第十二讲 复习 P(G)=x5BE(F)(外场对介电物质的极化),其中极化强度的定义为 ∑F 它描述了宏观物质对外场的响应。x:极化率;它是刻画电介 质的一个本征量,不同的电介质z不同。(对比:j=aE,x、的具体计 算需参照“微观理论,量子理论”。) ●知道了E→P,那么P如何反过来→E? 与极化电荷分布p的关系 P:ds=2=⑩P(F 因此,只要知道P的空间分布即可求知空间的极化电荷分布。(注意:在真空 及金属中,P=0) (四)有介质存在时的电场及高斯定理 真空中电场强度 E∈q 介质中的电场强度E=E E,(自由电荷产生的电场)∈q(自由电荷) E2(极化电荷产生的电场)∈q,(极化电荷) 根据库仑定律 E=E+e 1 P,(r)dr (F-P)+ P,(rdr 4 E,和q,之间及E和qn之间分别满足高斯定理(高斯定理的推导中并不要求 电场的来源是自由电荷还是极化电荷!只用到了库伦定律的平方反比性!) oE ds=q,=e, (di ufE4s=92=「n(F)F 则总场与总电荷分布之间亦满足高斯定理
第十二讲 复习 z Pr Er () () = χε 0 （外场对介电物质的极化），其中极化强度的定义为 r r r r V p P i i Δ = ∑ v r ，它描述了宏观物质对外场的响应。 χ ：极化率；它是刻画电介 质的一个本征量，不同的电介质 χ 不同。（对比： Ejv v = σ ， χ 、σ 的具体计 算需参照“微观理论，量子理论”。） z 知道了 PEv v ⇒ ，那么 P v 如何反过来 E v ⇒ ？ P v 与极化电荷分布 ρ P 的关系 ( ) P P V V − ⋅= = P dS Q r dV ρ ∫ ∫∫∫ v r r 因此，只要知道P v 的空间分布即可求知空间的极化电荷分布。（注意：在真空 及金属中， P = 0 v ） （四）有介质存在时的电场及高斯定理 真空中电场强度 ⇐ qEr 介质中的电场强度 EEE pf v v r += E f v （自由电荷产生的电场）⇐ q f （自由电荷） Ep r (极化电荷产生的电场）⇐ qp （极化电荷） 根据库仑定律 )( )( 4 1 )( )( 4 1 3 3 0 3 3 0 rr rr rdr rr rr rdr EEE f p pf rr rr rr rr vv r − ′ − ′ ′′ − ′ + − ′ ′′ =+= ∫ ∫ ρ πε ρ πε （1） Ef v 和 f q 之间及 和 之间分别满足高斯定理（高斯定理的推导中并不要求 电场的来源是自由电荷还是极化电荷！只用到了库伦定律的平方反比性！） E p v p q 3 0 3 0 ( ) ( ) f ff p pp E dS q r dr E dS q r dr ε ρ ε ⋅== ⋅== ∫ ∫ ∫ ∫ ρ v v r r v v r r （2） 则总场与总电荷分布之间亦满足高斯定理：
E ds q 由于 P·dS (4) 带入上式可得 etp)ds= q 如果定义一个新的辅助物理量:电位移矢量 D(r)=CE(r)+P( 则,其满足的高斯定理为 币D(,d=9 (7) 在介质中辅助矢量D⑦满足的高斯定理与在没有电介质的情况下源电场E() 满足的高斯定理一致! fE, ds (8) 这就是我们引入辅助矢量D()的好处!!求解辅助矢量D(F)时只要知道q,不 要求知道极化电荷的情况。 对于线性介质 D=EXE(r) 因此,电位移矢量为 ()=E0E(F)+P() CE(r+EXE(r) (10) =E0(1+x)E()=E0EE()=EE(P) 其中, 8=80Er (11) 为介质中的介电常数,而 erl 是个无量纲的比例常数,称作相对介电常数。为了看清楚(11)-(12)的物理 意义,将(10)式代入(7)式可得
