第31讲 复习: ●历史上最大的挑战来自 Maxwel1方程 光速c在哪个惯性系测的?绝对坐标系,“以太系”。 迈克尔孙一莫雷实验,寻找“以太系”,或地球相对“以太系”的速度 结论:没有相对速度! 惊人:地球是“以太系”?考虑地球自身的公转及自转,怎么可能? 克斯韦方程 伽利略变换) 不和谐 麦莫实验 相对性原理 1900年,开尔文认为“晴朗的天空远处有两朵乌云”。其中一朵是“以太”漂移 的0结果。 (三)解决方案 爱因斯坦的选择:放弃伽利略变换 (a) Maxwell方程组取得了巨大的成功,被大量的实验事实所证实,没有理由认 为其不正确。 (b)相对性原理,没有理由认为上帝选择地球作为绝对坐标系,地球一定仅仅是 千千万万个惯性坐标系的一个(地球本身的相对运动有多大!)30公里/s 因而另一个惯性坐标系也应当成立(即使在地球上成立),只能放弃伽利略变 换 小心:彻利略变换对力学正确!!! 放心:那里是低速νc,只要我们选择新的变换在此条件下回到伽利略变换即 可 相对性原理+ Maxwell方程组台光速在任意坐标中不变d 有了这两个基本假设,我们可以推出一个新的时空变换替代伽利略变换
第 31 讲 复习： z 历史上最大的挑战来自 Maxwell 方程 光速 在哪个惯性系测的？ 绝对坐标系，“以太系”。 c 迈克尔孙—莫雷实验，寻找“以太系”，或地球相对“以太系”的速度 结论：没有相对速度！ 惊人：地球是“以太系”？考虑地球自身的公转及自转，怎么可能？ 1900 年，开尔文认为“晴朗的天空远处有两朵乌云”。其中一朵是“以太”漂移 的 0 结果。 （三）解决方案 爱因斯坦的选择：放弃伽利略变换 ) Maxwell 方程组取得了巨大的成功，被大量的实验事实所证实，没有理由认 (b)相对性原理，没有理由认为上帝选择地球作为绝对坐标系，地球一定仅仅是 (a 为其不正确。 千千万万个惯性坐标系的一个（地球本身的相对运动有多大！） 30公里 s ， 因而另一个惯性坐标系也应当成立（即使在地球上成立），只能放弃伽利略变 换。 小心：伽利略变换对力学正确！！！ 心：那里是低速 ，只要我们选择新的变换在此条件下回到伽利略变换即 相对性原理+Maxwell 方程组 放 可。 v c ⇔ 光速在任意坐标中不变 c 有了这两个基本假设，我们可以推出一个新的时空变换替代伽利略变换
洛伦兹变换 光速不变→洛伦兹变换的直接后果 t=t=0时,S与S重合 假设此时发射一束光波,光沿各方向的传播方向都是c。所以t时刻S系中 光到达的位置满足 x-+ (1) 存在两事件:1发射(0,0.,0,0) 接收(x,y,,D) 在S看来,同样的事件应用描述 1发射(0,0,0,0) 2接收(x,y,z,t) 根据光速不变原理,变换后的(x,y,z,)必须满足 x2+y2+z2=(cn)2 (2) 伽利略变换 x=x-vt 显然不能满足。洛仑兹发现要满足(2)式的约束[在(1)式成立的前提下],时 空必须耦合在一起。洛伦兹提出他的坐标变换:
洛伦兹变换 光速不变 ⇒ 洛伦兹变换的直接后果 时， 与 重合 ' t t = = 0 S ' S ' '' xyz = = = 0 2 假设此时发射一束光波，光沿各方向的传播方向都是 。所以 时刻 系中 光到达的位置满足 c t S 2 22 2 x ++= y z ct （1） 存在两事件： 1 发射 (0,0,0,0) 2 接收 ( , x yzt , ,) 在S 看来，同样的事件应用描述 ' 1 发射 (0,0,0,0) 2 接收 ( ,' ' '' x yzt , ,) 根据光速不变原理，变换后的( , , ,) ' ' '' x yzt 必须满足 '2 '2 '2 2 x ++= y z ct ( ') （2） 伽利略变换 ' ' ' ' x x vt y y z z t t ⎧ = − ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ = 显然不能满足。洛仑兹发现要满足（2）式的约束[在（1）式成立的前提下]，时 空必须耦合在一起。洛伦兹提出他的坐标变换：
x=(x-)/√1-v2/e2 y 1-2x/11-y2/c2 的确,利用洛仑兹变换, 1-y2/c2 y2/c2 [x2+(m)2-2x+(y2+2)1-y/c2)] 2ct2+(v)2-2x-(c212-x2) r//c22+(m2-2xyt-(m)+y 1-y2/c2 cr-x2|=(c) 也就是说,在S系中观测事件传播的速度仍为c,而且是各向同性的一尽管S相 对S沿x轴运动,在S系中看到的速度沿x轴与其它轴没有任何的不同!直接解 决了迈一莫实验的问题,如果在S系中的光速仍上常数且各向同性,当然干涉条 纹没有移动 (四)相对论多普勒效应 1.非相对论多普勒效应 因一般波(如声波,绳波)存在于波介质中,因此波源及接受器相对于介质 的运动都须考虑。设波源与接收器的运动速度分别为u,u',而波在静止媒质 中的运动速度为v,则
