第二十二讲 复习: Hall效应,探测载流子浓度及符号的重要的实验手段。换一个角度看欧姆定 律,对各向同性体系有:E=pj。然而有垂直磁场时, E=}=E=,p-(P为一个张量其中A=m为纵向电 PHJy PH Po qnn 阻率(由正常的杂质散射提供),pn=—为横向电阻率(由磁场提供)。 ●磁偶极子z=m×B(与电偶极子一一对应) 电磁感应定律:=4,p=万 d dS变:动生;B变:感生 动生E的例子:直流电源 ②交流电动势(发动机 将一个线圈以任意角度放置于均匀磁场中,则磁通量为 pn= BS cos6,其中为线圈垂直方向与磁场的夹角。 假设θ(1)=ot,即线框以角速度o旋转(外力驱动) 则中n()= BS cos(ot 根据 Faraday定律E d9m- SOsin ot dt 若外接R,则产生电流=2=sm),此即交流发电机 E R 最大,E最小 d最小E最大
第二十二讲 复习： z Hall 效应，探测载流子浓度及符号的重要的实验手段。换一个角度看欧姆定 律，对各向同性体系有： E = ρ j r r 。然而有垂直磁场时， 0 0 0 , y y H x Hy H E j E j E j ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ⎧ ⎫ = ⎛ ⎞ ⎨ ⎬ ⇒= = ⎜ = ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ r t t r ⎟ 为一个张量。其中 0 2 m q n ρ τ = 为纵向电 阻率（由正常的杂质散射提供）， H B qn ρ = 为横向电阻率（由磁场提供）。 z 磁偶极子 τ = m B× r r r （与电偶极子一一对应） z 电磁感应定律： d dt φ ε = − ，φ = B⋅ d S ∫ ur ur dS 变：动生； ur B ur 变：感生 z 动生ε 的例子：直流电源 ____________________________________________________________________ ② 交流电动势（发动机） 将一个线圈以任意角度放置于均匀磁场中， 则磁通量为 cos φm = BS θ ，其中θ 为线圈垂直方向与磁场的夹角。 假设θ ( )t = ωt ，即线框以角速度ω 旋转（外力驱动） 则 ( ) cos( ) m φ t BS t = ω 根据 Faraday 定律 sin( ) m d BS t dt φ ε =− = ω ω c 若外接 R ，则产生电流 sin( ) BS i t R R ε ω = = ω ，此即交流发电机 φ最大 最小 ,ε φ最小 最大 ,ε 1
注意:能量守恒及转化 电流的损耗为P=P2E2 输出功率由外界能量提供(风,水……)。考虑我 们这个发电机,如果一开始6=0匀速,置于B中 是否其为永动机?否!线圈受到磁场作用力:FB=i×B F=×B 产生力矩r,方向为阻碍圆周运动→↓E↓ 定要有外力矩克服此阻力,才能源源不断供电 剧考(1)试证明要维持线周做匀速转动外界所做的功就等于 回路中的牌耳热。 2)若加外力使得一个线圆在磁场中匀速转动,此时 撤掉外力,求线周中电流如何变化?体系中的能量 是如何转化的? (五)动生电动势的物理实质 电动势是外力做功的能力。一定存在非静电 力等效场, Ek. dl 激发动生电动势时的E,其本质是什么? 举例讨论:如图所示,求当OA(0=,角速度为O)作圆周运动时,0A两端 的电动势? 解法1 A 将OA连接形成闭合回路,S1的方向指向纸面向外