0 0 ( ) E dS E E dS q q f p f ε ε ⋅ = + ⋅ =+ ∫ ∫ p r v v r r （3） 由于 P V q P =− ⋅ ∫ dS v r （4） 带入上式可得 ∫ =⋅ qSdPE f vv v ) ε 0 ＋（ （5） 如果定义一个新的辅助物理量：电位移矢量 0 Dr Er Pr () () () = + ε r r r v v r （6） 则，其满足的高斯定理为 ( ) D r ds qf ⋅ = ∫ v r r （7） 在介质中辅助矢量 D r( ) 满足的高斯定理与在没有电介质的情况下源电场 r r ( ) E r f r r 满足的高斯定理一致！ 0 f f q E dS ε ⋅ = ∫ v v （8） 这就是我们引入辅助矢量 D r( ) 的好处！！求解辅助矢量 r r D r( ) r r 时只要知道 f q ，不 要求知道极化电荷的情况。 对于线性介质 0 Pr Er () () = ε χ v r r r （9） 因此，电位移矢量为： 0 0 0 0 0 () () () ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) r Dr Er Pr Er Er E r Er E ε ε εχ ε χ εε ε = + = + =+ = = r r r rr v v r r r r r r v r r v （10） 其中， 0 r ε = ε ε （11） 为介质中的介电常数，而 ε χ＋＝ 1 r （12） 是个无量纲的比例常数，称作相对介电常数。为了看清楚（11）-（12）的物理 意义，将（10）式代入（7）式可得
E(F)·dS= (13) 将(13)与(8)比较,可知:在一块均匀的线性介质中放置一个电荷q产生的 电场就等于其在真空中产生的电场,只要将真空介电常数代换为介质中的介电 常数E--这就是我们定义介电常数E的原因。 几点讨论: 1)电场的来源是电荷,不论是自由电荷还是极化电荷。 2)无论什么介质,(7)式总是正确的。但只有对线性介质,才可以利用 D(F)=EE()对(7)做进一步简化。 3)D是一个辅助矢量,并非我们真实面对的电场(以及产生的电场力),后者只 能由真实电场E决定!D有一些“象”源电荷产生的电场E,但并非万全一样! 剧考:为什么? 4)这里电场E(F)为总电场,或是局域场,包含了源电荷和极化电荷的贡献) 当介质中不存在极化x=0,5,=x+1=1,如真空,或空气。极化的程度越大, 则介电常数越大。亦可明白为什么我们要按照(9)式P(F)=E0xE(F)得方式 来定义极化率,而不是利用P()=50xE()来定义x。一方面的原因是物 理意义清楚-—极化当然正比于此地所受到的电场,而非源场;另一方面此定 义直接导致清晰简洁的物理结果。 (五)极化的完整图像 下面我们将具体讨论如何计算介质中的电场,得到极化的一个完整的图像及计算 方法。介质放在由无穷远处的源电荷激发的电场中 到此极化现象结束了吗?不
( ) f q E r ds ε ⋅ = ∫ r r r （13） 将（13）与（8）比较，可知：在一块均匀的线性介质中放置一个电荷 f q 产生的 电场就等于其在真空中产生的电场，只要将真空介电常数 0 ε 代换为介质中的介电 常数ε --- 这就是我们定义介电常数ε 的原因。 几点讨论： 1） 电场的来源是电荷，不论是自由电荷还是极化电荷。 2） 无论什么介质，（7）式总是正确的。但只有对线性介质，才可以利用 D() () r Er = ε r r r r 对（7）做进一步简化。 3）D 是一个辅助矢量，并非我们真实面对的电场（以及产生的电场力），后者只 能由真实电场 r E r 决定！D 有一些“象”源电荷产生的电场 r Ef r ，但并非万全一样！ 思考：为什么？ 4）这里电场 E( )r r r 为总电场，或是局域场，包含了源电荷和极化电荷的贡献）。 当介质中不存在极化 χ = 0 ， 1 1 r ε ＝χ + = ，如真空，或空气。极化的程度越大， 则介电常数越大。 亦可明白为什么我们要按照（9）式 0 Pr Er () () = ε χ v r r r 得方式 来定义极化率，而不是利用 0 () () Pr E r f = ε χ v r r r 来定义 χ 。 一方面的原因是物 理意义清楚 --- 极化当然正比于此地所受到的电场，而非源场； 另一方面此定 义直接导致清晰简洁的物理结果。 （五）极化的完整图像 下面我们将具体讨论如何计算介质中的电场，得到极化的一个完整的图像及计算 方法。介质放在由无穷远处的源电荷激发的电场中 EP 00 v r = χε 到此极化现象结束了吗？不