' 2 ' ' ' 2 2 ( )/ 1 1 x x vt v c y y z z v t t x vc c ⎧ =− − ⎪ ⎪ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ =− − ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ 2 2 （3） 的确，利用洛仑兹变换， 2 '2 '2 '2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 ( ) 2 ( )(1 ) 1 1 () 2 ( ) 1 1 () 2 () 1 1 2 1 x vt x y z yz v c x vt xvt y z v c v c v c t vt xvt c t x v c c v c t vt xvt vt x v c c v xv c t ct x vc c c − + + = ++ − = + − ++ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = + −− − ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ − ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = + −−+ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ − ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎛ ⎞ = −+ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 2 2 ' 2 2 2 1 ( ) 1 v ct x ct vc c ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = −= ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 也就是说，在 系中观测事件传播的速度仍为c，而且是各向同性的—尽管 相 对 沿 ' S ' S S x轴运动，在 系中看到的速度沿 ' S x轴与其它轴没有任何的不同！直接解 决了迈—莫实验的问题，如果在 系中的光速仍上常数且各向同性，当然干涉条 纹没有移动。 ' S （四）相对论多普勒效应 1．非相对论多普勒效应 因一般波（如声波，绳波）存在于波介质中，因此波源及接受器相对于介质 的运动都须考虑。设波源与接收器的运动速度分别为 ，而波在静止媒质 中的运动速度为v，则 u u,
Mt时间内,波源的振动次数N=Mt·f(为频率) 波源静止时,发出的波振列长度为I=v△t 波源动时,波振列长度为=(-)t 这段长为l的波振列被静止的接收器接收时间为 △7=l/v。 当接收器运动时,其接收的时间为 y-l 运动的接收器Mt时间内收到△N个振动,在它看来频率为 △N△t·f Jf -(v-11)= (v-) V-ll 前面我们曾推出当观察点相对波介质运动时,看到的波的场为 y(x, t)=cos[(o-ku)t-h 因此,运动的接收器观测到的波的频率为 o'=o-ku=@--u=@(1-u7v) 与上面u=0时的结果一致。 当u,v时, l-l f≈(1--)(1+-)f≈(1 u-u 2.相对论多普勒效应 光波传播无需介质,且光速在任何系中均为c,因而只须考虑 光源与接收器的相对运动 S系中,源以ν运动,接受器静止, 光源 S以ν相对S运动,源相对S静止 > 在S系有两事件,源开始/结束做N次振动。此2
Δt 时间内，波源的振动次数 ΔN t =Δ ⋅ f （f 为频率） 波源静止时，发出的波振列长度为 l v = Δt 波源动时，波振列长度为 l v ' = ( ) − Δ u t 这段长为l ' 的波振列被静止的接收器接收时间为 ' Δ =t lv % 。 当接收器运动时，其接收的时间为 ' ' ' l t v u Δ = − 运动的接收器Δt ' 时间内收到ΔN 个振动，在它看来频率为 ' ' ' ' ( ) ( ) N tf v u f vu f t vu t vu Δ Δ⋅ − = = −= ⋅ Δ −Δ − 前面我们曾推出当观察点相对波介质运动时，看到的波的场为 y x t ku t kx ( , ) cos[( ') ] = −− ω 因此，运动的接收器观测到的波的频率为 ' ( ku u u v v 1 '/ ) ω ωω ω ω =− =− = − 与上面 u = 0 时的结果一致。 当u u 时， ' , v ' ' ' ' 1 (1 )(1 ) (1 ) 1 u v u u uu f f f u vc v v − − = ≈− + ≈+ − f ' ' u u f f f v − −≈ ⋅ 2．相对论多普勒效应 光波传播无需介质，且光速在任何系中均为 c，因而只须考虑 光源与接收器的相对运动。 ' S 系中，源以 运动，接受器静止， v S 以v相对 运动，源相对 静止 S S 在S' 系有两事件，源开始/结束做 次振动。此 N 2 事件的时空点为：
