第21讲 )霍耳效应(电场磁场) Hall效应是最重要的物理现象之一,是探测物质性质的一个重要的实验手段。在 物理学的发展历程中,霍尔效应起了非常大的推动作用。人们相应发现了经典霍 耳效应,半经典霍耳效应(量子效应被有限度考虑),反常霍耳效应( Luttinger 等,人们认识到自旋的重要性),量子霍耳效应( Von klitzing,强磁场,单体量 子效应完全显现),分数量子霍耳效应(崔奇, Stomer, Laughlin, Halperin, Iverson,DHle,多体强关联量子体系),自旋霍耳效应( Hirsch,张首晟,张 富春,沈顺清,等)。其中, Von klitzing,崔奇, Stomer, Laughlin,分别获 Nobel 奖 下面我们讨论最基本的Hall效应。 设有一宽为d的条形导体,如右图所示。沿z轴加均 匀磁场,B=B,然后沿y轴方向加电压(将其沿 y轴的两端接在电源的两极),使得电流j=j沿y 轴流动。注意到,电流的本质是运动电荷(在相反电 荷的背景下),即 而运动电荷受到洛仑兹力F=qyv×B ①假设载流子为正:q>0,则运动速度w∥j,因 此洛仑兹力的方向F∥x,作为载流子的运动正电 荷向右边偏转。相应负电留在左边,如右图所示, E 因此两边的电荷在导体内部建立一静电场E。当此 横向电场对电荷的作用与磁场的洛仑兹力平衡时, F=q(E+v×B)=0时 上述电荷积累过程停止,体系达到稳定。 稳定时 H=VB=B 为霍耳电场
第 21 讲 (三) 霍耳效应（电场＋磁场） Hall 效应是最重要的物理现象之一，是探测物质性质的一个重要的实验手段。在 物理学的发展历程中，霍尔效应起了非常大的推动作用。人们相应发现了经典霍 耳效应，半经典霍耳效应（量子效应被有限度考虑），反常霍耳效应（Luttinger 等，人们认识到自旋的重要性），量子霍耳效应（Von klitzing，强磁场，单体量 子效应完全显现），分数量子霍耳效应（崔奇，Stomer，Laughlin，Halperin， Kiverson，DH.lee，多体强关联量子体系），自旋霍耳效应（Hirsch, 张首晟，张 富春，沈顺清, 等）。其中，Von klitzing，崔奇，Stomer，Laughlin，分别获 Nobel 奖。 下面我们讨论最基本的 Hall 效应。 设有一宽为 d 的条形导体，如右图所示。沿 z 轴加均 匀磁场， B B = zˆ uv ，然后沿 y 轴方向加电压（将其沿 y 轴的两端接在电源的两极），使得电流 j = jyˆ v 沿 y 轴流动。注意到，电流的本质是运动电荷（在相反电 荷的背景下），即 j = qnv v v 而运动电荷受到洛仑兹力 F = qv B× uv v uv ① 假设载流子为正：q>0，则运动速度 y ，因 此 洛仑兹力的方向 v // ˆ v F // x uv ，作为载流子的运动正电 荷向右边偏转。 相应负电留在左边，如右图所示， 因此两边的电荷在导体内部建立一静电场 E uv 。当此 横向电场对电荷的作用与磁场的洛仑兹力平衡时， F qE v B = ( ) +× = 0 uv uv v uv 时 上述电荷积累过程停止，体系达到稳定。 稳定时； H j E vB B qn = = 为霍耳电场
霍耳电压V=Ed=M 定义t为导体的厚度则j= B B tan gnt Rn为霍尔电阻 B 测得V可以由B、t、i等计算载流子浓度! ②假设载流子为负电:q<0则同样条件下,w∥-y, 因此可以计算出来洛仑兹力为F=qvxB=qvBR 因此对负电荷的作用力沿十x方向。这种情况下,负电 荷将积累在右边而留下正电荷在左边,由此产生的霍耳 电场反向!如右图所示 因此时载流子为负电,因此磁场力与电场力的方向为 F=-lgvxB F=-gle F总=FB+FE=0 仍可平衡 此时正电仅仅是背景,不可以自由移动,同样条件下测v的正负即可以探测载 流子的正负。 经典H1l效应是重要的探测载流子性质(正负号,浓度)的实验手段 思考:(1)为什么电荷应当积累在边界,体内会不会有电荷积累? (2)为什么不考虑背景电荷的受力及运动? (四)载流线圈 已知载流线圈的磁场◇偶极子的电场 m在B中的形为是否等同于p在E中? 考虑最简单的情形,均匀磁场B,矩形线圈,看看其受力情况。 由安培定律:dF=idl×B,则总受力为所有载流导线受力的总和:
