免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 圆的对称性 教学目标 (一)教学知识点 1.圆的轴对称性. 2.垂径定理及其逆定理 3.运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明 (二)能力训练要求 1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方 培养学生独立探索、相互合作交流的精神. (三)情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学 生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神 垂径定理及其逆定理 垂径定理及其逆定理的证明. 指导探索和自主探索相结合 投影片两张 第一张:做一做(记作§3.2.1A) 第二张:想一想(记作§3.2.1B) 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]前面我们已探讨过轴对称图形,哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义? [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个 图形叫轴对称图形,这条直线叫对称轴 [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形? [生]折叠 [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性 Ⅱ.讲授新课 [师]同学们想一想:圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 圆的对称性 教学目标 (一)教学知识点 1．圆的轴对称性． 2．垂径定理及其逆定理． 3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明． (二)能力训练要求 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方 法． 2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． (三)情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学 生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 垂径定理及其逆定理． 垂径定理及其逆定理的证明． 指导探索和自主探索相结合． 投影片两张： 第一张：做一做(记作§3．2．1A) 第二张：想一想(记作§3．2．1B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个 图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？ [生]折叠． [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uysl 条对称轴? [生]圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴,有无数条对称轴 [师]是吗?你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下 [生]我们可以利用折叠的方法,解决上述问题.把一个圆对折以后,圆的两半部分重 合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称 轴 [师]很好 教师板书 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念 1.圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc) 2.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦( chord) 3.直径:经过圆心的弦叫直径( diameter) 如下图,以A、B为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”;线段AB是⊙0 的一条弦,弧CD是⊙O的一条直径 注意 1.弧包括优弧( ma Jor arc)和劣弧( minor arc),大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的 弧称为劣弧.如上图中,以A、D为端点的弧有两条:优弧ACD(记作ACD),劣弧ABD(记 作AD).半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫半圆弧,简称半 圆.半圆是弧,但弧不一定是半圆;半圆既不是劣弧,也不是优弧. 2.直径是弦,但弦不一定是直径 下面我们一起来做一做:(出示投影片§3. 按下面的步骤做一做: 1.在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,使圆的两半部分重 解压密码联系qq11919686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 条对称轴？ [生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下． [生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重 合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称 轴． [师]很好． 教师板书： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)． 如下图，以 A、B 为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”；线段 AB 是⊙O 的一条弦，弧 CD 是⊙O 的一条直径． 注意： 1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的 弧称为劣弧．如上图中，以 A、D 为端点的弧有两条：优弧 ACD(记作 ACD )，劣弧 ABD(记 作 AD )．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半 圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 2．直径是弦，但弦不一定是直径． 下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A) 按下面的步骤做一做： 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 2.得到一条折痕CD 3.在⊙0上任取一点A,过点A作CD折痕的垂线,得到新的折痕,其中,点M是两条 折痕的交点,即垂足 4.将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B,如上图 [师]老师和大家一起动手 (教师叙述步骤,师生共同操作) [师]通过第一步,我们可以得到什么? [生齐声]可以知道:圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴 [师]很好.在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段和相等的弧? [生]我发现了,AM=BM,AC=BC,AD=BD [师]为什么呢? [生]因为折痕M与BM互相重合,A点与B点重合 [师]还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系? [师生共析]如下图示,连接OA、OB得到等腰△OAB,即OA=OB.因CD⊥AB,故△OAM 与△OBM都是Rt△,又OM为公共边,所以两个直角三角形全等,则AM=BM.又⊙0关于直 径CD对称,所以A点和B点关于CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC 与BC重合,AD与BD重合,因此M=B,AC=BC,AD=BD [师]在上述操作过程中,你会得出什么结论? 解压密码联系qq11919686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 合． 2．得到一条折痕 CD． 3．