第十四讲 复习: *电容的定义C △(Q-贮存的电量,V-两导体的电压) 几种电容 C=65a(A-板的有效面积,d-提升电压,降低贮电能力, Er-提升电容(极化电荷)) *电容的串并联 串 ∑Cn,并:C=∑C (四)静电场的能量: 电容的另一功效是贮存静电能,事实上这是电容更本质的作用。让我们计算电容 器的静电能。一个电荷在电场中的电势能为U=qV,其中V为电荷所在地的 电势。对一个电容器来讲,一个导体上电荷为Q,其为等势体,电势为V,另 一个导体上带有-Q的电荷,其电势为V2。对这个两导体组成的体系来说,是否 我们可以如下计算其电势能呢 U=Q+(o2=0-V1)=QA=g (1) 事实上,此结果错了!为什么?可以由如下两个方面来理解这个问题。 (a)电荷体系的建立过程 假设最初电荷分布在无限远处,此时为能量的0点,让我们考虑在电容体系从 初态到终态的建立过程中,外界需要对体系付出多少功。假设某一时刻体系已 充了q电荷,则此时两极板之间的电势差为 △G=1(q)-V2(q)= 此时从∞处搬来±△q,分别充在正负极板上
第十四讲 复习： * 电容的定义 Q C V = Δ （Q---贮存的电量，V---两导体的电压） * 几种电容 0 r A C d = ε ε （A---板的有效面积，d---提升电压，降低贮电能力， r ε ---提升电容（极化电荷）） * 电容的串并联 串： ， 并： 1 i i C C − % = ∑ −1 Ci i C% = ∑ （四）静电场的能量： 电容的另一功效是贮存静电能，事实上这是电容更本质的作用。让我们计算电容 器的静电能。一个电荷在电场中的电势能为U = qV ，其中 V 为电荷所在地的 电势。 对一个电容器来讲，一个导体上电荷为 ，其为等势体，电势为 ，另 一个导体上带有- 的电荷，其电势为 。对这个两导体组成的体系来说，是否 我们可以如下计算其电势能呢？ Q V1 Q V2 2 1 2 12 () ( ) Q U QV Q V Q V V Q V C = +− = − = Δ = （1） 事实上，此结果错了！为什么？可以由如下两个方面来理解这个问题。 （a） 电荷体系的建立过程 假设最初电荷分布在无限远处，此时为能量的 0 点，让我们考虑在电容体系从 初态到终态的建立过程中，外界需要对体系付出多少功。假设某一时刻体系已 充了 电荷，则此时两极板之间的电势差为 q 1 2 () () q q V Vq Vq C Δ= − = . 此时从 处搬来 ∞ ±Δq , 分别充在正负极板上
此过程增加的电能(外界对电荷作的功)为 △U=K(q)Ag-2(g)g=9△g 体系从没有电荷(q=0)→最终达到Q的过程中增加的总能是这些分过程的 贡献的叠加,则总能为 1=∑40(q)=9=1921 CV 2C2 --此结论对任意形状的电容器成立! (b)直接从能量角度看 将导体分成一个个的小块,每一小块上带的电荷都可以视为一个点电荷 {q1④q2,,qx}。体系的总能是相互作用能,每一对点电荷之间的相互作用能只能 计算一次,不可以重复。因而: 29=22Q5 q =1∑amx=,∑q() 其中, 1()=/2(FA 为电容上的电荷分布在点的产生的电势。尽管我们不知道电荷分布,根据导体 静电平衡的3个特征,导体上的电荷分布一定要调整到使得整个导体成为一个等 势体。故
此过程增加的电能（外界对电荷作的功）为 1 2 () () q U Vq q Vq q q C Δ = Δ− Δ= Δ 体系从没有电荷 最终达到 的过程中增加的总能是这些分过程的 贡献的叠加，则总能为 ( 0) q = → Q 2 2 0 1 1 ( ) 2 2 Q i q Q U U q dq C C C =Δ = = = ∑ ∫ V ----此结论对任意形状的电容器成立！ （b） 直接从能量角度看 V2 qN qi q2 q1 V1 将导体分成一个个的小块，每一小块上带的电荷都可以视为一个点电荷 。体系的总能是相互作用能，每一对点电荷之间的相互作用能只能 计算一次，不可以重复。