霍耳电压 H H jd V Ed qn = = B 定义 t 为导体的厚度 则 i j t d = , H H H iB B iB V R n tqn qnt qtV =⇒= = RH 为霍尔电阻 测得VH 可以由 B、t、i 等计算载流子浓度！ ② 假设载流子为负电：q<0 则同样条件下， ， 因此可以计算出来洛仑兹力为 v y //− v F = qv B qvB x × =⏐ ⏐ ˆ uv v uv ， 因此对负电荷的作用力沿＋ xˆ 方向。这种情况下，负电 荷将积累在右边而留下正电荷在左边，由此产生的霍耳 电场反向！如右图所示。 因此时载流子为负电，因此磁场力与电场力的方向为： F qv = −⏐⏐ × B uv v uv xˆ F = −⏐⏐q E uv uv - xˆ F FF =+= B E 0 仍可平衡 uv uuv uuv 总 此时正电仅仅是背景，不可以自由移动，同样条件下测V 的正负即可以探测载 流子的正负。 H 经典 Hall 效应是重要的探测载流子性质（正负号，浓度）的实验手段 思考：(1)为什么电荷应当积累在边界，体内会不会有电荷积累？ (2) 为什么不考虑背景电荷的受力及运动？ （四）载流线圈 已知载流线圈的磁场⇔ 偶极子的电场 m uv 在 B uv 中的形为是否等同于 p uv 在 E uv 中？ 考虑最简单的情形，均匀磁场 B uv ，矩形线圈，看看其受力情况。 由安培定律： d F idl B = × ，则总受力为所有载流导线受力的总和： uv v uv
F=>F 无论如何放置,m在均匀磁场中受力总和为0(相对的两个电流导线受力相反), 但力矩不为0! a F a/2/F T=2:XF=(Fsin0x2)2=(aibBsin 0) 2=iA.Bsin@ 2 =mB.sin日.2=m×B 事实上,|=m×万是一个一般结论,不依赖于线圈的形状 希望∥B m1B时力矩最大回想z=p×E,的确,m分P 第34章:电最度 (一)问题的提出及基本实验现象 磁场的起源原本是神秘的, Orster将磁场的起源归结于电流。而电流是由电场 驱动的,电场→电流→磁场(将磁场与电场联系起来) 有无逆现象? 磁场→?电场(电流) 法拉第(1831)做了大量的实验,总结出稳恒的B不可以激发电场,变化的B可
i i F = ∑F uv uuv 无论如何放置，m uv 在均匀磁场中受力总和为 0（相对的两个电流导线受力相反）， 但力矩不为 0！ Fb Fb Fa Fb B a b Fa X Fb . . θ m a/2 ( sin 2) ( sin ) sin ˆ ˆ 2 sin ˆ ii b i a r F F z a ib B z iA B mB z m B τ θ θ θ θ = × = × ⋅= ⋅ ⋅⋅ ⋅= ⋅⋅ = ⋅ ⋅= × ∑ v uv uuv uv uv 事实上， 是一个一般结论，不依赖于线圈的形状。 τ = × m B v uv uv m 希望 // uv B uv m ┴ uv B uv 时 力矩最大 回想τ = p E× r r r ，的确，m P ⇔uv uv __________________________________________________________ 第 34 章：电磁感应 (一) 问题的提出及基本实验现象 磁场的起源原本是神秘的，Orster 将磁场的起源归结于电流。 而电流是由电场 驱动的，电场 电流 磁场 （将磁场与电场联系起来） ⇒ ⇒ 有无逆现象？ 磁场 ?电场(电流） ⇒ 法拉第（1831）做了大量的实验，总结出稳恒的 B v 不可以激发电场，变化的 B v 可