注意：能量守恒及转化 电流的损耗为 2 2 P iR R ε R = = ， 输出功率由外界能量提供（风，水……）。考虑我 们这个发电机，如果一开始 θ & = ω 匀速，置于 B ur 中， 是否其为永动机？否！线圈受到磁场作用力： FB = iL B× uur ur ur 产生力矩τ ，方向为阻碍圆周运动 ⇒ ω ↓ ⇒ ε ↓ 一定要有外力矩克服此阻力，才能源源不断供电。 思考：（1）试证明要维持线圈做匀速转动外界所做的功就等于 回路中的焦耳热。 （2）若加外力使得一个线圈在磁场中匀速转动，此时 撤掉外力，求线圈中电流如何变化？体系中的能量 是如何转化的？ （五）动生电动势的物理实质 电动势是外力做功的能力。一定存在非静电 力等效场， E dl k ε + − = ⋅ ∫ r r 激发动生电动势时的 ，其本质是什么？ Ek uur 举例讨论：如图所示，求当OA（θ & = ω ，角速度为ω ）作圆周运动时，OA两端 的电动势？ 解法 1： 将OA连接形成闭合回路， 1 S uur 的方向指向纸面向外 2
BR O B=-BS =-4=BR2 BRO EMF由A指向O 解法2: OA棒中的电荷以v()=rOe运动,所受洛伦兹力为 FB=qv×B=-qroB O4中有一非静电等效场公下-Brn 注:Ex与r有关 OBR 方向与Ek的方向一致,A指向O 两种方法结果一致 图像清晰Ek=vXB分→电动势(非静电等效力就是洛伦兹力! 好处:(1)无需假设回路形状;(2)清楚地知道电动势(非静电力)的具体分 布!比如连接外接负载,则A就是电池的负极,O就是电池的正极 (六)感生的物理实质 特点:d不变,变。“B≠0,此时没有 Lorenz力,E的来源?对动生s来 讲E=xB,动生电场只存在切割B的导体中; 对感生E来讲,E的来源是? 实验举例: (1)如右图所示,闭合环路内在交变磁场下有感应出 电流i(当变小B变小时),对称性告诉我们: E应在导体内部处处相等(不同于动生E), 此处没有任何其他来源(ν×B不存在!!)
2 1 2 BR B S θ φ =− ⋅ =− 2 2 2 2 d BR BR dt φ θ ω ε • =− = = EMF 由 A 指向 O 解法 2： OA棒中的电荷以 vr r e ( ) = ω θ r r uur 运动,所受洛伦兹力为 ˆ FB r = × =− qv B qr Be ω uur r ur OA中有一非静电等效场 ˆ K r F E Bre q = =−ω ur uuur 注： EK uuur 与r 有关 2 0 1 2 R EK ε ω = ⋅= = dl Brdr BR ∫ ∫ r r ω 方向与 EK uuur 的方向一致， A 指向O 两种方法结果一致， 图像清晰 E vB K =× ⇔ 电动势（非静电等效力就是洛伦兹力！）。 uuur r ur 好处：（１）无需假设回路形状；（２）清楚地知道电动势（非静电力）的具体分 布！比如连接外接负载，则Ａ就是电池的负极，Ｏ就是电池的正极。 （六）感生ε 的物理实质 特点： dS 不变， ur B ur 变。 0 d B dt ≠ ur ，此时没有 Lorenz 力，Ek uur 的来源？对动生ε 来 讲 E vB k = × ，动生电场只存在切割 uur r ur B ur 的导体中； 对感生ε 来讲， 的来源是？ Ek uur 实验举例： （1）如右图所示，闭合环路内在交变磁场下有感应出 电流i （当 变小 0 i B ur 变小时），对称性告诉我们： Ek 应在导体内部处处相等（不同于动生 uur ε ）， 此处没有任何其他来源（v B× 不存在！！） r ur 3
