第十三讲 复习: ①介质极化的完整图像 E0→P=E0xE0 En→P=0x(E+En) 自恰 ②介质中的高斯定理 辅助矢量:电位移矢量D()=E0E(F)+P(F)=E0(1+x)E( i Dds=q, 1)电位移矢量是一个辅助矢量,本身不具有明确的物理意义。虽然其与源电 荷产生的电场满足一样的高斯定理,或者说D与E两种场的散度性质 样,因两者具有可能不同的旋度性质,仍然不能认为两者是一样的。 2)D满足的高斯定理始终是严格的。但D与E的关系只有在线形介质中才满 足D()=6(1+x)E()。一般情况下,只能用D(F)=E0E(F)+P(F)。 3)计算电介质的问题,可以遵从q→D→E→P→qn的计算次序,最终用 计算得到的qn验证所得电场是否正确。 (一)定义 电容顾名思义是电荷的容器,更本质讲是静电能的容器。它的用处有断电保 护,产生电场,调谐振频率等。它在电学中具有重要的意义。 看一个最简单的电容器的定义:设有两个导体组成的一个器件,当两导体分 别带+q,-q电量时,它们的电势差为△=V1-V2,则定义这个电容器 ( capcitor)的电容( capacitance)为 △其单位为库/伏=法拉 物理意义位:单位电势差下,存储在器件中的电量的大小。显然C越大,同等 条件下(比如接同样的一个电池),此电容器中存储的电荷量就越大,反之亦然
第十三讲 复习： ① 介质极化的完整图像 E0 r ⇒ EP 00 v r = χε ⇒ qp ⇒ Ep r ⇒ P E 0 0 p = + ε χ E v r v （ ） 自恰 ② 介质中的高斯定理： 辅助矢量：电位移矢量 0 0 Dr Er Pr Er ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) = + =+ ε ε r rr r r rr χ r D f ⋅ds q = ∫ r r 1）电位移矢量是一个辅助矢量，本身不具有明确的物理意义。虽然其与源电 荷产生的电场满足一样的高斯定理，或者说 D r 与 Ef r 两种场的散度性质一 样，因两者具有可能不同的旋度性质，仍然不能认为两者是一样的。 2） 满足的高斯定理始终是严格的。但 D r D r 与 E r 的关系只有在线形介质中才满 足 Dr Er ( ) (1 ) ( ) = + ε χ 0 。一般情况下，只能用 r r r r 0 Dr Er Pr () () () = + ε r r r r r r 。 3）计算电介质的问题，可以遵从 f p q DEPq →→→→ r r r 的计算次序，最终用 计算得到的qp 验证所得电场是否正确。 电容 （一）定义 电容顾名思义是电荷的容器，更本质讲是静电能的容器。它的用处有断电保 护，产生电场，调谐振频率等。它在电学中具有重要的意义。 看一个最简单的电容器的定义：设有两个导体组成的一个器件，当两导体分 别带 + − q q , 电量时，它们的电势差为 ΔVVV = −1 2 ，则定义这个电容器 （capictitor）的电容（capacitance）为 q C V = Δ 其单位为库/伏=法拉 物理意义位：单位电势差下，存储在器件中的电量的大小。显然 C 越大，同等 条件下（比如接同样的一个电池），此电容器中存储的电荷量就越大，反之亦然
怎样给电容器充电?通常将导体分别接电池(源)两端,显然此时Δ是确定 的。 注意:本课程中C的定义事实上是“互电容”定义对一种特定的电容器(只包含2导体 且规定其带等量异号电荷)。一般情况下,电容器可能包含任意多的导体,这种情况下,更 普适的定义是C,电容系数 Q=∑CV 可描述任意导体体系中导体的带电量与电势的关系。总之C描述的是电量与电势的线性关 系,其大小与几何结构有关。 (二)举几个特例: (1)平行板电容: 设有两块导体平板(面积为A)平行放置(相距d),假设√A>d,可 以忽略边缘效应,平行板内部的电场可以看成均匀场 板上的面电荷密度为G=9 则两板中的电场 E q 2E02 80 80 q 两板之间的电势差可得 d H1-V2=「Ed≈9d 8.A 则电容可得: C Eo V-v d →①C∝A,面积大则q大 ②C∝1/d,d大则所需电压大 如果平行板之间充满电介质,如何? 充电电压△不变,求q?现在 K+x 假设q知,求△V更方便 q为q—自由电荷(不管极化电荷如何,我只关心q)。由D满足的高斯定理
