§7-5麦克斯韦分子速率分布定律 重点:麦克斯韦气体分子速率分布律、三种统计速率 N个理想气体分子,当气体处于温度为T的平衡态时 宏观:n=N 、D,T有确定值 微观:各分子不停运动且频繁碰撞, ν不断变化,无规运动 分子的平均 3kT my==kT->y 平动动能为:2 rs 分子的方均根速率 root mean square speed 对给定气体来说,当其T恒定时,Vm也是恒定
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律 重点：麦克斯韦气体分子速率分布律、三种统计速率 • N个理想气体分子，当气体处于温度为T的平衡态时 宏观： , , N n p T V = 有确定值 微观：各分子不停运动且频繁碰撞， v 不断变化，无规运动 分子的平均 平动动能为： 1 3 3 2 2 2 2 rms kT mv kT v v m = → = = 分子的方均根速率 root mean square speed ～对给定气体来说，当其T恒定时，vrms 也是恒定
气体分子以各种大小的速度沿各个方向运动着,由 于这种碰撞使得每个分子的速度大小和方向时刻不 停地发生变化。 在某一特定时刻去考察某一特定分子,其速度的大 小、方向完全是偶然的。 表明:从大量分子整体看来,在一定条件下,处于热 平衡状态的气体的速度遵从一定统计分布规律的 麦克斯韦概*理论气体分子按速率 经典统计 玻耳兹曼 1859年 分布的统计定律学1877年 1920年施持恩 1934年我国物理 (0. Stern,1888-1969) 实验学家葛正权实验
•表明：从大量分子整体看来，在一定条件下，处于热 平衡状态的气体的速度遵从一定统计分布规律的。 麦克斯韦 1859年 气体分子按速率 分布的统计定律 概率理论 玻耳兹曼 1877年 经典统计 力学 1920年施持恩 (O.Stern,1888-1969) 1934年我国物理 学家葛正权实验 实验 •气体分子以各种大小的速度沿各个方向运动着，由 于这种碰撞使得每个分子的速度大小和方向时刻不 停地发生变化。 • 在某一特定时刻去考察某一特定分子，其速度的大 小、方向完全是偶然的
、测定气体分子速率分布的实验 圆盘B与C:速率选择器 金属蒸气 接抽气系接抽气泵 t日 实验指出,当圆盘以不同的 D 角速度转动时,从屏上可测 S B 量出每次所沉积的金属层的 厚度,各次沉积的厚度对应 △N/N△t) 于不同速率区间内的分子数 比较这些厚度的比率,就可 以知道在分子射线中,不同 速率区间内的分子数与总分 子数之比(概率)。 U+△U 实验表明:在实验条件不变的情况下,分布在给定 速率区间内的相对分子数则是完全确定的
一、测定气体分子速率分布的实验 圆盘B与C：速率选择器 实验指出，当圆盘以不同的 角速度转动时，从屏上可测 量出每次所沉积的金属层的 厚度，各次沉积的厚度对应 于不同速率区间内的分子数 比较这些厚度的比率，就可 以知道在分子射线中，不同 速率区间内的分子数与总分 子数之比（概率）。 实验表明:在实验条件不变的情况下，分布在给定 速率区间内的相对分子数则是完全确定的
二、麦克斯韦气体分子速率分布定律 1.速率分布函数 为了定量地描述气体分子按速率分布的规律,引 入速率分布函数概念。 设在平衡状态下,一定量气体的分子总数为N,其中 速率在~v+dv区间内的分子数为dN dN/N为N个气体分子中,在速率附近处于速率区间 ⅴ~v+dv内的分子数小N与总分子数N的比值,也表示 分子在速率w~w+dv区间内的概率。 dN 说明:①在不同的v附近取相等的间隔dv,x般的 值是不同的; dw 即N与v有关,它与v的一定函数成正比
二、麦克斯韦气体分子速率分布定律 1. 速率分布函数 ～为了定量地描述气体分子按速率分布的规律，引 入速率分布函数概念。 设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N，其中 速率在v～v+dv区间内的分子数为dN dN/N为N个气体分子中，在速率v附近处于速率区间 v～v+dv内的分子数dN与总分子数N的比值，也表示 分子在速率v～v+dv区间内的概率。 说明：①在不同的v附近取相等的间隔dv， 一般的 值是不同的； dN N 即 与v有关，它与v的一定函数成正比。 dN N
②在给定的v附近,若dv增加,则分布在该区间內的 分子数小N及也是增加的。若dv足够小,总可以 N 认为dNcd N 总之有 f(vdv f(v 速率分布函数 N 分布在速率V附近单位速率间隔内的分子数与总分 子数的比率。对处在一定温度下的气体,其仅为速率 v的函数。 其物理意义:气体分子在速率v附近单位速率间隔的概 率,也叫做概率密度。 任一有限速率区间内的分 △ f(ndi 子数占总分子数的比率
②在给定的v附近，若dv增加，则分布在该区间内的 分子数dN及 也是增加的。若dv足够小，总可以 认为 。 dN N dN dv N d ( ) N f v dv N 总之有： = d ( ) N f v Ndv = ～速率分布函数 ～分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数与总分 子数的比率。对处在一定温度下的气体，其仅为速率 v的函数。 其物理意义：气体分子在速率v附近单位速率间隔的概 率，也叫做概率密度。 任一有限速率区间内的分 子数占总分子数的比率： 2 1 ( ) v v N f v dv N =