完整的图像为: 电场将介质极化,介质极化后产生极化电荷,极化电荷产生极化电场从而与 源”电场叠加改变总电场,总电场的改变又导致了对介质的极化的改变。如此 往返不已 用图形表示为 E0→P= E→P=x(E0+E) 自恰 这里,通常E又称为“退”极化场( Depolarization Field),因为En∥-E,它 的存在总是使得极化变弱 (1)初等法 E P Eox OXEN .p/ ZEo E6(1-x)|6z(1-x)E X(-Ze - X(-xEo 5-x+x2)04-x+)4Ex0-x+x2)55|-2-x+x2)E EN总=(1-x+x2-x3+…+(-x))E。-xE N→O时,E=∑(-x)-E 1-(-x)2 (2<1) 1+x 1+x FORe CEO 导致导致 E E EP- EE 极化对电场的影响
完整的图像为： 电场将介质极化，介质极化后产生极化电荷，极化电荷产生极化电场从而与 “源”电场叠加改变总电场，总电场的改变又导致了对介质的极化的改变。如此 往返不已… 。 用图形表示为 E0 r ⇒ EP 00 v r = χε ⇒ qp ⇒ Ep r ⇒ P E 0 0 p = + ε χ E v r v （ ） 自恰 这里，通常 又称为“退”极化场（Depolarization Field），因为 // Ep r Ep r E0 r － ，它 的存在总是使得极化变弱。 （1） 初等法 E总 P v σ p Ep r E0 ε 0 0 χE ε 0 0 χE 0 0 －P / ε ＝－χE 1( ) E0 − χ 0 (1 )E0 ε χ χ − 0 χ − χ)1( E 0 －χ − χ)1( E 2 0 E (1 ) − + χ χ 2 0 χ χ （－ + ） 1 χ ε E 2 0 0 χ χ （－ + ） 1 χ ε E 2 0 − −+ χ χχ （ ） 1 E M M M M 总 （ 总 （ ＝（ ＋－＋－ ＋（－ － N) 0 N) 32 1 E 1 )) EE N χχχ χ χ L − N ∞→ 时， 1 0 0 0 1 1( ) 1 ( ) 1 1 i i r E E E EE χ χ 0 χ χ ∞ ∞ − = − − ＝ ＝ ∑ − = = ＋ ＋ ε （ χ < 1） 0 00 1 EP E v r v ε χ χ χε ＋ = ＝ 0 0 1 E P Ep χ χ ε ＋ ＝－ ＝－ σ p＝P 极化对电场的影响
(2)上述方法虽然物理图像清晰,但受限于x<1的要求。下面介绍另一方法 自恰方法 E+e P=XE P E E=-=-xE1 Er=E+E=E0-xE7(自洽方程) E1(1+x)=E Eo E=,0 P=ExE=gE Er 1+x-x 1+x1+x E=Eo -Eo 后一项为退极场,是由极化的偶极子产生的场,此场“退”掉 些原来的E 6,利用介质中的高斯定理求解 例1.两平行金属板,面电荷密度分别为σ八、-σr,中间夹有极化率为x的电 介质,求空间的电场电荷分布。 解:(1)由介质中的高斯定理 qf 其中q为自由电荷;D=50E+P=E0(1+x)E
（2） 上述方法虽然物理图像清晰，但受限于 χ < 1的要求。下面介绍另一方法： 自恰方法 E EE T p = 0 + v v r ⇓ P 0 ET = ε χ v r ⇓ σ p ＝P E = χε 0 T ⇒ 0 p E E p T σ χ ε r v ＝－ ＝－ ET T = + EEE E 0 00 ＝ －χ （自洽方程） 0 (1 ) ET + = χ E ⇒ 0 1 T E E + χ ＝ 0 0 1 P ET E0 χ ε χ ε χ = v v r ＝ ＋ 0 0 0 1 11 1 T E E EE E0 χχ χ χ χ χ + − = =− ++ + v v vv v ＝ 后一项为退极场，是由极化的偶极子产生的场，此场“退”掉一 些原来的 E0 6．利用介质中的高斯定理求解 例 1. 两平行金属板，面电荷密度分别为σ f 、－σ f ，中间夹有极化率为 χ 的电 介质, 求空间的电场电荷分布。 解：（1）由介质中的高斯定理 ∫ =⋅ f qsdDv r 1 S σ f 其中q f 为自由电荷； PED E r v v r )1( 0 ＝ 0 ++= χεε
