第二十讲 上次课 ☆磁场的基本定理 0fBM=A1=J元s→安培环路定理(磁场有旋) 注意条件:I稳恒「di闭合 完整。 ②面Bd=0→高斯定理(磁场无源) 环路定理的应用(对称性+B-S定理+高斯定理磁场的非零分量) 围2:暑电:了是中的为 电流产生磁场,磁场又作用于电流。电流来源于运动电荷。上一章我们建立了由 电流计算磁场的基本理论,并计算了不同的电流分布产生的磁场。这一章,我们 将计算有了一个静磁场后,它又是如何作用到处于磁场中的电流及运动电荷的。 (一)洛仑兹力: 电流来源于运动电荷,因此磁场不仅对处于其中的电流其作用,对处于场中的运 动电荷也同样有力的作用-洛仑兹力。 安培定律:F=Mx×B=jd2xB=Nqv×B 磁场只对运动电荷有力,对静止电荷无作用(磁力的应分Dx 若空间只有单个电荷(M=1),则其在磁场中的受力为:F 然而电场对电荷(无论静止还是运动)总有作用,因此若空间同时还有电场,则 总力为 qE+qv×B 这个力我们称为洛仑兹力! Lorentz力的应用:速度选择器 F B B FE=qE
第二十讲 上次课 磁场的基本定理 c 0 0 s B dl I j ds = = ∫ ∫ uv v v v μ μ Æ 安培环路定理（磁场有旋） 注意条件：I 稳恒 dl ∫ v 闭合 ∫s 完整。 d B ds ⋅ = 0 ∫ uv v Æ 高斯定理（磁场无源） 环路定理的应用（对称性+B-S 定理+高斯定理磁场的非零分量） 第 32 章：运动电荷及载流导线在磁场中的形为 电流产生磁场，磁场又作用于电流。电流来源于运动电荷。上一章我们建立了由 电流计算磁场的基本理论，并计算了不同的电流分布产生的磁场。这一章，我们 将计算有了一个静磁场后，它又是如何作用到处于磁场中的电流及运动电荷的。 （一） 洛仑兹力： 电流来源于运动电荷，因此磁场不仅对处于其中的电流其作用，对处于场中的运 动电荷也同样有力的作用 --- 洛仑兹力。 安培定律： F = × = Ω× = × Idl B jd B Nqv B rr r r r r r 若空间只有单个电荷（N = 1）, 则其在磁场中的受力为： B F = ×v B r r r 磁场只对运动电荷有力，对静止电荷无作用（磁力的特点） 然而电场对电荷（无论静止还是运动）总有作用，因此若空间同时还有电场，则 总力为： F F F qE qv B = + = +× E B rr r r r r 这个力我们称为洛仑兹力！Lorentz 力的应用：速度选择器 V ⊗ B E F q E = E F q B = vB
有两块极板,中间存在相互垂直的电场及磁场。一束带电粒子通过此器件,当速 度满足γ=E/B时,电场力与磁场力相互抵消,可以通过。不然,被偏转。 (二)带电粒子在磁场中的运动 带电粒子在磁场中受到洛仑兹力的作用,运动行为相当丰富。下面分4种情况由 浅入深的讨论。 ①均匀磁场,且方向垂直于运动表面(最简单) 假设带电粒子在x平面内运动,均匀磁场B平行于Z。则v⊥B XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX X 受力F=qxB(没有电场,故F|=qvB,方向永远垂直于速度方向。很明 显,磁力使q作圆周运动。计算其运动方程: v=rbe 6=- dy=vAe ve=v=gvB 回旋半径r 初速度大则半径大 磁场大则半径小 角速度o=6=2=9,运动频率 尽管初速度不一定,但角速度及回旋频率不与初速度有关! 只与磁场有关,磁场大,则转得快! ②回旋加速器 注意到∫与速度无关,可以利用此性质做回旋加速器,装置示意图如下图所示 均匀磁场垂直纸面,在中间有两个极板接在交变电源的两端。 (i)t=0,电荷被中间电场加速,得到初速度vn
有两块极板，中间存在相互垂直的电场及磁场。一束带电粒子通过此器件，当速 度满足 时，，电场力与磁场力相互抵消，可以通过。不然，被偏转。 v EB = / （二）带电粒子在磁场中的运动 带电粒子在磁场中受到洛仑兹力的作用，运动行为相当丰富。下面分 4 种情况由 浅入深的讨论。 c 均匀磁场，且方向垂直于运动表面（最简单） 假设带电粒子在 xy 平面内运动，均匀磁场 B 平行于 Z。则v B ⊥ v r ， X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X v F δθ 受力 （没有电场），故│F│=qvB, 方向永远垂直于速度方向。很明 显，磁力使 q 作圆周运动。计算其运动方程： F qv B = × uv v uv v re = v uv & u θ φ v r =&θ 2 dv v qvB a vv dt t r m Δ =⏐ ⏐ = = = = Δ v & θ θ 回旋半径 mv r qB = 初速度大 则半径大 磁场大 则半径小 角速度 v qB r m ω θ === & ，运动频率 2 2 qB f m ω π π = = 尽管初速度不一定，但角速度及回旋频率不与初速度有关！ 只与磁场有关，磁场大，则转得快！ ② 回旋加速器 注意到 f 与速度无关，可以利用此性质做回旋加速器，装置示意图如下图所示。 均匀磁场垂直纸面，在中间有两个极板接在交变电源的两端。 (i) t =0, 电荷被中间电场加速，得到初速度 ; 0 v