全部分子N分布在0~∞速率范围内 即上式中,令V=0,V2=∞,△N=N 。f(v)ahv=1~速率分布函数的归一化条件 作业:P267问题77 2.麦克斯韦气体分子速率分布定律 1859年麦克斯韦首先从理论上导出 在平衡状态下,分子间的相互作用力可忽略不计时, 分布在任速率区间v~vdv内的分子的比率为: dw 77 f(dv=4( 2e2k712d azt
∵ 全部分子N分布在0～∞速率范围内， 1 2 即上式中，令 v v N N = = = 0, , 0 f v dv ( ) 1 = ～速率分布函数的归一化条件 作业：P267 问题 7-7 2.麦克斯韦气体分子速率分布定律 ～1859年麦克斯韦首先从理论上导出 2 3 d 2 2 2 ( ) 4 ( ) d 2 mv N m kT f v dv e v v N kT − = = 在平衡状态下，分子间的相互作用力可忽略不计时， 分布在任一速率区间v～v+dv内的分子的比率为：
IN f(y)= 4TO e2k72 Ndv 2元T 式中:T为气体的温度, f(v) m为分子的质量,k为 f(v 面积=dN/N 玻耳兹曼常量 麦克斯韦速率分布定律。 f(v)~v图线,图中的矩形面 v.+c 积表示在速率区间y-+ch的相对分子数,或分 子处于此速率区间的概率。 曲线下的总面积表示速率分布在由零到无限大整 个区间内的全部相对分子数的总和;麦克斯韦气体 分子速率分布定律是气体动理论的基本规律之
2 2 2 3 2 ) 2 4 ( d d ( ) e v k T m N v N f v kT mv − = = 面积= dNv /N 式中: T为气体的温度， m为分子的质量，k为 玻耳兹曼常量 ～麦克斯韦速率分布定律。 表示在速率区间 的相对分子数，或分 子处于此速率区间的概率。 图线，图中的矩形面 积， f v v ( ) v v dv + p v f v( ) v vv dv + ( ) p f v 0 •曲线下的总面积表示速率分布在由零到无限大整 个区间内的全部相对分子数的总和；麦克斯韦气体 分子速率分布定律是气体动理论的基本规律之一
三、三种统计速率 1)最概然速率v 在f(v)-v的关系曲线中 ,f(v)与的极大值相对应的 速率叫做最概然速率,也称 为最可几速率。 V的物理意义是:如把气体分子的速率分成许多相 等速率间隔,则气体在一定温度下分布在最概然速 率v附近单位速率间隔内的相对分子数最多。即, 分子分布在Vp附近的概率最大。 令 df(v) 2kT 2kNT 2RT T 0 ≈14 mM M ↓M A
三、三种统计速率 1）最概然速率 p v 令 d ( ) 0 d f v v = 2 2 2 1.41 A p A kT RT RT kN T v m mN M M = = = O v f(v) vp 在 的关系曲线中 ， 与的极大值相对应的 速率叫做最概然速率，也称 为最可几速率。 f v v ( ) f v( ) 的物理意义是：如把气体分子的速率分成许多相 等速率间隔，则气体在一定温度下分布在最概然速 率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多。即， 分子分布在 附近的概率最大。 p v p v p v
2)平均速率v 定量气体的分子数为N,则所有分子速率的算 术平均值。 N1V1+N2V2+…+N1+ ∑Nn∑N N,+N,+…+N,+ N 式中:N:(i=1,2,3.)具有速率v;(i=1,2,3.) 用小N代表气体分子速率在v~w+ch区间内的分子 数,则 vdn vNf(v)dv f(v)vdv= 4T e 2kTydv N N 2k·0 C e-u xdx 2KT 利用积分式 2
2）平均速率 v 式中：Ni (i=1,2,3…)具有速率vi (i=1,2,3…) ～一定量气体的分子数为N，则所有分子速率的算 术平均值。 1 1 2 2 1 2 i i i i i i i i i i i N v N v N v N v N v v N N N N N + + + + = = = + + + + 用dN代表气体分子速率在 区间内的分子 数，则 v v dv + 2 3 0 0 3 2 2 0 0 ( ) ( ) 4 ( ) 2 mv kT vdN vNf v dv m v f v vdv e v dv N N kT − = = = = 令 2 m kT = 利用积分式： 2 3 2 0 1 2 x e x dx − =
V=4m( vdv=4( 2丌kTJ0 2丌kT2a2 8kT 8RT RT ≈1.60 丌M 3)方均根速率vmn=Vv2: 大量气体分子速率平方的平均值的平方根。 v Nf(v)dv f(o) dv=4T( N N 2丌kT 0e2kT,,4 3kT 3RT RT ≈1.73 M M
2 3 3 2 2 3 2 0 1 4 ( ) 4 ( ) 2 2 2 m m v v e v dv kT kT − = = 8 8 1.60 kT RT RT v m M M = = ～大量气体分子速率平方的平均值的平方根。 3)方均根速率 ： 2 rms v v = 2 2 2 3 2 2 4 0 0 2 2 0 0 ( ) ( ) 4 ( ) 2 mv kT v dN v Nf v dv m v f v v dv e v dv N N kT − = = = = 2 3 3 1.73 rms kT RT RT v v m M M = = =