第18次课(“离心力公式,地月验证,椭圆轨道问题,G,球壳定理)2007.119 上节课介绍了发现牛顿万有引力定律的三个重要历史人物 和开普勒行星运动的三个定律 以及用牛顿离心力公式+开普勒第三定律→引力x1 在当时还不清楚什么是向心力公式的条件下,牛顿推导出了“离心力”定律(公式) 推导离心力公式:(1664-65) 牛顿认为在圆形轨道上运行的物体如同物体(小球 爷"→离心的趋势 约束在空心圆形器壁上的运动,如图所示。小球虽然约 束在圆形内壁上圆形轨道运动,但由于有离心趋势(直线 匀速运动,惯性」),因而对容器产生了“离心”的作用力 圆形内壁 首先牛顿把圆形轨道的圆周运动简化为小球在圆形器 壁内接四边(正方)形的运动,运动一周小球有四次碰壁,每 次碰壁的冲量为j,动量为p=m,如图所示 一周的总冲量:J=4jJ:m=4abr 四边形的周长=S 离心力作用时间 当内接正多边形的边数趋于∞极限 F
第 18 次课 (“离心力”公式，地月验证，椭圆轨道问题，G，球壳定理) 2007.11.9 上节课介绍了发现牛顿万有引力定律的三个重要历史人物 和开普勒行星运动的三个定律 以及用牛顿离心力公式 + 开普勒第三定律 → 引力 2 1 r ∝ 在当时还不清楚什么是向心力公式的条件下，牛顿推导出了“离心力”定律（公式） 推导离心力公式：(1664‐65) 牛顿认为在圆形轨道上运行的物体如同物体(小球) 约束在空心圆形器壁上的运动，如图所示。小球虽然约 束在圆形内壁上圆形轨道运动，但由于有离心趋势(直线 匀速运动，惯性)，因而对容器产生了“离心”的作用力 首先牛顿把圆形轨道的圆周运动简化为小球在圆形器 壁内接四边(正方)形的运动，运动一周小球有四次碰壁，每 次碰壁的冲量为 j ，动量为 p mv = ，如图所示 j mv ab r : : = 一周的总冲量： J j = 4 J mv ab r : 4: = 四边形的周长 = S FT 离心力 作用时间 FT S mv r = 当内接正多边形的边数趋于∞ 极限： S r 2 S T v = π = 2 Smv v F m rT r = = 离心的趋势 圆形内壁 mv K j K r c d a b mv K
引力是距离的平方反比规律,怎样验证天上行星受到的引力与地面上的重力是来源同 力? 地月验证:(1669) 月球在牛顿看来是不断向地球“下落”而运动在一个圆形的轨道上。如果地面上的重力 和月球受的力都遵循一2定律,则月球和地面上物体每秒下落的距离与各自到地球中心的距 离有关。 位于A点的月球在1秒钟的时间里运动到 A 若没有引力:B点BA=V=T 实际到达:D点 BD为月球的“下落”距离h BE=BD+h≈ED=2rn BE BA ∴△ABD~AEBA BA BD (BE≈2r,BA==,BD=h) 月球1秒下落的距离:h2n2rM 时已知r是地球半径r的60倍 在地球表面上1秒时间内下落的距离为 160年:由规律,预计b=x=5=生= ≈2.8×10 3600 但实际h120zr ≈24×10-有14%的误差 g7·g410 1682年:r精确数据:-≈28×10 万有引力定律矢量表示: 2对1的作用力F12=-Gmm 76单位矢量2→1指向 1对2的作用力F21=-Gm1nE11单位矢量1→2指向 FI
引力是距离的平方反比规律，怎样验证天上行星受到的引力与地面上的重力是来源同一 力？ 地月验证：(1669) 月球在牛顿看来是不断向地球“下落”而运动在一个圆形的轨道上。如果地面上的重力 和月球受的力都遵循 2 1 r 定律，则月球和地面上物体每秒下落的距离与各自到地球中心的距 离有关。 位于 A 点的月球在 1 秒钟的时间里运动到： 若没有引力：B 点 2 Mr BA v T π = = 实际到达： D 点 BD 为月球的“下落”距离 h 2 BE BD h ED r = +≈ = M ∵ Δ Δ ABD EBA ∼ ∴ BE BA BA BD = ( BE r ≈ 2 , 2 Mr BA T π = , BD h = ) 月球 1 秒下落的距离： 2 2 2 Mr h T π = 当时已知 Mr 是地球半径 Er 的 60 倍 在地球表面上 1 秒时间内下落的距离为 g 1669 年：由 2 1 r 规律，预计 2 2 1 1 4 2.8 10 60 3600 MM E EE M h aF r ga F r − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = = = ≈× ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 但实际 2 4 2 120 1 2.4 10 4100 E h r g Tg π − = ≈ ≈× ⋅ 有14% 的误差 1682 年： Er 精确数据： 4 2.8 10 h g − ≈ × 万有引力定律矢量表示： 2对1的作用力 1 2 12 2 12 12 ˆ m m F G r r = − JK 12 rˆ 单位矢量 2 1 → 指向 1对2的作用力 2 1 21 2 21 21 ˆ m m F G r r = − JK 21 rˆ 单位矢量 1 2 → 指向 v S Mr h E D C B A r12 K F21 JK F12 JK m2 m1