如图所示做高斯面S,则由高斯定理可得 d s+Ds 其中,D为金属板中的电位移矢量,D2为介质板中的电位移矢量,方向均指向 下。S为高斯面的截面积,σ,为金属板上的自由电荷面分布。 根据金属中的静电平衡条件可知 E1=0D=E0E+P=0 D2=EoE2+P2=E0(1+XE2=or 1C E2=1+x6o (2)利用D矢量的缺点是计算中完全“忘记”了极化的存在(藏在高斯定理中 了)。极化电荷有吗?有!介质的极化强度为 P=EXe 则由 在同一个高斯面上计算可得极化电荷分布(注意到金属中P=0): PS+Ps==o. s P2 真实的图像如上图所示。注意:极化电荷不会与自由电荷中和,它们之间还有
如图所示做高斯面 ，则由高斯定理可得 1 S － 1 + 2 ＝＝ σ ff ⋅ SqSDSD 其中， 为金属板中的电位移矢量， 为介质板中的电位移矢量，方向均指向 下。S 为高斯面的截面积， D1 D2 σ f 为金属板上的自由电荷面分布。 根据金属中的静电平衡条件可知 0 E1 ＝ ε PED 1101 ＝＋＝ 0 则， PED χ E σ f ε ＝＋＝ ε 02202 + )1( 2＝ 0 0 2 1 1 1 1 E E f χε σ χ ＋ ＝ ＋ ＝ （ 0 0 ε σ f Q E ＝ ） （2）利用 D 矢量的缺点是计算中完全“忘记”了极化的存在（藏在高斯定理中 了）。极化电荷有吗？有！介质的极化强度为 f f EP σ χ χ ε σ ε χ χ χε ＋ ＝ ＋ ＝1 0 1 = 202 0 则由 ∫ −=⋅ V qSdP p v r 在同一个高斯面上计算可得极化电荷分布（注意到金属中 P ≡ 0 r ）： － + 21 ＝－σ p ⋅ SSPSP p P σ f χ χ σ + −=− 1 ＝ 2 σ f σ p －σ p －σ f 真实的图像如上图所示。 注意：极化电荷不会与自由电荷中和，它们之间还有
很大空隙(而且极化电荷不能脱离介质而跑到金属上去!)。 例2.一个半径为R的带电导体球放在极化率为的介质中,求空间的电场及电 荷分布。 解:将空间分出球内和球外两个区域,分别求解。 (1)I区D=E0E+P=0因为在导体内部; I区D=60E+P=E0(1+x)E 因为在线性介质内 由介质中的高斯定理 D. ds q I区 D4 Tr=0 D() E()= D() 40 s(1+)4mE0(+x)r nEl (2)极化电荷? I区 I区P(F)=E0xE(F)= Q +xtR 我们讲过均匀极化时没有Q,现在极化强度是r的函数,有无极化电荷? 将公式 应用一个由半径r和半径2(F<E2)的球面组成的高斯面上,得 P(2)S2=P()S=-Q 然而 4 4 4 1+ 故体内仍没有极化电荷! 将公式 用到<R,2=R的一个高斯面上,注意到金属中(n<R)的P为0,得
很大空隙（而且极化电荷不能脱离介质而跑到金属上去！）。 例 2. 一个半径为 R 的带电导体球放在极化率为 χ 的介质中，求空间的电场及电 荷分布。 解：将空间分出球内和球外两个区域，分别求解。 (1) I 区 ε 0 PED ＝＋＝ 0 因为在导体内部； II 区 PED E r v v r )1( 0 ＝ 0 ++= χεε 因为在线性介质内 由介质中的高斯定理 ∫ =⋅ f qsdDv r II 区 ＝ QrD f 2 ⋅ 4π r f e r Q rD ˆ 4 )( 2 π = v v 2 2 0 0 ( ) ( ) ˆ ˆ (1 ) 4 (1 ) 4 f f r r D r Q Q E r e e ε χ πε χ πε r r = = + + r r v v ＝ (2) 极化电荷？ I 区 P = 0 r II 区 r f e r Q rErP ˆ 1 4 )()( 0 2 χ π χ χε ＋ ＝r r v r = 我们讲过均匀极化时没有 ，现在极化强度是 r 的函数，有无极化电荷？ Qp 将公式 ∫ −=⋅ V QSdP p v r 应用一个由半径 和半径 （ 1 r 2r 1 r r < 2 ）的球面组成的高斯面上，得 － 1122 ＝－QSrPSrP p )()( 然而 0 1 4 4 4 4 2 2 1 1 2 2 2 2 ＝ ＋ － χ χ π π π π ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ r r Q r r Q f f 故体内仍没有极化电荷！ 将公式 ∫ −=⋅ V QSdP p v r 用到r Rr R 1 2 < = , 的一个高斯面上，注意到金属中（ 1 r R < ）的 P 为 0，得
