第七讲 复习: ①导体体系的几个例子,G是未知量 σ可以通过高斯定理(库仑定律)+导体静电平衡条件唯一决定; 注意导体与绝缘体荷电体系的根本不同。 ②电势能的引入 (1)静电场E对电荷q的做功不依赖于路径E∥e,,E() (2)Fd=0静电场为无旋、保守力场 (3)△W=」Fd=K 外场做功的代价是?(相互作用)势能的减少, △W=U(1)-U(f) U()-U(1)=-Fd 看法2 可以通过另一种方法得到电势能的定义。 E在q的力为F=qE(F) 假设有一外非静电力F′=-F平衡此静电力,使得带电体速度为0 从i→>f,此过程机械能没有增加,叫做准静态 将E,q看成一体 的做功 △′=「Fd E,q总体系的总能的增加=△W′ 总动能的变化 △K=0(准静态) E场总场的变化 △U=0(E场没变化) q产生的场的总能△U4=0(q在任意位置的场一样)
第七讲 复习： ① 导体体系的几个例子，σ 是未知量 σ 可以通过高斯定理（库仑定律）+导体静电平衡条件唯一决定； 注意导体与绝缘体荷电体系的根本不同。 ② 电势能的引入 （1） 静电场 E r 对电荷 的做功不依赖于路径 q // ˆ E r e r ， E( )r （2） ∫ F d⋅ = 0 静电场为无旋、保守力场 r r l （3） f i Δ= ⋅ = W Fd ∫ v vl K 外场做功的代价是? (相互作用)势能的减少。 Δ= − W Ui U f () ( ) ( ) () f i U f Ui F d − =− ⋅ ∫ v v l ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 看法 2： 可以通过另一种方法得到电势能的定义。 E r 在 的力为 q F qE r = ( ) r r r 假设有一外非静电力 平衡此静电力，使得带电体速度为 F′ = − 0 r rF 从i → f ，此过程机械能没有增加，叫做准静态 将 E r ， 看成一体 q F′ r 的做功 f i Δ= ⋅ W F ′ ′ d ∫ v v l E r ， 总体系的总能的增加 q = ΔW ′ 从i → f 总动能的变化 ΔK = 0 （准静态） E 场总场的变化 0 ΔUE = （ E r 场没变化） q 产生的场的总能 0 ΔUq = ( q 在任意位置的场一样)
q与E的相互作用有变化(9与E的相对位置) 势能△U=U(f)-U(1)=△W U()-U(=Fde=- qE() de 注意:能量守恒与转化:总能量守恒,能量只能相互转化, 不可能凭空产生,消灭 I)i>f的过程中,势能转化为动能 I〕外力对电荷做功→势能(不是动能) (5)举例 例1:一个电荷q在电荷Q(原点)的电场中的电势能 (f:有限远点;i:无限远点) 解: D= qE, (). de 为∞远,U(1)=0 →f电场力F∥l U(-0= r o q0 dr=47EorIR go ondr=JR 4TEor Q go R aTEr 48 R 所以1(m(R为有限远点f的位置矢量) 注意: (1)Q在q场中的电势能?将坐标原点平移到q所在的R处,可得 47e R (2)是否q,Q的总势能为O=0g+g=2Q4?NO! 4E。R 相互作用能(我们所考虑的势能)只计算作用一次
q 与 E r 的相互作用 有变化 （ 与q E r 的相对位置） 势能 Δ = − =Δ U U f Ui W ( ) () ′ ( ) () ( ) f f i i U f − = ⋅ =− ⋅ U i F d qE r d ∫ ∫ v v v r r l l 注意：能量守恒与转化：总能量守恒，能量只能相互转化， 不可能凭空产生，消灭。 I) i → f 的过程中，势能转化为动能 II) 外力对电荷做功⇒势能（不是动能） （5）举例 例 1：一个电荷 在电荷 （原点）的电场中的电势能。 q Q （ f ：有限远点；i ：无限远点） 解： ( ) () ( ) f q i U f − =− ⋅ U i qE r d ∫ r r v l i 为 远， ∞ () 0 U i q = f 电场力 // ˆ F r e r i → 2 2 0 00 () 0 ˆ 4 44 q r R R R qQ qQ qQ qQ U f e dr dr r rr 0 πε πε πε 4 R ∞ ∞ ∞ − = = =− = ∫ ∫ r r r πε 所以 0 ( ) 4 q qQ U f πε R = （ R r 为有限远点 f 的位置矢量） 注意： （1）Q 在 场中的电势能？将坐标原点平移到 所在的 q q R r 处，可得 0 4 Q Qq U πε R = （2） 是否 ， 的总势能为 q Q 0 2 4 q Q Qq U U U πε R =+ = ？ NO！ 相互作用能（我们所考虑的势能）只计算作用一次
