湖北大学：《大学物理》第四章（4-2） 平行轴定理

四、平行轴定理 前例中J表示相对通过质心的轴的转动惯量,J表 示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行,相距 L/2。可见: Jictm/L) 2)=1m2+1ml2=1ml2 4 3 推广上述结论,若有任一轴与过质心的轴平行, 相距为d,刚体对其转动惯量为/,则有: -+md 这个结论称为平行轴定理

四、平行轴定理 前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表 示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距 L/2。可见： 2 2 2 2 3 1 4 1 12 1 2 m L m L m L L J A JC m  = + =      ＝ ＋ 推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行， 相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有： 这个结论称为平行轴定理。 2 C J J md ＝ ＋

例:右图所示刚体对 经过棒端且与棒垂直 L 的轴的转动惯量如何 计算?(棒长为L、球 L R 体半径为R) 之 解:棒绕zz轴的 转动惯量: LI L 77 球体绕球心0 的转动惯量: 32-5 R 利用平行轴定理:J2=J0+m1d2 J=1m2+=mR2+m(L+R3作业:P160 4-84-9

例：右图所示刚体对 经过棒端且与棒垂直 的轴的转动惯量如何 计算？(棒长为L、球 体半径为R） 2 1 3 1 J L = mL L 2 2 5 o o J m R = 2 2 0 0 J J m d L = + 1 2 2 2 2 ( ) 3 5 L o o J m L m R m L R = + + + 作业： P150 4-8 4-9 L mo o mL R z z  解： 棒绕zz’轴的 转动惯量： 球体绕球心O 的转动惯量： 利用平行轴定理：

五、刚体定轴转动的转动定律的应用 例1、一个质量为M、半径为R的定 滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳 绳的一端固定在滑轮边上,另一端挂 质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦,求物体m由静止下落高度h时 M、T 的速度和此时滑轮的角速度。 T Mg 解:如图所示,M、m的受力图得知: m la M:M=TR-Ja J=-MR m: mg-T=ma a=Ra T=T

五、刚体定轴转动的转动定律的应用 例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂 一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时 的速度和此时滑轮的角速度。 解：如图所示，M、m的受力图得知： m mg T ma a R : − = =  1 2 2 M M T R J J MR ：   ＝ ＝  ＝ M m Mg mg T T  N a T T = 

解方程得:a= m+18 2 mgh v 1 mgh =√2ah 12m+M R RV2m+M 例2、一个飞轮的质量为69kg,半 径为0.25m,正在以每分1000转的转 速转动。现在要制动飞轮,要求在 5.0秒内使它均匀减速而最后停下 来。求闸瓦对轮子的压力N为多大?

m M mgh R R v + = = 2 1 4  例 2、一个飞轮的质量为69kg，半 径为0.25m,正在以每分1000转的转 速转动。现在要制动飞轮，要求在 5.0秒内使它均匀减速而最后停下 来。求闸瓦对轮子的压力 N为多大？ 24 2 m M mgh v ah + = = g m Mm a 2 + 解方程得： = F 0

解:飞轮制动时有角加速度 C O00 0=1000r/min=104.7rad/s =0t=5s:a=-20.9rads2 外力矩是摩擦阻力矩,角加速度为负值 M=-fR=-uNr=Ja=mra uNr=mRa n =784N

解：飞轮制动时有角加速度 t  0  − = 2 0 0 5s 20.9rad/s 1000r / min 104.7rad/s = =  = − = =    t 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。    2 M＝− f r R = − NR = J = mR   2 − NR = mR = − = 784N  mR N 0  N fr

例3、一根长为1、质量为m的均匀细直棒,其一端有 固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转动。最 初棒静止在水平位置,求它由此下摆θ角时的角加速度 和角速度 解:棒下摆为加速过程 外力矩为重力对(的力矩 棒上取质元dm,当棒处在 下摆θ角时,重力矩为: M-lgxdm=gdm dmg 据质心定义 xdnmxc∴M nox

例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一 固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最 初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度 和角速度。 解：棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对O的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在 下摆角时，重力矩为：   M＝ gxdm = g xdm  X O dmg dm x mxC 据质心定义 xdm＝ M = mgxC

X 重力对整个棒的合力矩与全 C 部重力集中作用在质心所产0 生的力矩一样。 dr l cos e dmg M=-mglcose mg M 2 mglcose gcos C- 2/ 72 do=J do de do M=Ja=J de dt de

重力对整个棒的合力矩与全 部重力集中作用在质心所产 生的力矩一样。 cos 2 1 x l c = cos 2 1 M = mgl l g ml mgl J M 2 3 cos 3 1 cos 2 1 2    = = = mg C  dmg X O dm xc         d d J dt d d d J dt d M = J = J = =

M=Jao代入M=1 mgl cos e 28Z COS 00=odo 01 mgl cos 0d0=k Jado 2 mgl sin o==J0 2 2 0=.mgusn O gsin e 作业:P151 二 4-104-14

cos 2 1 代入M＝ mgl  mgl cosd = Jd 2 1   =       0 0 cos 2 1 mgl d J d 2 2 1 sin 2 1 mgl  = J l g J mgl    sin 3 sin = = Md = Jd 作业：P151 4-10 4-14

§4-3角动量、角动量守恒定律 讨论力矩对时间的累积作用,得出角动量定理 和角动量守恒定律。 质点的角动量定理和角动量守恒定律 、质点的角动量 设质量为m的质点在时 刻t以速度ν运动,它 nv 对所取参考点O的角动 mv/ r 量定义: D=y×B=×m1 其方向:右手法则确定; 大小:L= rusine

§4-3 角动量、角动量守恒定律 1、质点的角动量 L = r P = r mv ～讨论力矩对时间的累积作用，得出角动量定理 和角动量守恒定律。 一、质点的角动量定理和角动量守恒定律 mv L L r r mv 设质量为m的质点在时 刻t以速度 运动，它 对所取参考点O的角动 量定义： v 其方向：右手法则确定； 大小： L rmv = sin

注意:质点的角动量是与位矢、动量、参考点0的 选择有关。因此在讲述质点的角动量时,必须指明 是对哪一点的角动量。 例:若质点在半径为r的圆周上运动,在某一时刻, 质点位于点A速度为。 以圆心0为参考点,那么,F⊥ν 质点绕oz轴做圆周运动角动量为:L=mv=mr2 n 6=90°

注意：质点的角动量是与位矢、动量、参考点0的 选择有关。因此在讲述质点的角动量时，必须指明 是对哪一点的角动量。 例：若质点在半径为r的圆周上运动，在某一时刻， 质点位于点A速度为 v 。 以圆心0为参考点，那么， r v ⊥ 质点绕oz轴做圆周运动角动量为： 2 L rmv mr = = 