因而： 1 2 { . ,..., }N qq q 1 1 2 | |2 | 1 ( ') ' 1 ( ) 2 | '| 2 i j j i i j i ji i j i j i i i i i q q q U q r r r r r dr q q r r ρ ≠ ≠ = =⋅ − − =⋅ =⋅ − ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∫ r r r r r r | V ir r r r 其中， ( ') ' ( ) | ' i i r dr V r r r | ρ = − ∫ r r r r r 为电容上的电荷分布在 点的产生的电势。尽管我们不知道电荷分布，根据导体 静电平衡的 3 个特征，导体上的电荷分布一定要调整到使得整个导体成为一个等 势体。故 ir r
VO=V, conductor I v2 conductor 2 因此,总能为 U=lIOv -Ov=I0AV-12-=ICAV2(2) 2C2 表达式(1)的错误在于计算q时已计算了q1与其它N-1电荷的相互作用,计 算q2时又将q1与q2之间的相互作用能计算进去。总的来说多计算了一次相互 作用能。亦可从下面两个角度深入理解: 1从做功角度来看 每个电荷从∞处搬来时,被做功是不一样的(受力不一样) 一开始容易,最后最难,因此平均下来受到一半的场的作用 ②从相互自作用能来看 1的来源是去除计算两次 double counting 电容能的另一个表达式 电容内存储的能量看上去是以电荷作为载体存在的。这个观点在静电学范畴内是 对的,至少我们看不出它的错。事实上,电容能的表达式还有另外一种形式,可 能有着更深远的物理意义。以平板电容器为例,对平板电容器来说,E=一是 均匀场。考虑电容器中存储的电能: U cp2- I 808 d EoEE.Q 其中Ω=A·d为电容器的体积。因此可以定义一个新的物理量, sa8 物理意义为能量密度-单位体积内贮存的电能 过浍: ①当给定电压时E=一定 有介质时比无介质可以贮存更多的电场能(这也是我们为什么要研究电介 质的原因) ②有介质时使电荷贮量增加(由极化产生束缚电荷的原因)。但为什么增加 贮存的电能?看上去一个简单的解释是多出来的能量以极化能的形式贮存 E08 0(1+x)E2=60E2+P
1 2 , conductor 1 ( ) conductor 2 i V V r V ⎧ = ⎨ ⎩ r 因此， 总能为 2 2 1 2 1 1 11 [ ] 2 2 22 Q U QV QV Q V C V C = − = Δ= = Δ （2） 表达式（1）的错误在于计算 q1 时已计算了 q1 与其它 N −1电荷的相互作用，计 算 时又将 与 之间的相互作用能计算进去。总的来说多计算了一次相互 作用能。亦可从下面两个角度深入理解： 2 q 1 q 2 q ① 从做功角度来看： 每个电荷从 处搬来时，被做功是不一样的（受力不一样） ∞ 一开始容易，最后最难，因此平均下来受到一半的场的作用 ② 从相互自作用能来看： 1 2 的来源是去除计算两次 double counting 电容能的另一个表达式 电容内存储的能量看上去是以电荷作为载体存在的。这个观点在静电学范畴内是 对的，至少我们看不出它的错。事实上，电容能的表达式还有另外一种形式，可 能有着更深远的物理意义。以平板电容器为例，对平板电容器来说， V E d = 是 均匀场。考虑电容器中存储的电能： 2 2 2 0 0 11 1 22 2 r r A V U CV d E d d = = ⋅ ⋅= ε ε ε ε ⋅Ω 其中 为电容器的体积。因此可以定义一个新的物理量， Ω= ⋅ A d 2 0 1 2 r U u = = Ω ε ε E （3） 物理意义为能量密度----单位体积内贮存的电能 讨论： ① 当给定电压时 V E d Δ = 一定 有介质时比无介质可以贮存更多的电场能（这也是我们为什么要研究电介 质的原因） ② 有介质时使电荷贮量增加（由极化产生束缚电荷的原因）。但为什么增加 贮存的电能？看上去一个简单的解释是多出来的能量以极化能的形式贮存 2 22 00 0 1 1 11 (1 ) 2 2 22 r e u E E E PE u = = + = + ⋅= εε ε χ ε p + u r r