①开始 (0,0)←源的位置,时间 ②计数N次振动(v△,△) 此信号以c传播,到接收器时(接收器静止在R处),相应的事件为: R (3)开始接收R (4)接收第N个RAt+ R,-+△t(1- 在S'系中静止的接收器接收此N次振动花的时间Δ为 △=△t·(1-B)定义B=v/c 这部分的贡献是波源运动产生的波阵列被压缩,在非相对论多普勒中已有显现效 应 然而我们还必须回到在S系中(光源静止)考察源的频率, S相对S以速度v运动,发生在S’系中的两事件发生在S系中时空点分别为: 0,0)即(x1,41) ②(0,4n) 即在S系中两事件发生在同地(Ax=0)。 据洛氏变换,两系时间间隔的关系为: △x △t B- M为原时(即在源静止的系中测得的时间间隔) M为原时(静止时的时差) △t为运动系中的时间差,膨胀 综合起来 △t·(1-B) (1-B)=△ B V1+B
① 开始 (0,0) 源的位置，时间 ← ② 计数 次振动 N ' ' ( , vt t Δ Δ ) 此信号以c传播，到接收器时（接收器静止在 R 处），相应的事件为： （3） 开始接收 , R R c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （4） 接收第 个 N ' ' ' , , R vt R v R t R t c c ⎛ ⎞ − Δ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ Δ + ⇒ +Δ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1 ) c 在 系中静止的接收器接收此 N 次振动花的时间 S ' Δt %为 ' Δ =Δ ⋅ − t t % (1 ) β 定义β = v c/ 这部分的贡献是波源运动产生的波阵列被压缩，在非相对论多普勒中已有显现效 应。 然而我们还必须回到在 系中（光源静止）考察源的频率。 S S 相对 以速度 v 运动，发生在 S’系中的两事件发生在 系中时空点分别为： ① 即 ' S S (0,0) 1 1 (,) x t ② (0, ) Δt 即 2 2 (,) x t 即在 S 系中两事件发生在同地（ Δx = 0）。 据洛氏变换，两系时间间隔的关系为： 2 ' 2 2 1 1 v t x t c t β β Δ + ⋅Δ Δ Δ= = − − Δt 为原时（即在源静止的系中测得的时间间隔） ' 2 1 t t β Δ Δ = − ← Δt 为原时（静止时的时差） ' Δt 为运动系中的时间差，膨胀 综合起来， ' 2 1 (1 ) (1 ) 1 1 t t t t β β β β β Δ − Δ =Δ ⋅ − = − =Δ − + %
同样接收N次振动,时间不同,频率相应为: f=fo B 11-B 此时多普勒效应包括两个效应 ①时间膨胀 ②运动源使周期变短 *一般情况(如图所示):(3)、(4)须做相应修改 (3)(R,-) (4)(R,△ (RSin 0)+(Rcos8-vAr)2 则接收器耗时为: R ≈△r+(-cosO、R R =△(l-Bco) =△1(1- B 6)/l-B 注意:时间膨胀效应仍在: 因此 f=fo Bcos 8 即使csO=0b=90,仍有频移,f=f1- 这完全是一个相对论效应一由时间膨胀引起的
同样接收 N 次振动，时间不同，频率相应为： 0 1 1 f f β β + = ⋅ − % 此时多普勒效应包括两个效应 ① 时间膨胀 ② 运动源使周期变短 * 一般情况（如图所示）： （3）、（4）须做相应修改。 （3）(, ) R R c r （4） 2 ' ' ( sin ) ( cos )2 ) R R vt R t c θ θ + −Δ Δ + r ( , 则接收器耗时为： 2 '2 ' ' ' ' ' 2 0 ( ) 2 cos cos (1 ) (1 cos ) (1 cos ) 1 R v t Rv t R t t c c R vt R t c Rc t t θ θ β θ βθ β +Δ − Δ Δ =Δ + − Δ ≈Δ + − − =Δ − =Δ − − % 注意： 时间膨胀效应仍在： ' 2 1 t t β Δ Δ = − ， 因此 2 0 1 1 cos f f β β θ − = − % 即使cosθ θ = = 0, 90o ， f % 仍有频移， 2 0 ˆ f f = −1 β 这完全是一个相对论效应 – 由时间膨胀引起的
