第十九讲 上次课 *F1=k242×4×5)(安培定律) B=[如x=((2(=(线性叠加原理) Biot-Sarvart定律 dF=l×B(电流在磁场中的受力) B-S定律的应用 ()长直载流线:B= (2)载流线圈:B=,1”m=P=1g偶极子 (3)两长截流线之间的相互作用力 (4)螺线管 L/2 线圈电流l,密度为n=一,N为总线 L 圈数。求螺线管中心线上任意一点的磁场? d 解:螺线管可以看作是N=n·L个通电线圈 磁场的线性叠加。 已知单匝线圈轴线上的磁场为一n2 (R2+2) 如图选取一段螺线管,d有n匝线圈,在观察点P处(距离原点d)的磁场 db= foR i- ndz 2[R2+(d-)3] 则P点处的总磁场 B.(d) 42 loin zde- Honor (二-d) R2+(d-2)12R2R2+(-ad)y1 L/2-d L/2+d R+(L/2-a)√R2+(L/2+4)
第十九讲 上次课： * 2 2 1 1 21 21 2 21 ( ) ˆ | | I d Id r F K r × × = v v v l l v （安培定律） 0 0 2 3 ˆ () ( ) 4 4 || Id r Jr d r r B r r r μ μ π π × Ω ′′ ′ × = = − ′ ∫ ∫ v v v v v l v v − v （线性叠加原理）Biot-Sarvart 定律 dF = × Idl B （电流在磁场中的受力） r r r * B-S 定律的应用 ⑴ 长直载流线： 0 ˆ 2 I B r = r eφ μ π ⑵ 载流线圈： 0 3 2 m B z μ π = v v m IA P q = ⇔ = v v v v l 偶极子 ⑶ 两长截流线之间的相互作用力 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⑷ 螺线管 i . . . . . . . . . . . . . x x x x x x x x x x x x x x L/2 -L/2 O 线圈电流 , i 密度为 N n ， 为总线 L = N 圈数。求螺线管中心线上任意一点的磁场？ d 解：螺线管可以看作是 N nL = ⋅ 个通电线圈 z dz P 磁场的线性叠加。 已知单匝线圈轴线上的磁场为 2 0 3 2 2 2 2( ) iR R z μ + 如图选取一段螺线管，dz 有 ndz 匝线圈，在观察点 处（距离原点 P d）的磁场 2 0 3 2 2 2 2[ ( ) ] z R dB i ndz R dz μ = ⋅ ⋅ + − 则 点处的总磁场 P 2 2 2 0 0 2 3 1 2 2 2 2 22 2 2 2 ( ) ( ) 2 2[ ( ) ] [ ( )] L L z L L inR niR z d B d dz R dz RR z d μ μ − − − = = + − + − ∫ ( ) ( ) 0 2 2 2 2 / 2 / 2 2 / 2 / 2 ni Ld Ld RL d RL d μ ⎡ ⎤ − + = + ⎢ ⎥ +− ++ ⎣ ⎦
讨论几种特例情形: B(d)=20[+1]=omi 无限长螺线管在轴心上磁场均匀 d、,LB(d) L ≈m 2√R2+L2 (L>>R) c)d→∞,L有限,B→0 d)R→0,有限,B=4ml<L/2 (上述结论见下图) B →0 历R L/R越大(细长),螺线管内磁场越趋向匀强,这个行为与静电学中两无限大平行 板产生均匀电场相对应。因此螺线管在静磁学中的地位(电感)与平行板在静电 学中的地位(电容)相仿。 微观来看 平行于螺线管方向的磁场分量相互增强 垂直于螺线管方向的磁场分量互相抵消 (五)磁场所满足的基本定理 静电学中,我们学到静电场满足环路定理(保守场)以及高斯定理(平方反比)。 从数学上讲,对一个矢量场的完整描述需要知道该场的散度、旋度两种性质。对 静磁场来说,它的散度(高斯定理)及旋度(环路定理)性质如何呢? (1)环路定理: 电场:了Ed=0∈保守场,向心力 磁场:Bd≠0,=? 回忆:无限长载流直导线产生的磁场为=出,绕电流画环路为半径r