条形磁铁运动时 能 两个典型实验 线图B开启、关闭电源 共性: ①B在变化(运动或开、关电源) ②B通过线圈的面积(如不然,几乎没效应) ③良导体i,差导体小。产生的电流ⅸ线圈材料的导电率R →本质并非产生电流,而是电动势E=iR,问题是此电动势由什么因素决定: 日B,S (二)法拉第电磁感应定律 磁通的定义,=∫BdS 对比电通量 PE=Eds p的单位是 Weber, 1 Weber=1T·1m2 Faraday's induction law do 回路中电感应电动势的大小等于通过次回路的磁通量的变化率 注意:电动势和磁通变化率有关,Φ本身大小并无意义。 检验单位 dnT.m2T·m dt
能。 两个典型实验： a) b) 共性： ① B v 在变化（运动或开、关电源） ② B v 通过线圈的面积（如不然，几乎没效应） ③ 良导体 i大，差导体i小。产生的电流i∝线圈材料的导电率R-1 ⇒本质并非产生电流，而是电动势ε = iR ，问题是此电动势由什么因素决定： ,, ? d B S d t ε r r (二) 法拉第电磁感应定律 磁通的定义： m S φ = ⋅ B dS ∫ v r 对比电通量 E S φ = ⋅ E dS ∫ r r φ m 的单位是Weber，1Weber=1T·1m2 Faraday’s induction law m d dt φ ε = 回路中电感应电动势的大小等于通过次回路的磁通量的变化率。 注意：电动势和磁通变化率有关，Ф 本身大小并无意义。 检验单位 2 m d Tm Tm m dt s s φ ⋅ ⋅ = = ⋅
注意到F=q(E+×B)m电场 所以 do. v m=T,正确 dt 对于N匝线圈 Le=Ndg B 其中咖n=|B·dS为单匝线圈的磁通。 (三)楞次定律 电动势的方向如何确定? Lenz于1834年给出感应电流的方向:“感应电流产生的磁通量用来抵消原 来磁通量的变化”,i→Bn→>n 例子: a)原磁通量4=∫Bds=-BS B ①假设B变大,则变小,i如图(逆时针) ②B↓↑i反向 b)原磁通量=「Bd5=-BS B ③B↑4个如图(顺时针) ④B↓↓i反向 Lenz定律可由能量守恒来理解: a)一个磁铁靠近时,引发感应电流等效于小磁铁, 此等效磁针对原磁铁有斥力。 负反馈是自然的选择,若不然给一个小的扰 排月 动,正反馈使相互吸引电流及相互运动将变 大,能量无处供给!后面动生电动势的讨论 可以看到,Lenz定律是有其深层次的物理原因,不完 全是实验定律 b)远离时,引发i小磁针 则此等效磁针对原磁铁有吸引力 总之,感应电流的产生是抵抗变化的! Lenz定律的核心一系统对外界变化的响应是负反馈 现在给出数学形式规定
注意到 F = +× qE v B ( ) ur r ur Tm V s m ⋅ ⋅电场⋅ 所以 m d v m V dt m φ = ⋅= ， 正确！ 对于 匝线圈 N m d N dt φ ε = 其中 φ m = ⋅ B d S ∫ ur ur 为单匝线圈的磁通。 (三) 楞次定律 电动势的方向如何确定？ Lenz 于 1834 年给出感应电流的方向：“感应电流产生的磁通量用来抵消原 来磁通量的变化”， in in in i B → →φ uur 。 例子： a)原磁通量 φ0 = ⋅ =− B d S BS ∫ ur ur ① 假设 B 变大，则φ0 变小， 如图（逆时针） i ② B ↓ φ0 ↑ i 反向 b) 原磁通量 φ0 = B⋅ =− d S BS ∫ ur ur ③ B ↑ φ0 ↑ i 如图（顺时针） ④ B ↓ φ0 ↓ i 反向 Lenz定律可由能量守恒来理解： a) 一个磁铁靠近时，引发感应电流等效于小磁铁， 此等效磁针对原磁铁有斥力。 负反馈是自然的选择，若不然给一个小的扰 动，正反馈使相互吸引电流及相互运动将变 大，能量无处供给！后面动生电动势的讨论 可以看到，Lenz 定律是有其深层次的物理原因，不完 全是实验定律 b) 远离时，引发i ⇔ 小磁针 则此等效磁针对原磁铁有吸引力 总之，感应电流的产生是抵抗变化的！ Lenz 定律的核心—系统对外界变化的响应是负反馈 现在给出数学形式 规定：