B E=E。cos(ot),o=qB/m (i)离开右极板后在磁场的作用下做圆周运动,半径为6y,此过程中磁场不 做功,动能不增加 (ⅲi)半个周期后到达右极板,此时若能将原电场恰好反转,则电荷再次被电场加 速,速度变成v1 (iy)离开左极板后,以半径r=",继续回旋,磁场不做功,动能不增加 直到>R加速完毕,电荷飞离加速器。 能实现这个加速功能的主要原因是 B (1)O= 即电场的交变频率与回旋频率一致,又称为共振条件 否则带电粒子被回旋回来时不能被有效加速; 2)而回旋频率ω不依赖于回旋速度ν!(否则电场的频率要一直随回旋速度 的变化而变化!) 最终的最大速度可由回旋加速器的最大半径决定: 飞离前的回旋半径大致为:rm≈R Br BR 则最大速度为: 最高所得的动能为:Km=mv2=(qBR)/m 这是一个很有意思的结论,整个过程中B不做功,加速都是有电场完成 的,但最后的能量由B决定!仔细考察其中的奥秘,发现虽然加速的确 是由电场完成的,但电场越大,每次半径变化就越大(正比于速度差)
E=E0 cos(ωt), ω=qB/m B . (ii) 离开右极板后在磁场的作用下做圆周运动, 半径为 0 0 mv r qB = ，此过程中磁场不 做功，动能不增加； (iii) 半个周期后到达右极板，此时若能将原电场恰好反转， 则电荷再次被电场加 速，速度变成 ；1 v (iv) 离开左极板后, 以半径 1 1 mv r qB = ，继续回旋，磁场不做功，动能不增加。 …… 直到 加速完毕，电荷飞离加速器。 Nr > R 能实现这个加速功能的主要原因是 （1） qB m ω = ，即电场的交变频率与回旋频率一致，又称为共振条件 --- 否则带电粒子被回旋回来时不能被有效加速； （2） 而回旋频率ω 不依赖于回旋速度v ！（否则电场的频率要一直随回旋速度 的变化而变化！） 最终的最大速度可由回旋加速器的最大半径决定： 飞离前的回旋半径大致为： max r R ≈ 则最大速度为： max max qBr qBR v m m = ≈ 最高所得的动能为： 2 2 max max 1 1 ( )/ 2 2 K = = mv qBR m 这是一个很有意思的结论，整个过程中 B 不做功，加速都是有电场完成 的，但最后的能量由 B 决定！仔细考察其中的奥秘，发现虽然加速的确 是由电场完成的， 但电场越大，每次半径变化就越大（正比于速度差）
因此被加速的次数相应变小:N=R=9BR11。而电场做的总功为 m△vE W~NEd~ const.,与电场值无关。 ⑧速度不垂直与磁场 (1)均匀磁场 将运动速度分解成平行/垂直分量:=W+v1 则洛仑兹力为:F=qxB=q×B,仅与ν相关,且不沿着磁场方向。 因此电荷在B的方向以速度v做匀速运动,同时, 在1B的平面内做回旋运动,回旋半径为r m B 这种运动称为螺旋运动 spiral 螺距bh=,即电荷螺旋一周向前运动的距离 (2)非均匀磁场(磁镜) 在非均匀磁场中电荷的运动行为更丰富,考虑如图所示的非均匀磁场 Fnt间B+“t方 电荷在作螺旋运动时,不仅受到向心力F向,支持其在垂直磁场的表面内作圆
因此被加速的次数相应变小： R qBR 1 1 N r mv E = = Δ Δ ∝ . 。而电场做的总功为 W NEd const ~ ~ ，与电场值无关。 ③ 速度不垂直与磁场 ⑴ 均匀磁场 将运动速度分解成平行/垂直分量：vv v = || + ⊥ v v v 则洛仑兹力为： F = ×= × qv B qv B ⊥ uv v uv uuv uv ，仅与v⊥ v 相关，且不沿着磁场方向。 因此电荷在 B uv 的方向以速度 做匀速运动， v|| 同时， B h 在┴ B uv 的平面内做回旋运动，回旋半径为 mv r qB ⊥ = 。 这种运动称为螺旋运动 spiral 螺距 || || m h vT v qB ∂π = = ，即电荷螺旋一周向前运动的距离。 ⑵ 非均匀磁场（磁镜） 在非均匀磁场中电荷的运动行为更丰富，考虑如图所示的非均匀磁场 电荷在作螺旋运动时，不仅受到向心力 F r 向 ，支持其在垂直磁场的表面内作圆
周运动,而且存在一个平行于z方向的力的分量F眼’其方向指向低场(磁力线较 稀疏的地方),阻止继续向高场运动。 结论:带电体作螺旋运动,被限制在低场处,象个瓶子(磁瓶) 习题:P746, Problems,2,4,6,10
周运动，而且存在一个平行于 z 方向的力的分量 F r 限 ，其方向指向低场（磁力线较 稀疏的地方），阻止继续向高场运动。 结论：带电体作螺旋运动，被限制在低场处，象个瓶子（磁瓶） 习题：P746, Problems, 2，4, 6, 10