讨论几种特例情形： a) L → ∞ ， 0 0 ( ) [1 1] 2 ni B d ni μ= += μ 无限长螺线管在轴心上磁场均匀 b) 2 L d = ± 0 0 2 2 ( ) 2 2 ni L ni B d R L = ≈ + μ μ ( ) L >> R c) d → ∞ , L 有限， B → 0 d) R → 0, L 有限， 0 / 2 0 / 2 ni d L B d L ⎧ ⎩ (上述结论见下图) L R/ 越大(细长)，螺线管内磁场越趋向匀强，这个行为与静电学中两无限大平行 板产生均匀电场相对应。因此螺线管在静磁学中的地位（电感）与平行板在静电 学中的地位（电容）相仿。 微观来看： 平行于螺线管方向的磁场分量相互增强 垂直于螺线管方向的磁场分量互相抵消 （五）磁场所满足的基本定理 静电学中，我们学到静电场满足环路定理（保守场）以及高斯定理（平方反比）。 从数学上讲，对一个矢量场的完整描述需要知道该场的散度、旋度两种性质。对 静磁场来说，它的散度（高斯定理）及旋度（环路定理）性质如何呢？ （1）环路定理： 电场： E dl ⋅ = 0 ∫ r r ⇐ 保守场，向心力 磁场： B dl ⋅ ≠ 0, =? ∫ r r 回忆：无限长载流直导线产生的磁场为 0 ˆ 2 I B e r φ μ = π r ，绕电流画环路为半径 r
的圆(其方向为右手螺旋),则重B.d=m,27=H(此结论与工无关) 进一步计算发现任意形状的曲线组成的闭合环路, 只要其包含此电流,则B,d=以 否则 B·dl=0 推测:对一般情形(非无限长直导线)①B·d=依然成立!? 可以严格证明:对稳恒电流有 B.dl==uolj·ds 安培定理 1)可以由B-S定律严格推出--超出本课程要求 2〉条件是Ⅰ为稳恒电流(闭合回路),非稳恒电流条件下以后讨论 3)S可以为任意完整的曲面,币d为其边界形成的环路(右手螺旋) (2)高斯定理: 电场:了Ed=q/E0∈E与F满足平方反比,有电荷 磁场:Bd=? B与满足平方反比,但无磁荷! 可以严格证明:①Bd=0一高斯定理 (只要求不存在磁单极,不要求稳恒电流) 总结:电场是有源无旋场—电力线起于正点荷,止于负电荷,连续。 磁场是有旋无源场一磁力线首尾相接(高斯定理)固绕电流呈右手螺旋 关系(环路定理 几个实例: 与电场线类似,我们可以根据磁场的基本性质画出几个典型体系的磁力线分布 a)载流长导线, B b)载流线圈 c)长螺线管 F77
的圆（其方向为右手螺旋），则 0 0 2 2 I B dl r I r μ ⋅ = ⋅ π =μ π ∫ r r （此结论与 r 无关）。 进一步计算发现任意形状的曲线组成的闭合环路， 只要其包含此电流，则 B 0 ⋅ dl I = μ ∫ r r 否则： B dl ⋅ = 0 ∫ r r 推测：对一般情形（非无限长直导线） B dl I0 ⋅ = μ ∫ r r 依然成立！？ 可以严格证明：对稳恒电流有 0 0 S B dl I j ds ⋅ = μ = μ ⋅ ∫ r r ∫ r r ----- 安培定理 1〉可以由 B-S 定律严格推出 --- 超出本课程要求 2〉条件是 I 为稳恒电流 （闭合回路），非稳恒电流条件下以后讨论 3〉S 可以为任意完整的曲面， dl ∫ r 为其边界形成的环路（右手螺旋） （2） 高斯定理： 电场： 0 E ds q ⋅=ε ⇐ / ∫ r r E r 与r r 满足平方反比，有电荷 磁场： B ds ⋅ = ? ∫ r r B r 与r r 满足平方反比，但无磁荷！ 可以严格证明： B ds ⋅ ≡ 0 --- 高斯定理 ∫ r r （只要求不存在磁单极，不要求稳恒电流） 总结：电场是有源无旋场--电力线起于正点荷，止于负电荷，连续。 磁场是有旋无源场--磁力线首尾相接（高斯定理），围绕电流呈右手螺旋 关系（环路定理）。 几个实例： 与电场线类似，我们可以根据磁场的基本性质画出几个典型体系的磁力线分布。 a) 载流长导线， b）载流线圈 c) 长螺线管
(六)安培定理的应用 电场为有源场,源电荷的性质都体现在高斯定理上,因此要利用到高斯定理求解 磁场为有旋场,旋的性质与电流有关,因此要用到安培定理求解磁场问题。举几 个例子 (1)无限长半径为d的圆柱形均匀载流导线(电流为I)的空间磁场 安培音环路1 安培音环路2 解:导体截面的电流密度为J= B的大小:对称性,只与r有关 B的方向 )B2=0:B场没有j上的分量,可以由B-S定律推得 b)B=0:B-S定律推知(选取关于轴心对称的两条 电流,其产生的磁场的r分量相互抵消) 也可由高斯定理推知 B·d=0→B,(2h=0→B(m)=0 结论:B场只有φ分量,大小只与r有关。 r<d,dB·dl=B(r)2π μ0=ojπUr μoJ μ 2d