在一看似平合理,但深入思考问题来了:为什么是极化能是+P·E?一个偶 极子在电场中的相互作用能不是一p·E吗?考虑所有偶极子的影响,似平应当 是-P·E? ③平板推出=50E,E是针对均匀场的情形成立的。非均匀场如 何?不妨考虑球状电容器(其内场为非均匀场) 假设能量密度的表达式l()=E06,E(r)仍正确,则我们先计算球形电 容器中的电场,再求出其能量密度 er E 4丌EEr 则能量密度为()=6162(EE,)2r4 积分可得总能 4r dr 32丌EnE,r dh E08 0- 6 &, a b 8TeoEr ab
乍一看似乎合理，但深入思考问题来了：为什么是极化能是 1 2 + P E⋅ r r ？一个偶 极子在电场中的相互作用能不是 − p E⋅ r r 吗？考虑所有偶极子的影响，似乎应当 是 ？ − ⋅ P E r r ③ 平板推出 2 0 1 2 r u = ε ε E 是针对均匀场的情形成立的。非均匀场如 何？不妨考虑球状电容器（其内场为非均匀场） 假设能量密度的表达式 2 0 1 () () 2 r ur E r = ε ε 仍正确，则我们先计算球形电 容器中的电场，再求出其能量密度。 a b 2 4 r Q D e π r = ⇒ r r 2 0 4 r r Q E e πε ε r = r r 则能量密度为 2 0 2 2 0 1 ( ) 2 16 ( ) r r Q u r r = ε ε π εε 4 积分可得总能 2 2 2 4 0 2 2 2 0 0 2 2 0 0 4 32 8 8 1 1 ( ) 8 8 b a r b b a r r a r r Q U r r Q Q dr r r Q Q a b ab π πεε πε ε πε ε πε ε πε ε = ⋅ = = − dr b − a = −= ∫ ∫
另一方面,我们由(2)知道电容器中的能量为 U IQ 4丌EE 两者完全一样!其实电场密度l(F)=60E,E()是一个普适的关系式!对任 意形式的电场分布均成立。总能可因此定义为U=v( ④两个表达式的对比 U=Ov=l@ =C2台u(F)=cEn|E(F) 2C2 似乎能量停留在电荷处 能量贮存在电场中 没有电荷的地方没有能量 与此处有无电荷无关 静态来看,这两种看法没有办法判断真伪。但当电场随时间发生变化的时候, 第一种表达式就不再正确,但第二个表达式依然正确。事实上,表达式(3)更 本质,说明了场是一种物质。 ⑤我们发现电容总是与线度成正比(C~L),事实上,这里有着深远 的物理意义。考虑电容能U=19,与两个电荷之间的相互作用能 @Q ! r48 类比,发现,C无非就是两个电荷之间的“有效距离”而已 习题:P693, Questions,20,22 P698, Problems,14,21,22,23
另一方面，我们由（2）知道电容器中的能量为 222 0 0 1 1 22 8 4 r r Q Q Qb U C a ba b a πε ε πε ε a b − == = − 两者完全一样！其实电场密度 2 0 1 ( ) | ( )| 2 r ur Er = r r r ε ε 是一个普适的关系式！对任 意形式的电场分布均成立。总能可因此定义为U urd = ( ) r ∫ r r ④ 两个表达式的对比 2 1 11 2 2 22 Q U QV CV C = == ⇔ 2 0 1 ( ) | ( )| 2 r ur Er = r r r ε ε c c 似乎能量停留在电荷处 能量贮存在电场中 没有电荷的地方没有能量 与此处有无电荷无关 静态来看，这两种看法没有办法判断真伪。但当电场随时间发生变化的时候， 第一种表达式就不再正确，但第二个表达式依然正确。事实上，表达式（3）更 本质，说明了场是一种物质。 ⑤ 我们发现电容总是与线度成正比（ ），事实上，这里有着深远 的物理意义。考虑电容能 C L ~ 2 1 2 Q U C = ，与两个电荷之间的相互作用能 0 1 1 2 4 i j ij ij Q Q U r πε = 类比，发现，C 无非就是两个电荷之间的“有效距离”而已。 习题：P693，Questions， 20， 22 P698， Problems， 14，21，22，23