怎样给电容器充电？ 通常将导体分别接电池（源）两端，显然此时 是确定 的。 ΔV 注意：本课程中 C 的定义事实上是“互电容”，定义对一种特定的电容器（只包含 2 导体， 且规定其带等量异号电荷）。 一般情况下，电容器可能包含任意多的导体，这种情况下，更 普适的定义是 电容系数 Cij i ij j Q C = Vj ∑ ⋅ 可描述任意导体体系中导体的带电量与电势的关系。 总之 C 描述的是电量与电势的线性关 系，其大小与几何结构有关。 （二）举几个特例： （1） 平行板电容： 设有两块导体平板（面积为A）平行放置（相距d），假设 A >> d ，可 以忽略边缘效应，平行板内部的电场可以看成均匀场。 板上的面电荷密度为 q A σ = 则两板中的电场： 0 00 2 2 q E A σ σ ε ε ε =+= r 两板之间的电势差可得： 1 2 0 q d V V Ed ε A ⋅ −= ⋅ = ∫ r r l 则电容可得： 0 1 2 q A C ε VV d = = − ∝ d → ① ，面积大则 大； ② ， 大则所需电压大； C A ∝ q C 1/ d 如果平行板之间充满电介质，如何? 充电电压 不变，求 ？现在 ΔV q 假设 知，求 更方便。 q ΔV q 为 f q ——自由电荷(不管极化电荷如何，我只关心 f q )。由 D 满足的高斯定理 r
D·d=9可知D= ——均匀场 则可计算E场: E= q Egar EgEr 进而可以计算电势差 EgEr E C 介质的存在能提高电容C,即提高电容器的储电能力。为什么? 退极场”的存在 E,变小,因而电压变小 相同电荷,所需电压变小,电容变大。 换个角度看: 保持△=V1-V2不变,则电场相同。 上十十十十+十+十V 加介质的作用是产生反向的极化电荷,外界 条件要求达到相同的电势差(电场),只能通 过追加q来实现 (2)球状电容器 平板电容器虽然简单,但要求板较大(板小 导体2 时有边缘效应,有漏电效应)。考虑其他形式 的电容器,比如两个同心导体球(壳), 导体1r≤a 导体2b≤r≤d 它们之间填满介质Era≤r≤b E在导体中为0,D亦然
D ds qf ⋅ = ∫ r r 可知 f q D A = ——均匀场， 则可计算 E 场： 0 0 f r r D q E ε ε εε A = = ， 进而可以计算电势差 1 2 0 f r q d V V Ed ε ε A −= = 0 1 2 f r q A C VV d ε ε = = − 介质的存在能提高电容 C，即提高电容器的储电能力。为什么？ E p r “退极场”的存在 Et 变小，因而电压变小 相同电荷，所需电压变小，电容变大。 换个角度看： 保持 Δ= − VVV 1 2 不变，则电场相同。 加介质的作用是产生反向的极化电荷，外界 条件要求达到相同的电势差（电场），只能通 过追加 f q 来实现 （2）球状电容器 平板电容器虽然简单，但要求板较大（板小 时有边缘效应，有漏电效应）。考虑其他形式 的电容器，比如两个同心导体球（壳）， 导体 1 r a ≤ q 导体 2 brd ≤ ≤ −q 它们之间填满介质 r ε arb ≤ ≤ E r 在导体中为 0， D 亦然 r
注意到对称性,DG∥l 由高斯定理山D·d=q,取半径为r球面为高斯面 D(r)4xy2=q,可得D()=q 线性介质内部(a<r<b)D=50EE,则 E(F)= FCoE r 电势差因此可计算为: 1a-76=「Ed=-91 兀EaE, 4. EgEr 电容值为: b 4丌EnE, 4 ZEaE △F 讨论:①E=1(空气,真空),则C=4b-a ②E(介质)的存在增加电容,物理原理与平板时一样。 ③与平板电容的相似性:b≈a时 A=4Ta A,= b2 A=A,A=4rab d=b a,则C=g√4 (3)柱状电容器 导体 E 柱状电容器介于平板与球形之间。 设电容器总长为L 导体1p≤a,带电量q
