点,则,空间任意一点的电势为 V(r)-v(a) )=2d=m(p 2 2 =2lmo)-m)=2 (其图形见后) r>∞时V(r)→>∞不能将电势0点放在∞处! r→>0时(0)→>-亦不能将电势0点放在原点处! 选的电势0点不合适其本身与空间任何一点的电势差均发散,这样的选择使得我 们无法得到空间电势的在何信息。这种情况下,与其说空点某点处的电势发散,不如说参 考点的电势发散。故必须合理选取电势0点,避免选择“奇点”为电势0点。 后面一种发散非物理,可以避免。真实的线电荷分布不存在,都是细线的极 限近似。考虑真实的情况,电荷均匀分布在F=a的圆柱内,先求电场 定义体密度分布P,则计算可得 2-h 利用高斯定理计算电场 E(r)= 2rE。r 2h. E(r)·2xr·h r<a Eo
需先计算电场： 由对称性： E e || ˆρ r E( ) ρ 由高斯定理 0 0 ( )2 E h ρ πρ Q λ h ε ε ⋅ ⋅ ⋅= = 0 ( ) 2 E λ ρ πρε = 定义与中心点距离为 a 的一点为电势 0 点，则，空间任意一点的电势为 0 0 0 () () ln( ) 2 2 [ln( ) ln( )] ln( ) 2 2 a a r r Vr Va d a a r r λ λ ρ ρ πρ πε λ λ πε πε −= = = −= ∫ （其图形见后） r → ∞ 时 V r( ) → ∞ 不能将电势 0 点放在 ∞ 处！ r → 0 时 V(0) → −∞ 亦不能将电势 0 点放在原点处！ 选取的电势 0 点不合适，其本身与空间任何一点的电势差均发散，这样的选择使得我 们无法得到空间电势的任何信息。这种情况下，与其说空点某点处的电势发散，不如说参 考点的电势发散。故必须合理选取电势 0 点，避免选择“奇点”为电势 0 点。 后面一种发散非物理，可以避免。真实的线电荷分布不存在，都是细线的极 限近似。考虑真实的情况，电荷均匀分布在 r a = 的圆柱内，先求电场 定义体密度分布 ρ0 ，则计算可得 2 0 λ ⋅= ⋅⋅ h h ρ πa 0 2 a λ ρ π = 利用高斯定理计算电场 0 ( ) 2 E r r λ πε = r a ≥ 2 0 0 ()2 r h Er r h π ρ π ε ⋅ = ⋅ ⋅ r a < a
E(r) 2 仍然定义电势0点为V(a)=0,则可通过计算场的积分来计算电势差 F>a时 (r)=-E(r)d 2Te n in( r≤a时 (r)=E( dr r 2e a 4e a 4丌Ena 28 2 eal case V(o Inside Outside-In(r) 思考:考虑电荷分布在柱子表面一个薄层的情形下空间的电势分布
0 2 0 0 ( ) , 2 2 E rr r r a a ρ λ ε πε = ⋅ = 时 0 () ( ) 2 r r a a V r E r dr dr r λ πε =− ⋅ =− ⋅ ′ ′ ′ ′ ∫ ∫ 0 0 ln ln( ) 2 2 r a a r r λ λ πε πε =− = ′ r a ≤ 时 2 2 2 0 0 () ( ) 2 4 a a a r r r V r E r dr r dr r a a λ λ πε πε == = ′ ′ ′′ ∫ ∫ ′ 2 2 2 2 0 0 1 ( ) [1 ( 4 2 2 r a r a a ) ] λ λ πε πε = −= − V(r) r Inside~r2 Outside ~ ln(r) ideal case 思考：考虑电荷分布在柱子表面一个薄层的情形下空间的电势分布
(2)尖端放电 考虑两个导体球(半径为r和R), 当相距非常远时,电势可以分别计算为 丌EnF 48 R 当用导线相连时,电荷可以通过导线自由移动。假设V1>12,则电荷必然由 q→>Q转移(电荷总是由高电势的地方流到低电势处,亦可由电场 E=-V(F)得知,其方向必然是由电势高的地方指向电势低的地方,故电荷在 电场下的运动必然从高电势流向低电势) qQ↑ V↓V2V-V2↓ 直到q→qQ→>QV=V2为止 -这与导体是个等势体的结论一致! q+o=q+g 平衡时: 4丌EnR 反之(即初始分布使得V<2)亦然。 原则上,我们可以由上面的两个等式求出平衡时的电荷分布及电势值(当然,这 里隐含了一个假设:两个导体球相距甚远,故它们之间的相互影响可以忽略。 考:它们的相互作用会产生哪些可能的后果?) 进一步可算得导体表面的电荷分布密度 O=,丌R 则因 V=2 R 可知 o,r=O2R=const. 这意味着在小球上的电量小,但电荷密度大。一般的, 电荷密度与曲率半径成反比!σ~1/r