将q→>∞(或将Q→0) 总电势能=0 Q,q都在∞处(之间亦0)总电势能=0 将q搬到R处,不要Oq q在R处时,将Q→0点 2 4TER 因此,q,Q的总势能为Q=q4mEnR’是属于两电荷共同所有。 例2:在原点处固定一个电荷Q,另一电荷q在Q的作用下 由层移动到b,其初速度为零,求电荷q的末速度 go 解: F= mx= m 4丌E。x l=0=0,电荷q在运动过程中受到的电场力为变力,将上式两边同乘速度v dt 1 dx dt 4 mh=1→m2="g1ata 4 4e 4兀 Eo ra pb 也可根据能量守恒 初态总能量 m-+ 4丌 (v=0) 7 终态 4丌 Tb 所以 q22 4 丌Eorb 例3:三个电荷体系,q2,3的势能总和 解:相距∞时总势能为0,如何达到现在这个状态
将 （或将 ） q → ∞ Q → ∞ 总电势能 = 0 Q ， 都在 q ∞ 处（之间亦 ∞ ） 总电势能 = 0 将 搬到 q R r 处，不要Uq U = 0 q r 在 R r 处时，将 点 Q → 0 0 4 Q Qq U πε R = 因此， ， 的总势能为 q Q 0 4 Q q Qq U U πε R = = ，是属于两电荷共同所有。 例 2：在原点处固定一个电荷 ，另一电荷 在 的作用下 Q q Q 由 移动到 ，其初速度为零，求电荷 的末速度？ ra r br ′ r q 解： 2 0 1 4 dv qQ F mx m dt x πε == = r && 0 0 t x = & = ，电荷 q 在运动过程中受到的电场力为变力，将上式两边同乘速度v 2 0 1 4 dv Qq dx mv dt x dt πε = 2 2 2 0 0 1 1 ( ) 4 4 4 b a r r a b qQ qQ qQ mvdv dx mv dx 0 1 1 x x r = ⇒= = ∫ πε πε πε r − 也可根据能量守恒： 初态总能量 2 0 1 1 2 4 a a qQ mv r + πε （ 0 a v = ） 终态 2 0 1 1 2 4 b b qQ mv r + πε 所以 2 0 1 1( ) 2 4 b a b qQ mv r r = − πε 1 例 3：三个电荷体系 ， 1 1 q rr 2 2 q rr ， 3 3 q rr 的势能总和 解：相距 时总势能为 ∞ 0，如何达到现在这个状态
先将q1q2放到位,此时体系的势能总和为 U= q14 4zE。r 再将q3放到处,q3在q1,q2的电场(E) 中的势能为 e=E+e oD 3E.de 「qEd+」E2d E,·dC q2不在时,将43从∞处搬到f的功 q3 q1不在时,将43从∞处搬到7的功 q19 4243 4rE0n34丌E。23 UA=0+U q42+99+9 此方法可推广到计算N个电荷体系的总势能 1、9q11 q1 9 U总14兀6 2 48 注意:只能数一次。 (1)定义 静电力F→E电场 电势能U→>电势
先将 q1 q2 放到位，此时体系的势能总和为 1 2 0 12 1 4 q q U πε r = 再将 放到 处， 在 ， 的电场 q3 r3 ( r 3 q 1 q 2 q E r ) 中的势能为 E = + E E 1 2 rr r 3 3 3 3 3 1 3 r r r U qE d qE d qE ∞ ∞ ∞ ′ =− ⋅ = ⋅ + ⋅ ∫∫∫ r r r rr r r r r lll 2 d 3 3 1 r qE d ∞ ⋅ ∫r r rl —— 不在时，将 从 2 q 3 q ∞ 处搬到 1 r r 的功 3 3 2 r qE d ∞ ⋅ ∫r r rl —— 不在时，将 从 1 q 3 q ∞ 处搬到 3r r 的功 1 3 2 3 0 13 0 23 1 1 4 4 qq q q U πε πε r r ′ = + 1 2 13 23 0 12 13 23 1 ( ) 4 q q qq q q U UU πε rrr =+ = + + ′ 总 此方法可推广到计算 N 个电荷体系的总势能 0 0 1 11 [ ] 4 24 i j i j i j i j ij ij q q q q U πε ≠ > r r πε 总 = × ∑ ∑ = 注意：只能数一次。 电势 （1）定义 静电力 电场 F → r rE ↓ ↓↑ 电势能U → ϕ 电势
U(-U0=- F de=- E di=g-r E de 个电荷q在外电场E中的势能∝q,因此, ∫Ed是一个不依赖于此电荷而刻画E的性质的量 定义: o(/)-a0)=」Ed 电势 E= q q U,F都依赖于检验电荷的存在及其电量:而φ,E是不依赖于检验电荷, 而只是刻画源电荷的性质。 电势差(f)-(i)刻画了电场对q做功的能力,单位是伏特V。电场 到底做了多少功△W,取决于电量的大小。 (2)点电荷的电势 通常取q(∞)=0,则 (F)=JE=9 idr 4 4 4zE。r 亦可以从电势能出发 0()=(=q q4zEnr/q4mE。r 3)两个电荷体系q(),q2(2)的电势。 0由以()-以0JEd出发,定义()=0 (7)=Ed