注意到对称性， ( ) // ˆ D r r e r r 由高斯定理 D ds qf ⋅ = ∫ r r ，取半径为 球面为高斯面 r 2 D( )4 r r π = q ，可得 2 ( ) 4 q D r πr = 线性 介质内部( arb < < )有 D E 0 r = ε ε r r ，则 2 0 ( ) ˆ 4 r r q Er e πε ε r = r r 电势差因此可计算为： 0 0 1 1 () ( 4 4 b b a b a r r a q q V V E dr πε ε πε ε r a −= ⋅= − = − ∫ r r 1 ) b 电容值为： 0 0 1 4 4 1 1 r r q ab V b a a b == = πε ε πε ε Δ − − C 讨论： ① 1 r ε = （ 空气，真空），则 0 4 ab C b a = πε − ② r ε （介质）的存在增加电容，物理原理与平板时一样。 ③ 与平板电容的相似性： b a ≈ 时 2 1 A = 4πa 2 2 A = 4πb 1 2 A = = A A ab 4π d ba = − ，则 1 2 0 0 A A A C d d = ≈ ε ε （3）柱状电容器 柱状电容器介于平板与球形之间。 设电容器总长为 L 导体 1 ρ ≤ a ， 带电量 q
导体2b≤P≤d 中间为电介质,相对介电常数E a≤p≤b 由对称可知 E∥。,E=E(p)e 电容器中有电介质E,根据介质中的高斯定理,利用D计算方便许多 Dds =q D(p).2mp.h=9.h D()=-9 2TOlL 因介质为线性介质E(p)=DP=9,由此可计算电势差 Er 2/ p △F=-1=Ekdp2xMhy=, 则电容为:CsQ sa8 △ln(b/a) 讨论: (i)Er的存在使得电容变大,WHY?极化电荷产生在介质与金属的界面上, 在效果上“抵消”自由电荷的影响,因而使得体系可以存储更多的电荷。 (i)b-a=d>>a时,回到平板电容器? a+d In()=In( )=ln(+4)≈d C≈2mE0E,L… dec d (4)单个导体的电容 单个导体也可以贮存电荷,此时假设另一带等量异号 电荷的导体为地球,或放∞处导体球。半径为R,电势
导体 2 b d ≤ ≤ ρ −q 中间为电介质，相对介电常数 r ε a b ≤ ρ ≤ 由对称可知 ⇒ E e // ˆρ r , E E e ( ) = ρ ρ r r 电容器中有电介质 r ε ，根据介质中的高斯定理，利用 D r 计算方便许多 D ds qf ⋅ = ∫ r r ( )2 q D h h L ρ πρ ⋅ ⋅= ⋅ ( ) 2 q D L ρ πρ = 因介质为线性介质 0 0 ( ) ( ) 2 r r D q E L ρ ρ ε ε πε ε ρ = = ，由此可计算电势差 0 0 ( ) ln( ) ln( ) 2 2 b b a b a r r a q q VVV E d L L ρρ ρ πε ε πε ε b a − = = = ∫ Δ = 则电容为： 0 2 ln( / ) Q rL C π V ba ε ε = = Δ 讨论： （i） r ε 的存在使得电容变大，WHY？ 极化电荷产生在介质与金属的界面上， 在效果上“抵消”自由电荷的影响，因而使得体系可以存储更多的电荷。 （ii） ba d a − = >> 时，回到平板电容器？ ln( ) ln( ) ln(1 ) b ad d d a a a a + = =+ ≈ 0 0 2 r r a A C L π d d ≈ ⋅= εε εε （4）单个导体的电容 单个导体也可以贮存电荷，此时假设另一带等量异号 电荷的导体为地球，或放 处导体球。半径为 ∞ R ，电势