在⊙O 上任取一点 A，过点 A 作 CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点 M 是两条 折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点 B，如上图． [师]老师和大家一起动手． (教师叙述步骤，师生共同操作) [师]通过第一步，我们可以得到什么？ [生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴． [师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？ [生]我发现了，AM＝BM， AC BC = ， AD BD = ． [师]为什么呢？ [生]因为折痕 AM 与 BM 互相重合，A 点与 B 点重合． [师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？ [师生共析]如下图示，连接 OA、OB 得到等腰△OAB，即 OA＝OB．因 CD⊥AB，故△OAM 与△OBM 都是 Rt△，又 OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则 AM＝BM．又⊙O 关于直 径 CD 对称，所以 A 点和 B 点关于 CD 对称，当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， 与 重合， 与 重合．因此 AM＝BM， = ， = ． [师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生]垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧 [师]同学们总结得很好.这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质 一垂径定理.在这里注意;①条件中的“弦”可以是直径.②结论中的“平分弧”指平分弦 所对的劣弧、优弦 下面,我们一起看一下定理的证明 (教师边板书,边叙述) 如上图,连结OA、OB,则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中 0A=0B, O OM, Rt△OAM≌Rt△OBM, ∴AM=BM ∴.点A和点B关于CD对称 ∵⊙O关于直径CD对称, 当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC与BC重合,AD与BD重合 AD-BD [师]为了运用的方便,不易出现错误,易于记忆,可将原定理叙述为:一条直线若满 足:(1)过圆心;(2)垂直于弦,那么可推出:①平分弦,②平分弦所对的优弧,③平分弦所 对的劣弧 即垂径定理的条件有两项,结论有三项.用符号语言可表述为 如图3-7,在⊙O中, AM= BM CD是直径 →{AD=BD, CD⊥AB于M AC= BC 下面,我们通过求解例1,来熟悉垂径定理: [例1如下图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD的圆心), 其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,BF=90m,求这段弯路的半径 解压密码联系qq11919686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com [生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． [师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质— —垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦 所对的劣弧、优弦． 下面，我们一起看一下定理的证明： (教师边板书，边叙述) 如上图，连结 OA、OB，则 OA＝OB． 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中， ∵OA＝OB，OM＝OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM． ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称． ∵⊙O 关于直径 CD 对称， ∴当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， 与 重合， 与 重合． ∴ = ， = ． [师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满 足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所 对的劣弧． 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为： 如图 3－7，在⊙O 中， AM BM CD AD BD CD AB M AC BC = = ⊥ = ， 是直径 ， 于 ． 下面，我们通过求解例 1，来熟悉垂径定理： [例 1]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点 O 是 的圆心)， 其中 CD＝600m，E 为 CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF＝90m，求这段弯路的半径．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ D [师生共析]要求弯路的半径,连结OC,只要求出OC的长便可以了.因为已知OE⊥CD, 所以 CD=300cm,OF=OE-E,此时就得到了一个Rt△CFO,哪位同学能口述一下如 何求解? [生]连结OC,设弯路的半径为Rm,则 OF=(R-90)m,∵OE⊥CD, ∵.CF=-CD=×600=300(m) 据勾股定理,得 OC=CF+OF, 即R=3002+(R-90)2 解这个方程,得R=545 ∴这段弯路的半径为545m [师]在上述解题过程中使用了列方程的方法,用代数方法解决几何问题,这种思想应 在今后的解题过程中注意运用 随堂练习:Pg2.1.略 下面我们来想一想(出示投影片§3.2.1B) 如下图示,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M. [师]上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? [生]它是轴对称图形,其对称轴是直径CD所在的直线 [师]很好.你是用什么方法验证上述结论的?大家互相交流讨论一下,你还有什么发 解压密码联系qq11919686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com [师生共析]要求弯路的半径，连结 OC，只要求出 OC 的长便可以了．因为已知 OE⊥CD， 所以 CF＝ 1 2 CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个 Rt△CFO，哪位同学能口述一下如 何求解？ [生]连结 OC，设弯路的半径为 R m，则 OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD， ∴CF＝ 1 2 CD＝ 1 2 ×600＝300(m)． 据勾股定理，得 OC 2＝CF 2＋OF 2， 即 R 2＝3002＋(R－90)2 解这个方程，得 R＝545． ∴这段弯路的半径为 545m． [师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应 在今后的解题过程中注意运用． 随堂练习：P92．1．略 下面我们来想一想(出示投影片§3．2．1B) 如下图示，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M． [师]上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ [生]它是轴对称图形，其对称轴是直径 CD 所在的直线． [师]很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发 现？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生]通过折叠的方法,与刚才垂径定理的探索方法类似,在一张纸上画一个⊙O,作 条不是直径的弦AB,将圆对折,使点A与点B重合,便得到一条折痕CD与弦AB交于点M.CD 就是⊙O的对称轴,A点、B点关于直径CD对称.由轴对称可知,AB⊥CD,AC=BC,AD=BD [师]大家想想还有别的方法吗?互相讨论一下 [生]如上图.连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB,即OA=0B,又AM=MB,即M点为 等腰△OAB底边上的中线.