（2）尖端放电 考虑两个导体球（半径为 和r R ）， 当相距非常远时，电势可以分别计算为 1 0 1 4 q V πε r = 2 0 1 4 Q V πε R = 当用导线相连时，电荷可以通过导线自由移动。假设 ，则电荷必然由 转移 （电荷总是由高电势的地方流到低电势处，亦可由电场 V V 1 > 2 q Q → E = −∇V r( ) r r 得知，其方向必然是由电势高的地方指向电势低的地方，故电荷在 电场下的运动必然从高电势流向低电势） q ↓ Q ↑ V1 ↓ V2 ↑ V V 1 2 − ↓ 直到 q q → ′ Q Q → ′ V V 1 = 2 为止 --- 这与导体是个等势体的结论一致！ 平衡时： 0 0 1 1 4 4 q Q qQ q Q πε πε r R ⎧ ′ ′ + =+ ⎪ ⎨ ′ ′ = ⎪ ⎩ 反之（即初始分布使得 ）亦然。 原则上，我们可以由上面的两个等式求出平衡时的电荷分布及电势值（当然，这 里隐含了一个假设：两个导体球相距甚远，故它们之间的相互影响可以忽略。 思 考：它们的相互作用会产生哪些可能的后果？） V V 1 < 2 r 进一步可算得导体表面的电荷分布密度 2 1 q′ = σ π 2 Q R ′ = σ 2π ， 则因 1 2 ' q Q V V r R ′ =⇒ = 可知 1 2 σ σ r R const = = . 这意味着在小球上的电量小，但电荷密度大。一般的， 电荷密度与曲率半径成反比！σ ~1/ r
推广到任意形状的导体,在突出的地方电荷其曲率半径r小密度,因此电荷 面密度大2 电场亦越大。F=qE,在尖端处电荷受到的力最大, F>表面束缚电子的能力时,电荷脱离导体而去,此即尖端放电的原理。 应用:避雷针;扫描隧道显微镜STM。 r大/a小 注意: (1)导体是个等势体这是计算导体静电问题的一个重要的边界条件,但这个等势体的具体 的电势值并不能预先知道,必须通过其他方法计算得到。比如可以先计算空间的电场分布(类 似我们上一章计算的),再通过计算电场的积分得到;还有一些高等的方法在《电动力学》 介绍 (2)导体的静电问题始终是一个难点,原因就是电荷可以自由移动。在考虑这类问题时要 特别注意外界的条件一边界条件。比如对孤立导体,因电荷不能离开导体,导体上的电荷总 数是个定值。若导体与另一个非常大的导体(如地球)相连,则所考虑的导体上的电荷就不 再是个定值,另一方面,所考虑的导体一定会与大导体之间通过电荷转移来达到平衡一表现 为2者等势。所以对这一类问题,导体的势可以认为是已知量由外接大导体的势决定,而 导体上的电量不再是定值
推广到任意形状的导体，在突出的地方电荷其曲率半径r 小密度，因此电荷 面密度大， 0 E σ ε ⊥ = ，电场亦越大。 F = qE r r ，在尖端处电荷受到的力最大， F > 表面束缚电子的能力时，电荷脱离导体而去，此即尖端放电的原理。 应用：避雷针；扫描隧道显微镜 STM。 注意： （1）导体是个等势体这是计算导体静电问题的一个重要的边界条件，但这个等势体的具体 的电势值并不能预先知道，必须通过其他方法计算得到。比如可以先计算空间的电场分布（类 似我们上一章计算的），再通过计算电场的积分得到；还有一些高等的方法在《电动力学》 介绍。 （2）导体的静电问题始终是一个难点，原因就是电荷可以自由移动。在考虑这类问题时要 特别注意外界的条件---边界条件。比如对孤立导体，因电荷不能离开导体，导体上的电荷总 数是个定值。若导体与另一个非常大的导体（如地球）相连，则所考虑的导体上的电荷就不 再是个定值，另一方面，所考虑的导体一定会与大导体之间通过电荷转移来达到平衡---表现 为 2 者等势。所以对这一类问题，导体的势可以认为是已知量---由外接大导体的势决定，而 导体上的电量不再是定值