万有引力常数: 1798年卡文迪什第一个测得G(第一个测量地球的人) 扭丝 G=675×101N.m2/kg2 光已知:m和M及间距 由扭转角→力 200年后:G=667×101Nm2/kg2±000×101 相对误差大约:±0.15 反射镜技术近200年后的最新应用STM或AFM 椭圆轨道间题→严 预备知识:椭圆方程 远日 R xy坐标 SUN 极坐标: ea→ e:偏心率0<e<1 椭圆面积:A=xab
万有引力常数： 1798 年 卡文迪什第一个测得 G (第一个测量地球的人) 200 年后： 11 2 2 11 G N m kg 6.67 10 0.0010 10 − − =× ⋅ ± × 相对误差大约： ±0.15% 反射镜技术近 200 年后的最新应用 STM 或 AFM 椭圆轨道问题 → 2 1 r ？ 预备知识：椭圆方程 xy 坐标： 2 2 2 2 1 x y a b + = 极坐标： 2 0 b r a = 0 1 cos r r e ϕ = − e ：偏心率 0 1 < e < 2 ba e = −1 椭圆面积： A ab = π 已知：m 和 M 及间距 由扭转角θ → 力 2θ 镜 光 m M 扭丝 M 11 2 2 G N m kg 6.75 10− =× ⋅ a Rp Ra b SUN y x ea ϕ r 近日 远日
顶面:圆 抛物线}圆锥曲线 平面 e>1双曲线 平面与圆锥的截线 (r=v,ro=v,) SUN 功能定理:dW=F·dr=Fdr=dK u =ou d k dk /dr K 动能:K=my,=,m(2+r72) 1)开普勒第一定律:r=6 I-ecos 2)开普勒第二定律,1 v,r=S=-C r单位时间内矢径扫过的面积 ,代入:K=mCc出g+k=mcC2 2 e Sin o cos g·2 2
( ) ˆr r rtu = K ( ) ˆ ˆ r v r t ru r u = =+ ϕ ϕ i K K ( r r v = ,r v ϕ = ⊥ ) 功能定理： dW F d r Fdr dK =⋅ = = JK K dK K dK dr F dr r dt dt = = = 动能： ( ) 1 1 2 22 2 2 K mv v m r r = ⋅= + ϕ K K 1) 开普勒第一定律： 0 1 cos r r e ϕ = − 2 0 sin r r e r =− ⋅ ϕ ϕ 2) 开普勒第二定律： 1 1 2 2 vr S C ⊥ = = rϕ 单位时间内矢径扫过的面积 2 C r ϕ = r ，ϕ 代入： 2 2 2 2 2 0 1 sin 1 2 e K mC r r ⎛ ⎞ ϕ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 3 0 1 2 sin cos 2 2 e K mC r r r ⎛ ⎞ ϕ ϕϕ⋅ = − ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 0 mc 1 F Kr r r = =− ⋅ e = 0 圆 0 1 1 双曲线 圆锥曲线 平面与圆锥的截线 平面 顶面：圆 uˆϕ ms SUN m ϕ r v K ˆr u ˆ ˆ ˆ ˆ r r u u u u ϕ ϕ ω ω = = − v⊥ r r vr K
面积 a ab 2ab 3)开普勒第三定律:=k(常数,与m无关,但与m,有关)T S C/2 C a b2 a 1 m4 4mk k(与m无关的常数) 解决椭圆轨道问题。 问题:近月制动(嫦娥卫星)? 万有引力定律的推论 两个球壳定理 匀质球壳 定理1: mM 定理2: F=0 具体证明详见讲义
面积 3) 开普勒第三定律： 2 2 a k T = (常数，与 m 无关，但与 ms 有关) 2 2 A ab ab T SC C π π == = 2 ab C T π = 22 3 2 2 2 22 22 1 1 4 4 ab a a Fm m T br T r =− ⋅ ⋅ =− ⋅ π π 2 2 2 4 mk m ms G r r π = =− 2 4 s G k m π = (与 ms 无关的常数) 解决椭圆轨道问题。 问题：近月制动（嫦娥卫星）？ 万有引力定律的推论 两个球壳定理 定理 1： 定理 2： 具体证明详见讲义 M r m 匀质球壳 2 mM F G r = − M m F = 0