由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB,又CD是⊙O的对称 轴,当圆沿CD对折时,点A与点B重合,AC与BC重合,AD与BD重合 [师]在上述的探讨中,你会得出什么结论? [生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 [师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”? [生]因为圆的任意两条直径互相平分,但是它们不一定是互相垂直的 [师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理 [师]同学们,你能写出它的证明过程吗? [生]如上图,连结OA、OB,则OA=OB 在等腰△OAB中,∵AM=MB, ∵.CD⊥AB(等腰三角形的三线合一) ∵⊙O关于直径CD对称 ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC与BC重合,AD与BD重合 [师]接下来,做随堂练习:Ps 2.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?为什么? 答:相等 理由:如下图示,过圆心0作垂直于弦的直径B,由垂径定理设AF=B,CF=D 用等量减等量差相等,得AF-C=BF-D,即AC=BD,故结论成立 解压密码联系qq11919686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com [生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一 条不是直径的弦 AB，将圆对折，使点 A 与点 B 重合，便得到一条折痕 CD 与弦 AB 交于点 M．CD 就是⊙O 的对称轴，A 点、B 点关于直径 CD 对称．由轴对称可知，AB⊥CD， = ， = ． [师]大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下． [生]如上图．连接 OA、OB 便可得到一个等腰△OAB，即 OA＝OB，又 AM＝MB，即 M 点为 等腰△OAB 底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知 CD⊥AB，又 CD 是⊙O 的对称 轴，当圆沿 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， 与 重合， 与 重合． [师]在上述的探讨中，你会得出什么结论？ [生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． [师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”？ [生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的． [师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理． [师]同学们，你能写出它的证明过程吗？ [生]如上图，连结 OA、OB，则 OA＝OB． 在等腰△OAB 中，∵AM＝MB， ∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)． ∵⊙O 关于直径 CD 对称． ∴当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， 与 重合， 与 重合． ∴ = ， = ． [师]接下来，做随堂练习：P92． 2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 答：相等． 理由：如下图示，过圆心 O 作垂直于弦的直径 EF，由垂径定理设 = ， = ， 用等量减等量差相等，得 － = － ，即 = ，故结论成立．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ O 符合条件的图形有三种情况:(1)圆心在平行弦外,(2)在其中一条线弦上,(3)在平行 弦内,但理由相同 Ⅲ.课时小结 1.本节课我们探索了圆的对称性 2.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理 3.垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决计算弦长、半径、弦心距等 问题. Ⅳ.课后作业 (一)课本P3,习题3.2,1、2 (二)1.预习内容:P94-97 预习提纲 (1)圆是中心对称图形 (2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理 V.活动与探究 1.银川市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示, 污水水面宽度为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道? [过程]让学生在探究过程中,进一步把实际问题转化为数学问题,掌握通过作辅助线 构造垂径定理基本结构图,进而发展学生的思维 [结果] 解压密码联系qq11919686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行 弦内，但理由相同． Ⅲ．课时小结 1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等 问题． Ⅳ．课后作业 (一)课本 P93，习题 3．2，1、2 (二)1．预习内容：P94～97 2．预习提纲： (1)圆是中心对称图形． (2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理． Ⅴ．活动与探究 1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示， 污水水面宽度为 60cm，水面至管道顶部距离为 10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？ [过程]让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线 构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维． [结果]
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 如下图示,连结OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于F,则AE=AB=30cm.令⊙ 0的半径为R,则OA=R,OE=OF-BF=R-10.在Rt△AEO中,Of=AE+DE,即R=303 +(R-10)2.解得R=50cm.修理人员应准备内径为100cm的管道. 板书设计 §3.2.1圆的对称性 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直径 、与圆有关的概念 1.圆弧 3.直径 注意:弧包括优弧、劣弧、半圆 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧 例1:略 四、垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 注意;弦不是直径 五、课堂练习 六、课时小结 七、课后作业 解压密码联系qq11919686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 如下图示，连结 OA，过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，交圆于 F，则 AE＝ 1 2 AB＝30cm．令⊙ O 的半径为 R，则 OA＝R，OE＝OF－EF＝R－10．在 Rt△AEO 中，OA 2＝AE 2＋OE 2，即 R 2＝302 ＋(R－10)2．解得 R＝50cm．修理人员应准备内径为 100cm 的管道． 板书设计 §3．2．1 圆的对称性 一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直径． 二、与圆有关的概念： 1．圆弧 2．弦 3．直径 注意：弧包括优弧、劣弧、半圆． 三、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 例 1：略 四、垂径定理逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 注意；弦不是直径． 五、课堂练习 六、课时小结 七、课后作业