第12次课(单质点绕轴转动,角动量守恒,陀螺,地球的进动)10月17日 角动量与角速度 关系 单质点绕轴转动 A,O两点由两轴承(无摩擦)将无 质量转轴固定在z轴方向上 用以垂直于转轴且长度为r的轻杆 将质量为m的转轴连接于B点 匀速转动(O),无重力势场 角速度 k 般情况l不平行O rsin e 角动量 l=rxp=1:+l1 所以l=Io一般不成立 相对O点 但是本例中:l==IO 平行于垂直z轴分量 I=lsin 6=rosin 8 Z轴分量 =rusine rm(rosin 6 l=l特定条件:1)角动量计算相对一特殊点,例如本例中的B点 2)相对于转轴对称的物体 非轴对称物体以稳定角速度转动必须有约束,本例中的轴承约束转轴 轴对称→)动平衡一>实验室中发生的真实故事
第 12 次课 (单质点绕轴转动，角动量守恒，陀螺，地球的进动) 10 月 17 日 角动量与角速度 v K p JK v p // K JK ω JK l K ω l JK K ∼ 关系？？ 单质点绕轴转动 角速度： ' sin v v k k r r ω θ = = JK 一般情况 l K 不平行ω JK 角动量： lrpl l =× = +z ⊥ K K JK K K 所以 l I = ω K JK 一般不成立 相对 O 点 但是本例中： l I z = ω K JK 平行于 垂直 z 轴分量 sin sin zl l rp = θ = θ Z 轴分量 = rmvsinθ 2 ( ' ) sin ' rm r mr I ω θ ω ω = = = l I = ω K JK 特定条件： 1) 角动量计算相对一特殊点，例如本例中的 B 点 2) 相对于转轴对称的物体 非轴对称物体以稳定角速度转动必须有约束，本例中的轴承约束转轴. 轴对称 → 动平衡 → 实验室中发生的真实故事 p JK ω JK A x y O l K l K B θ r r' m z A，O 两点由两轴承（无摩擦）将无 质量转轴固定在 z 轴方向上 用以垂直于转轴且长度为 r'的轻杆 将质量为 m 的转轴连接于 B 点 匀速转动（ω ），无重力势场
角动量守恒 dL dt 当∑tm=0:L=常量或L 举例:1)恒星塌缩:太阳 中子星 天一转103转/秒 2)猫的下落:总是四脚落地,在空中它是如何翻转 3)银河系等为何是扁平盘状:角动量守恒>要求在垂直L方向不能无限塌缩 轨道稳定 4)跳水运动员的空翻:初始角动量的来源 5)例104字航员的悲剧r=180m 180 25m/s 船 角动量守恒mwr=mHr l80m2.5m/s 4.2N 50 9m/s 194N 5m90m/s194×105N 动量一冲量定理d=Fd或△P=p-P=Fd 冲量 角动量一角冲量定理dL=或△L=Lr-L=「"dt 角冲量或冲量矩 思考解决角动量碰撞问题
角动量守恒 ext d L dt = ∑τ JK K 当∑τ ext = 0 K ： L = JK 常量 或 Li f = L JK JK 举例： 1) 恒星塌缩： 太阳 → 中子星 30 天一转 3 10 转/秒 2) 猫的下落： 总是四脚落地，在空中它是如何翻转 3) 银河系等为何是扁平盘状： 角动量守恒 → 要求在垂直 L JK 方向不能无限塌缩 轨道稳定 4) 跳水运动员的空翻： 初始角动量的来源 5) 例 10‐4 宇航员的悲剧 180 ir m = 动量 — 冲量定理 d p Fdt = JK JK 或 f i t f i t Δ= − = p p p Fdt ∫ JK JK JK JK 冲量 角动量 — 角冲量定理 d L dt =τ JK K 或 f i t f i t Δ= − = L L L dt τ ∫ JK JK JK K ？ 角冲量或冲量矩 思考解决角动量碰撞问题 180 ir m = 飞 船 2.5 i v ms = r v F 180m 2.5 / m s 4.2N 50m 9 / m s 194N 5m 90 / m s 5 1.94 10 × N 角动量守恒 mvr mv r = i i ω2 JK ω1 JK 碰撞 ω2 JK ω1 JK
定点转动问题:陀螺 运动方向(动量方向) 改变物体的 必须要有垂直该方向的 旋转方向(角动量方向 力矩r⊥ 方向的稳定性 例如:静止无法站立,而旋转可以稳定站立的陀螺 OL 而且还能斜着站立 ?)自转轴本身也在绕竖直轴旋转 do r=mgr sine= lsinedp= ls dL on:进动角速率 与质量或重力以及重心到定点的距离正比 与自旋角动量反比 说明为什么快要倒下的陀螺会加快进动角速率? 地球的进动: 13000年后指向 织女星p 4现在极顶指向 黄道和赤道的两个交点 北极星 分别为春分和秋分点 秋分点 这两点在慢慢转动 L 地球自转轴在进动 春分点~ 黄道(太阳绕地球的轨道)面 赤道面
定点转动问题：陀螺 运动方向（动量方向） 力 F ⊥ JK 改变物体的 必须要有垂直该方向的 旋转方向（角动量方向） 力矩τ ⊥ K 方向的稳定性 例如：静止无法站立，而旋转可以稳定站立的陀螺 而且还能斜着站立 ？→ 自转轴本身也在绕竖直轴旋转 进动 sin sin sin p dL L d mgr L dt dt θ ϕ τ = == = θ θω p mgr L ω = ωp : 进动角速率 与质量或重力以及重心到定点的距离正比 与自旋角动量反比 说明为什么快要倒下的陀螺会加快进动角速率？ 地球的进动： 黄道和赤道的两个交点 分别为春分和秋分点 这两点在慢慢转动 地球自转轴在进动 ω JK ω, L JK JK ωL JK dϕ dL L JK θ r m g JK L JK 地球 现在极顶指向 北极星 秋分点 春分点 黄道(太阳绕地球的轨道)面 赤道面 13000 年后指向 织女星
问题:牛顿解决了地球的进动问题,但地球的进动其力矩何来? 问题:在陀螺进动的旋转参考系来看,自旋的角动量大小、方向不变,但有外力矩的作用, 原因何在? 思 分析转盘在进动的旋转参照系中的惯性力 B 惯性离心力科里奥利力 所引入力矩??
问题：牛顿解决了地球的进动问题，但地球的进动其力矩何来？ 问题：在陀螺进动的旋转参考系来看， 自旋的角动量大小、方向不变，但有外力矩的作用， 原因何在？ 思考： 分析转盘在进动的旋转参照系中的惯性力 惯性离心力 科里奥利力 2 p c f mv = ×ω JK K JK 所引入力矩？？ D C B A ω JK ω p JK