为V的导体球,贮存多少q?(实际问题中往往知道 ,不知q,此处计算时由q→V更方便) E=-9 E·cF g dr=y R 4er 4E R C=%=4R 注意:不管什么样的电容,C总是正比一个某一个长度,具有长度的量纲。这享实上有很 深的物理意义的,能量正比于Cq',C~L线度说明了体系中两个电荷的“平均分开的 有效距离 (5)电容在现代科学中的应用 ①量子:电容是个经典量,电荷是一个个的 量子力学中,电子不是点电荷。小尺寸系统电 容如何定义? 金属-绝缘体相变 电容能,与量子效应的竞争,超导体量子 点阵更是由电容能与量子效应的竞争。引发 了一对新的物理量, number与 phase的竞争 ②经典物理 负折射材料,C,L共振改变物质的有效E, (三)电容的串联和并联 类似电阻,电容也有两种连接方式 (1)串联 ∨等势 静态平衡时,导线中没有电势差 孤立导体,电荷守恒q1=q2=q, 两个串联的电容有效贮存的总电荷仍然为q 但其所占据的电势差却与单个电容的不再相同
为V 的导体球，贮存多少 ？q （实际问题中往往知道V ，不知 ，此处计算时由 更方便） q q V → 2 0 ˆ 4 r q E e πε r = r 2 0 0 R R 4 4 q q V E dr dr πε π r R ∞ ∞ = ⋅= = ∫ ∫ r r ε 0 4 q C R π V = = ε L 注意：不管什么样的电容，C 总是正比于一个某一个长度，具有长度的量纲。这事实上有很 深的物理意义的。能量正比于 ，C 线度说明了体系中两个电荷的“平均分开的 有效距离”。 1 C qq ' − ~ （5）电容在现代科学中的应用 ① 量子： 电容是个经典量，电荷是一个个的。 量子力学中，电子不是点电荷。小尺寸系统电 容如何定义？ 金属------绝缘体相变 电容能，与量子效应的竞争，超导体量子 点阵更是由电容能与量子效应的竞争。引发 了一对新的物理量，number 与 phase 的竞争。 ② 经典物理 负折射材料，C, L 共振改变物质的有效 r ε ， μr （三）电容的串联和并联 类似电阻，电容也有两种连接方式。 （1）串联 静态平衡时，导线中没有电势差 孤立导体，电荷守恒 q q 1 2 = = q ， 两个串联的电容有效贮存的总电荷仍然为 q。 但其所占据的电势差却与单个电容的不再相同
V-V 等效来讲 贮存电荷q,因此总等效电容为 q V-v g g CCCC C=C+o C (多个电容串联情形) (2)并联 q=q1+42—从电池处充得的总电量 V-v 一电池给的总电压 q1=Cva-vn q2=C2(-Vb) C=.q=4+9=C+C2 q C 并联情形 (3)既有并联,又有串联
1 a c q C V V = − 1 a c q V V C − = 2 c b q C V V = − 2 c b q V V C − = 等效来讲 1 2 a b q q VVV C C Δ= − = + 贮存电荷 ，因此总等效电容为 q 12 12 1 1 1 a b q q C V V q q CC CC == = − + + % 即： 1 1 CCC 1 2 − − = + % −1 2 ⇒ （多个电容串联情形） 1 1 i i C C − − % = ∑ （2）并联 1 qq q = + —— b 从电池处充得的总电量 V V a − ——电池给的总电压 1 1( ) a b q CV V = − 2 2 ( ) a b q CV V = − 1 2 1 2 ab ab q q q C C VV VV + = = =+ − − % C ⇒ i i C C % = ∑ ⇐并联情形 （3）既有并联，又有串联
V C3+lC C 如图所示 C==311 习题:P693 Questions,15, P696 Problems,4,8,10,20,24 1.球形电容器由半径为R的导体球和与它同心的导体球壳所构成,球壳的内半 径为R,其间一半充满相对介电常数为E的均匀电介质,另一半为空气(如图 所示)。设空气的相对介电常数为1,求该电容器的电容C。 R2
如图所示 3 1 2 1 1 1 q C C V C C = =+ Δ + % 习题：P. 693 Questions, 15, P. 696 Problems, 4, 8, 10, 20, 24 1．球形电容器由半径为 R1的导体球和与它同心的导体球壳所构成，球壳的内半 径为 R2 ，其间一半充满相对介电常数为 r ε 的均匀电介质，另一半为空气（如图 所示）。设空气的相对介电常数为 1，求该电容器的电容 C。 ε r R1 R2