①回路的右手螺旋为电动势的正向 ②回路所包围的面积的正方向为回路的右手螺旋(dS) 综合Lenz定律和 Faraday定律可得 do dt 此即完整的电磁感应定律。 简单应用原则:将电磁感应回路中串联一个电动势 举例说明 S=-BS E dφm=B S E>0→电动势沿逆时针方向。反之,则反向。 有此数学描述:a)不必再判断感应电流所产生 的磁场的方向;b)有时电流的方向不与E相同,比 如原来电路中已有一个电动势。 注意到=∫Bd,其变化有两类 dS变(动生);B变(感生),下面分两种情形讨论。 (四)动生电动势 (1)直流电动势 举一个简单的例子来看动生电动势的实质。如右图所示,一个矩形线圈以恒 定速度离开一块均匀磁场区域。线圈内产生电流4 ds =∫Bds=-BDx dφn=BI D Bdy R为回路总电阻 接下来分析能量转移,先分析受力
① 回路的右手螺旋为电动势的正向 ② 回路所包围的面积的正方向为回路的右手螺旋（d S ur ） 综合 Lenz 定律和 Faraday 定律可得 m d dt φ ε = − 此即完整的电磁感应定律。 简单应用原则：将电磁感应 回路中串联一个电动势 ⇔ 举例说明 φ m = ⋅ =− B d S BS ∫ ur ur m d B S dt φ ε • =− = ε > 0 ⇒电动势沿逆时针方向。反之，则反向。 有此数学描述: a)不必再判断感应电流所产生 的磁场的方向;b)有时电流的方向不与ε 相同，比 如原来电路中已有一个电动势。 注意到φ m = ⋅ B d S ∫ ur ur ，其变化有两类： d S 变（动生）； ur B ur 变（感生），下面分两种情形讨论。 (四) 动生电动势 （1）直流电动势 举一个简单的例子来看动生电动势的实质。如右图所示，一个矩形线圈以恒 定速度离开一块均匀磁场区域。线圈内产生电流。 φ m = ⋅ =− B d S BDx ∫ ur ur m d dx BD BDv dt dt φ ε =− = =− i R ε = R 为回路总电阻 接下来分析能量转移,先分析受力 c F = × iL B ur ur ur
Fa=F+F-F=F=iDBGe,) 若回路匀速运动外=F =IDB 感应电流的产生是用来阻碍外力的(Lenz定律的核心) 外力做功:P=|F=F=DB=E=R 稳恒条件下(ν不变,i不变),外力做功分热(输出功率) 注意:若无Lenz定律的“-”号,能量守恒吗? 两个效应 a)涡旋电流( eddy current) 涡旋电场 当大块金属(非线圈)通过B时, 金属内部出现涡旋电流,如图所示(右图中 电流蜗旋中心点有误)。热能消耗巨大 解决方法:(1)Q=如,R大则Q小 xx绝缘层 R (IⅠ)加绝缘层阻碍电流 b)电流阻尼 好处是可以用来制动,磁刹车 运动→涡电流→B对涡电流的作用 负反馈,抑制作用 能量角度:动能→磁场中涡电流耗散→停止 根本的原因均是Lenz定律 习题:P743, Questions,26 P747, Problems, 14, 16, 18 P791, Questions, 13 P794. Exercises, 10 P797. Problems. 2. 4
' ' ( ) F =+ − == − F F F F iDB ex uur ur ur uu uur uur r 总 若回路匀速运动 F = = F iDB uuur ur 外 感应电流的产生是用来阻碍外力的（Lenz 定律的核心） 外力做功： dx 2 dQ P F F v iDBv i i R dt dt 外外 外 = ⋅ = ⋅= = = = ε 稳恒条件下（v不变，i 不变），外力做功⇔ 热（输出功率） 注意：若无 Lenz 定律的“-”号，能量守恒吗？ 两个效应： a)涡旋电流（eddy current） 当大块金属（非线圈）通过 B ur 时, 金属内部出现涡旋电流，如图所示（右图中 电流蜗旋中心点有误）。热能消耗巨大。 解决方法：(I) Q 2 R ε = , R 大则Q 小; (II)加绝缘层阻碍电流 b)电流阻尼 好处是可以用来制动，磁刹车。 运动 ⇒ 涡电流 ⇒ B ur 对涡电流的作用 负反馈，抑制作用 能量角度：动能 ⇒ 磁场中涡电流耗散⇒停止 根本的原因均是 Lenz 定律 习题：P743，Questions， 26 P747, Problems, 14,16,18 P791, Questions, 13 P794, Exercises, 10 P797, Problems, 2,4