结论:E应当是电场,但不同于静电场,我们称之为非静电场。 (2)当我们改变环路半径,电流仍然存在→E依然存在 可以设想在空间假如充满电荷,若2B≠0,即酉场变化时,可以看到电荷旋转 因此,B≠0→E d 变化磁场导致某种非静电电场 此电场的特征 dφ 对比静磁场 iB di=jdS 结论:此电场E和静磁场B。非常相似,为有旋无源场 B起源于电流了,而E起源于-4B 几点讨论 ①只有保守场才可以定义势,电荷产生的静电场是保守场,满足: fEd=0,因此可以定义势:v-V=Ed 由变化磁场B台E非保守场,不能定义势V,其环路积分不为0,贡献的 是电动势:a=Ed 但E’E(起源于B,ν×B)均可作用于电荷q,因此导体 的载流子受到他们的共同作用,产生电流: J=σ(E+E),这就是所谓的全电路欧姆定律。 上式正是我们前面指出的 “电磁感应 串联电动势”的微观基础 ②“感生”及“动生”电动势的异同 同:都使得回路的磁通量发生了变化,从而产生了电动势 异:对动生E,E只存在于切割磁力线的导体中(vxB) 对感生E,E4存在于空间各处
结论 ： 应当是电场，但不同于静电场，我们称之为非静电场。 Ek uur （2）当我们改变环路半径，电流仍然存在⇒ Ek uur 依然存在 可以设想在空间假如充满电荷，若 0 d B dt ≠ r ，即 B ur 场变化时，可以看到电荷旋转。 因此 0 k d B E dt ≠ → r r 变化磁场导致某种非静电电场 此电场的特征： d dt φ ε = − k d E dl B dS dt ⋅ =− ⋅ ∫ ∫ uur r r ur 对比静磁场 B⋅= ⋅ dl j dS ∫ ∫ urr u r r 结论：此电场 和静磁场 非常相似，为有旋无源场 Ek uur BS uur B ur 起源于电流 ，而 起源于 J ur Ek uur d B dt − r 。 几点讨论 ① 只有保守场才可以定义势，电荷产生的静电场是保守场，满足： 0 ES ⋅ = dl ∫ uur r ，因此可以定义势： b b a a V V E dl − =− ⋅ ∫ ur r。 由变化磁场 B r & 非保守场，不能定义势 V，其环路积分不为０，贡献的 是电动势： ⇔ Ek uur Ek ε = ⋅ dl ∫ uur r 。 但 ， （起源于 E uuur 静 Ek uur B r & ， v B× ）均可作用于电荷 q，因此导体 r ur 的载流子受到他们的共同作用，产生电流： () J EE = + σ k ，这就是所谓的全电路欧姆定律。 ur uuur uur 静 上式正是我们前面指出的 “电磁感应 ⇔ 串联电动势”的微观基础。 ② “感生”及“动生”电动势的异同。 同：都使得回路的磁通量发生了变化，从而产生了电动势 异：对动生ε ， Ek 只存在于切割磁力线的导体中（ uur v B× r ur ） 对感生ε ， Ek 存在于空间各处 uur 4
第35章:鼋介圆 到现在为止我们只研究了真空中的磁场,那么磁场在介质中的行为如何?可 以从对比电场在电介质中的行为得到启发。研究电介质中的电场时,电偶极子p 是关键:E→P→q→E,然后反馈回去修正介质中的场。那么磁介质中是 什么在起作用?从前面的学习中我们已猜到答案:磁偶极子 (-)m与P的深入对比 ①都是对外场的响应 ②受力 P在E中 m在B中 (转动)r=p×E T=m×B (平动)F=pVEz, F=mVB2(可以严格证明) (电势能)U=-pE U=-m·B(磁偶极子在磁场 中的有效相互作用能) 注意 a)如何证明载流线圈在磁场中的受力F=mVB2?(提示:可先计算一个放置F 非均匀磁场的矩形载流线圈的受力,在线圈面积极小时利用高斯定理 (V·B=0)可将受力减比化为F=mVB.;对任意形状的载流线圈,可以将其 分成一个个的矩形线圈,再求总受力。有能力的同学自己证明) b)转动自由度:r=m×B dW=mBsn→U=-m·B(质心不 动),同时对平动自由度:F=mVB2,(B非均匀时),积分可得:U=-mB (无转动)。统一可得:U=-mB。 c)B是保守场,为什么可以定义势? U=-m·B只能对m作为一个整体不变时成立