（六）安培定理的应用 电场为有源场，源电荷的性质都体现在高斯定理上，因此要利用到高斯定理求解。 磁场为有旋场，旋的性质与电流有关，因此要用到安培定理求解磁场问题。举几 个例子。 (1) 无限长半径为d的圆柱形均匀载流导线（电流为I）的空间磁场？ 解：导体截面的电流密度为 2 I j d = π B 的大小：对称性，只与 r 有关。 B 的方向: a) Bz = 0 ： B r 场没有 j r 上的分量，可以由 B-S 定律推得 b) ： B-S 定律推知（选取关于轴心对称的两条 电流，其产生的磁场的 r 分量相互抵消） 0 Br = 也可由高斯定理推知： 0 ( )2 0 ( ) B ds B r rh B r r r ⋅ =⇒ π =⇒ = ∫ r 0 r 结论: B 场只有 eˆφ 分量，大小只与 r 有关。 2 0 0 2 0 00 2 , ( )2 ( ) 2 22 r d B dl B r r I jr j r I B r jr r r d < ⋅= π μ =μ π μπ μ μ = == π π ∫ r r
r>d,f6=B()2 μ0=μ B()= r>d处,磁场分布完全等同于理想线电流的磁场。在静电学中,有限半径的带 电导线是一维荷电线的真实对应,与此类似,有限大小的载流导线亦为理想线电 流的真实对应。 理想线电流:B(n以→∞(→0),非物理! B 虚线:理想电流;实线:实际电流 思考:长度为L的线电流(1)的磁场为: B(r) 4πr√r2+(L/2) 安培定理是否成立? (2)无限大均匀面电流, 设其置于xy平面,面电流密度J沿y方向流,求其周围空间的磁场 解:B的大小:根据对称性,B只与z有关 B的方向 a)B,=0-B没有j上的分量,可以由B-S定律推得 b)B=0--可由B-S定律推知(无限长体系,对称电流使得此分量相互抵消), 高斯面
0 0 0 , ( )2 ( ) 2 r d B dl B r r I I I B r r > = μ =μ μ = π ∫ r r π r d > 处，磁场分布完全等同于理想线电流的磁场。在静电学中，有限半径的带 电导线是一维荷电线的真实对应，与此类似，有限大小的载流导线亦为理想线电 流的真实对应。 理想线电流： 0 ( ) ( 0) 2 I B r r r μ = →∞ → π ，非物理！ 虚线：理想电流；实线：实际电流 思考：长度为 L 的线电流（I）的磁场为： 0 2 2 ( ) 4 (/ IL B r rr L μ = π + 2) ， 安培定理是否成立？ （2）无限大均匀面电流， 设其置于xy平面，面电流密度 s J 沿y方向流，求其周围空间的磁场。 解： B r 的大小： 根据对称性， B r 只与 z 有关 B r 的方向: a) B y = 0 --- B 没有 j 上的分量，可以由 B-S 定律推得 b) Bz = 0 --- 可由 B-S 定律推知（无限长体系，对称电流使得此分量相互抵消）， Δy Δz Z y x 高斯面 Δx
也可由高斯定理推知(设z方向上的厚度趋向于0) jEd=0→B()Sn=0→B(=)=0 c)结论;只有x分量。另据对称性:B(-)=-B,() 如图取安培环路: Z B·d=B,(=)△2-B,(-)△2=2B,()△2 μ=μo B2(二)= uoJ△2μ 2△ 磁场为一理想的均匀场。对比无限大带电平面的电场:E.(=) 也可以利用B-S定律先积分得到有限大板的结果(例33-5),然后取板限 B,(=) μaJ兀_pJ 22 麻烦许多!! (3)螺绕环 单位长度上线圈匝数为n=N/2nd,电流为l, 环的截面为半径为R的圆,求其周围空间的磁场? 解:根据对称性,B只与F有关,方向沿 I区 B·2丌r=0 IkⅢ B(F)=0