P.4TR=-Q 4R2= 4R21+x R1+x4丌R1 介质与球的交界面出现极化电荷,反号的极化电荷将“屏蔽”原自由电荷的电场, 使得空间的电场与原来相比小E,=1+x倍。 习题 1)半径为R,相对介电常数为E的均匀电介质球的中心放置一点电荷q,试求 (1)球内外的电场强度E和电势的分布 (2)如果要使球外的场强为零而球内的场强保持不变,应怎么办? 2)一半径为a的导体球被内半径为b的同心导体球壳所包围。两球间充满各向 同性的电介质,在离球心为r处介质的相对介电常数E=(A+r)/r(A为常数)。 如果内球带电荷Q,外球壳接地,试求 (1)在电介质中离球心为r处的电势 (2)介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度 (3)介质中极化电荷的总量 3)无限长的圆柱形导体,半径为R,沿轴线单位长度上带电量λ。将此圆柱形 导体放在无限大的均匀电介质(En)中。求电介质表面的束缚电荷面密度。 4)为了提高输电电缆的工作电压,在电缆中常常放几种电介质,以减小内、外 导体间的电场强度变化,这叫分段绝缘。图中所示是这种电缆的剖面图。若用相 对介电常数En>E2>En的三种电介质作为绝缘物时,设内部导体每单位长度上
＝－ QRP p 2 ⋅ 4π p f QR R Q ＝－ ＋ 2 2 4 14 π χ χ π Qp Qf χ χ + − 1 ＝ 2 2 4 14 1 p f p f Q Q R R χ χ σ σ π χπ χ =− =− + + ＝ 介质与球的交界面出现极化电荷，反号的极化电荷将“屏蔽”原自由电荷的电场， 使得空间的电场与原来相比小 1 r ε = + χ 倍。 习题 1） 半径为 R，相对介电常数为 r ε 的均匀电介质球的中心放置一点电荷 q，试求： （1）球内外的电场强度 E 和电势ϕ 的分布； （2）如果要使球外的场强为零而球内的场强保持不变，应怎么办？ 2）一半径为 a 的导体球被内半径为 b 的同心导体球壳所包围。两球间充满各向 同性的电介质，在离球心为 r 处介质的相对介电常数 ( )/ ε r = Ar r + （ A 为常数）。 如果内球带电荷 Q，外球壳接地，试求： （1）在电介质中离球心为 r 处的电势； （2）介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度； （3）介质中极化电荷的总量。 3）无限长的圆柱形导体，半径为 R，沿轴线单位长度上带电量λ 。将此圆柱形 导体放在无限大的均匀电介质（ r ε ）中。求电介质表面的束缚电荷面密度。 4）为了提高输电电缆的工作电压，在电缆中常常放几种电介质，以减小内、外 导体间的电场强度变化，这叫分段绝缘。图中所示是这种电缆的剖面图。若用相 对介电常数 r r 1 2 r3 ε > > ε ε 的三种电介质作为绝缘物时，设内部导体每单位长度上
带电量为λ。试求:(1)各层内的电场强度;(2)各层电场强度的极大值;(3) 在什么条件下,才能使介质内的电场强度保持为常值? 第4题图 5)今有A,B,C三导体板互相平行地放置,AB,BC之间的距离均为d.BC之 间充满相对介电常数为E,的介质,AB之间为真空,今使B板带电+Q,试求各 导体板上的电荷分布。忽略边缘效应。(提示:(1)电荷分布在导体板的表面, 因此共有6个未知量,需要6个独立方程;(2)其中一个方程要利用到无限大均 匀面电荷分布的电场形式) 么么么么么么么么么 d
带电量为λ 。试求：（1）各层内的电场强度；（2）各层电场强度的极大值；（3） 在什么条件下，才能使介质内的电场强度保持为常值？ ε r3 ε r2 a b c d ε r1 第 4 题图 5）今有 A，B，C 三导体板互相平行地放置，AB，BC 之间的距离均为 d. BC 之 间充满相对介电常数为 r ε 的介质，AB 之间为真空，今使 B 板带电+Q，试求各 导体板上的电荷分布。忽略边缘效应。（提示：（1）电荷分布在导体板的表面， 因此共有 6 个未知量，需要 6 个独立方程；（2）其中一个方程要利用到无限大均 匀面电荷分布的电场形式） d ε r A B C d +Q