( ) () ff f ii i U f U i F d qE d q E d ⎡ ⎤ − =− ⋅ =− ⋅ = − ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦ ∫∫ ∫ vv v v r r l l l 一个电荷 在外电场 中的势能 q E r ∝ q ， 因此， f i − ⋅ E d ∫ r v l 是一个不依赖于此电荷而刻画 E r 的性质的量。 定义： ( ) () f i ϕ ϕ f − =− ⋅ i E ∫ d r v l ——电势 U q ϕ = E F q = r r U F, r 都依赖于检验电荷的存在及其电量；而ϕ, E r 是不依赖于检验电荷， 而只是刻画源电荷的性质。 电势差ϕ( ) () f −ϕ i 刻画了电场对 做功的能力，单位是伏特V 。电场 到底做了多少功 q ΔW ，取决于电量的大小。 （2）点电荷的电势 通常取ϕ() 0 ∞ = ，则 2 0 0 1 1 ( ) 4 4 r r r Q Q r E d dr r r ϕ πε πε πε ∞ ∞ ∞ == = = ′ ′ ′ ∫ ∫ r r r v l 0 1 4 Q r 亦可以从电势能出发 0 0 ( ) 1 ( ) 4 4 U r qQ Q r q q r r ϕ πε πε == = r r （3）两个电荷体系 q r 1 1 ( ) ，r 2 2 q r( ) r 的电势。 ① 由 ( ) () i f ϕ ϕ f −=⋅ i Ed ∫ r v l 出发，定义ϕ() 0 ∞ = ( ) r ϕ r E∞ = ⋅ d ∫r r r v l
根据电场叠加原理E(F)=E1(F)+E2(F) g22 (F)=E(F)d=」E(F),d path ll +E(F),d=9(F)+92(F) 我们仍未选择路径,利用积分与路径无关的性质 a(G)=JE(P)a=,19 4mE。|- 2(F)=E2(F)d=1 4E。|F-2 Path Il 如果选择同样的路径,积分很繁,但结果完全一样 oG)=q()+0()=4z 利用另一个定义(F\U q,在处放一检验电荷q U(r) q21q190 42q0 -2 r-r, P(r) U(7 19+-92+4 q 4 ||F一2q0|-2 之所以多出最后一项,原因是电势能零点选择不同。 计算U(F)时,电势能零点选择为与q1q290分别相距无穷远,(注意)但 这是我们要的吗?我们的q是计算qq2相对位置不变,作为外场的来源时的做 功的能力。 (4)推到N个电荷体的电势 a(F)=EGTl=9+仍 qi 4 同理N+1(q,检验电荷)的总能
根据电场叠加原理 1 2 E() () () r Er E r = + rr r rrr 1 () ( ) ( ) r r ϕ r Er d E r ∞ ∞ = ⋅= ′ ′ ∫ ∫ r r rr r r r v l l ⋅ d r 2 r 2 1 ( ) () () r Er d r r ϕ ϕ ∞ + ⋅= + ′ ∫r r r r r l 我们仍未选择路径，利用积分与路径无关的性质 1 1 1 0 1 1 () ( ) 4 | | r q r Er d r r ϕ πε ∞ = ⋅= ′ − ∫r r r r v l r r ------ Path I 2 2 2 0 2 1 () ( ) 4 | | r q r Er d r r ϕ πε ∞ = ⋅= ′ − ∫r r r r v l r r ------ Path II 如果选择同样的路径，积分很繁，但结果完全一样 1 2 1 2 01 2 1 () () () [ ] 4 | | | | q q rrr rr rr ϕϕ ϕ πε =+ = + − − rrr r r rr 利用另一个定义 ( ) ( ) U r r q ϕ = r r ，在 r r 处放一检验电荷 q 1 2 10 20 012 1 2 1 () [ ] 4 | | | | | | q q qq q q U r πε rr rr rr = ++ − −− r rr rr rr 12 1 2 0 1 2 01 ( ) 1 ( ) [ ] 4 2 | | | | | | U r q q qq r q rr rr qr r ϕ πε == ++ −− − r r r r rr rr 之所以多出最后一项，原因是电势能零点选择不同。 计算U r 时，电势能零点选择为与 分别相距无穷远，（注意）但 这是我们要的吗? 我们的 ( ) r 1 q 2 q 0 q ϕ 是计算 相对位置不变，作为外场的来源时的做 功的能力。 1 q 2 q (4) 推到 N 个电荷体的电势 1 2 0 1 1 () () ... 4 | | N i N r i i q r Er d r r ϕ ϕ ϕ ϕ πε = = =++ = − ∫r ∑ r r r r l r r 同理 N +1（ ，检验电荷）的总能 q
U q 4丌E0 (7)≠ 推广至任意电荷连续分布的带电体 0()=∑q(F) 4Eo r 带电体 p(r)dr 4E。|r-F
0 1 1 [ ] 4 | || N i j i i i j i i q q q q | j πε = > rr rr = + − − U ∑ ∑ rr rr ( ) u r q ϕ ≠ r 推广至任意电荷连续分布的带电体 1 1 0 1 () ( ) 4 | | N N i i i i i q r F r r ϕ ϕ= = πε = = − ∑ ∑ r r r 带电体 0 1 () 4 | r dr r r | ρ πε ′ ′ = ′ − ∫ r r r r