也可由高斯定理推知（设 z 方向上的厚度趋向于 0）： 0 () 0 () B ds B z S B z z xy z ⋅ =⇒ =⇒ = 0 ∫ r r c)结论； 只有 xˆ 分量。另据对称性： () ( x x B −z B = − z)。 如图取安培环路： 0 0 0 0 () ( ) 2 () () 2 2 x xx x x s x s x x s x B dl B z B z B z I J J B z J ⋅ = Δ− − Δ= Δ μ =μ Δ μΔ μ = = Δ ∫ r r x 磁场为一理想的均匀场。对比无限大带电平面的电场： 0 ( ) 2 E z z σ = ε 也可以利用 B-S 定律先积分得到有限大板的结果（例 33-5），然后取极限。 0 0 1 ( ) tan ( ) 2 2 0 2 s s s x μ μμ J a J J B z z − π == → = π π 麻烦许多！！！ （3）螺绕环 单位长度上线圈匝数为 nN d = / 2π ，电流为 ， 环的截面为半径为 i R 的圆，求其周围空间的磁场？ 解：根据对称性， 只与 B r 有关，方向沿 eφ v I 区 Bd I μ0 ⋅ = ∫ v v l B r ⋅ = 2 0 π B r() 0 = v
I区 B·dC=nl B(r)·2nr=iN 区:可Bd=Ho B(r). 2Tr=uoi N=0 B(r)=0 {磁场只存在于Ⅱ区,环外磁场为0 原则上讲,螺绕环内的磁场非均匀:B(r) uNi ,依赖于 考虑极限情况,d→∞,N→∞,n=N/2xd不变 此时B(r) 0n完全均匀! 2d 与z,均无关!且螺线管外的场为0 在此极限下,(曲率半径无限大的)螺线环就变成了一个无限长的直螺线管,我 们因此得到结论:无限长的直螺线管中的磁场处处均匀,为山mi;螺线管外磁场 为0。 (4)对无限长螺线管亦可直接求解: B的大小:与二无关,只依赖于--对称性: B方向z j‖e→B≠。(B-S定理) B,=0可由高斯定理推知,也可由对称性相互抵消推知 Bn(r)b-Bou·b=0nib Bam≡0←将参考点放置∞处
II 区： B 0 ⋅ = d I μ v ∫ v l 0 B r r iN ()2⋅ = π μ 0 ( ) 2 Ni B r r μ π = B 0 ⋅ = d I μ ∫ v v III 区： l B r( ) 0 0 2π r iN iN μ μ − = 0 {磁场只 区，环外磁场为 } 均 ： ⋅ = B r() 0 = 存在于 II 0 原则上讲，螺绕环内的磁场非 匀 0 ( ) 2 Ni B r r μ π = ，依赖于 r. 考虑极限情况，d → ∞ ， N → ∞ ， n N = / 2π d 不变 此时 0 B r( ) 2 Ni r μ π = → 0Ni 0 2 ni d μ μ π = 完全均匀！ 与 均无关！且螺线管外的场为 在此极限下，（曲率半径无限大的）螺线环就变成了一个无限长的直螺线管，我 们因此得到结论：无限长的直螺线管中的磁场处处均匀，为 z ， r 0 0 μ ni ；螺线管外磁场 （4）对无限长螺线管亦可直接求解： 为 0。 B v 的大小：与 z 无关，只依赖于 r ---- 对称性： B v 方向 ˆ || Z ： j || e B ˆ ⇒ ≠ eˆ r v φ φ （B-S 定理） Br = 0 可由高斯定理推知，也可由对称性相互抵消推知。 B 0 ⋅ = d μ I v vl b ni b ∫ ⇓ 0 ( ) Brb in ⋅− ⋅= ⋅ Bout μ 0 Bout ≡ ← 将参考点放置 ∞ 处
则B。(r>∞)→>0(因正负电流相互抵消) Bn()=0mi亦与F无关,为一理想均匀磁场 思考:为什么要用螺线管?无限大平板电流也可以产生均强磁场? 因为后者磁场不能被限制在有限区域内 螺线管可以看作将平板电流卷起来 习题 1)对无限长载流直导线,证明其产生的磁场满足安培环路定理--即对任意形 状的曲线组成的闭合环路,只要其包含此电流,则d=以,否则 IB d=0 2)P. 771. Exercises. 34 3)P. 773. Problems. 12 4)P. 773. Problems, 14
则 B r out → 正 流相互抵消） B r ni ) ( ∞ →) 0 （因 负电 ( in = μ0 亦与 思考：为什么要用螺线管？无限大平板电流也可以产生均强磁场？ 习题： ）对无限长载流直导线，证明其产生的磁场满足安培环路定理 --- 即对任意形 r 无关，为一理想均匀磁场 因为后者磁场不能被限制在有限区域内 螺线管可以看作将平板电流卷起来。 1 B 0 ⋅ dl I = μ ∫ r r 状的曲线组成的闭合环路，只要其包含此电流，则 ，否则： 2）P. 771, Exercises, 34 3）P. 773, Problems, 12 B dl ⋅ = 0 ∫ r r 4）P. 773, Problems, 14