第 35 章：磁介质 到现在为止我们只研究了真空中的磁场，那么磁场在介质中的行为如何？可 以从对比电场在电介质中的行为得到启发。研究电介质中的电场时，电偶极子 p r 是关键： 0 p P E Pq E ⇒⇒ ⇒ ur uur ur ，然后反馈回去修正介质中的场。那么磁介质中是 什么在起作用？从前面的学习中我们已猜到答案：磁偶极子 （一）m 与 的深入对比 ur P ur ① 都是对外场的响应 ② 受力 p 在 ur E ur 中 m ur 在 B ur 中 （转动）τ = ×p E r ur ur τ = m B× r ur ur （平动） F pE = ∇ Z ur ， F mB = ∇ Z ur (可以严格证明) （电势能）U =− ⋅ p U ur urE = − ⋅ m B ur ur （磁偶极子在磁场 中的有效相互作用能） 注意: a) 如何证明载流线圈在磁场中的受力 F mB = ∇ Z ur ？（提示：可先计算一个放置于 非均匀磁场的矩形载流线圈的受力，在线圈面积极小时利用高斯定理 （∇⋅ = B 0）可将受力减化为 r F mB = ∇ z ur ；对任意形状的载流线圈，可以将其 分成一个个的矩形线圈，再求总受力。 有能力的同学自己证明） b) 转动自由度： τ = × m B r ur ur ⇒ dW mB d = sinθ θ ⇒ U m = − ⋅B ur ur （质心不 动），同时对平动自由度：F mB = ∇ Z ur ，（ B ur 非均匀时），积分可得： （无转动）。统一可得：U m U mB = − z = − ⋅B ur ur 。 c) B ur 是非保守场，为什么可以定义势？ U m =− ⋅ 只能对 作为一个整体不变时成立 ur urB m ur 5
③P与m产生的场 有效磁荷”的概念 不考虑源区,在空间远离p,m处的场的形式一样 (二)磁介质对外磁场的响应 (1)轨道磁矩的起源(准备知识) 原子中电子受原子核的吸引力绕原子核作圆周运动,等价于一个载流导线,产生 的磁矩为 A=irr 其中电流为 dq dt T 2 elvin P 其中l=F×p为轨道角动量。 磁矩正比于角动量 经典情况/可取任意数,在量子力学中,l只能取分立值/=h(h是普朗常数) -2m n= nAB 为玻耳磁矩 丌 玻耳为了解释氢原子的光谱,提出了轨道运动的量子化,为量子力学的最终建立 打下了坚实的基础
③ P 与 产生的场 ur m ur “有效磁荷”的概念 不考虑源区，在空间远离 ，p m ur ur 处的场的形式一样 (二) 磁介质对外磁场的响应 （１） 轨道磁矩的起源（准备知识） 原子中电子受原子核的吸引力绕原子核作圆周运动，等价于一个载流导线，产生 的磁矩为 2 μ = i r π 其中电流为 2 dq e ev i dt T r π ⋅ = == 则 2 2 22 e v e vrm e e r p r r mm μ π π ⋅ = ⋅ = = ⋅= 2 l m 其中l r = × p 为轨道角动量。 r r r 2 e l m μ = 磁矩正比于角动量 经典情况l可取任意数，在量子力学中，l 只能取分立值 2 h l n π = （ 是普朗常数） h 2 2 B e h n n m μ μ π = = ⋅ 4 B e h m μ π = 为玻耳磁矩 玻耳为了解释氢原子的光谱，提出了轨道运动的量子化，为量子力学的最终建立 打下了坚实的基础。 6
习题:P798, Problems,6,8,10,14 P795, Exercises, 18 P820. Problems. 2 选作(课件中的斜体思考题部分)
习题：P798， Problems， 6，8，10，14 P795， Exercises, 18 P820, Problems, 2 选作（课件中的斜体思考题部分） 7