免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 圆周角和圆心角的关系 教学目标 (一)教学知识点 1.了解圆周角的概念 2.理解圆周角定理的证明 (二)能力训练要求 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一 般性问题的方法,渗透分类的数学思想. (三)情感与价值观要求 通过观察、猜想、验证推理,培养学生探索数学问题的能力和方法. 教学重点 圆周角概念及圆周角定理 教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性 教学方法 指导探索法 教具准备 投影片两张 第一张:射门游戏(记作§3.3.1A) 第二张:补充练习1(记作§3.3.1B) 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]前面我们学习了与圆有关的哪种角?它有什么特点?请同学们画一个圆心角 [生]学习了圆心角,它的顶点在圆心 [师]圆心是圆中一个特殊的点,当角的顶点在圆心时,就有圆心角.这样角与圆两种 不同的图形产生了联系,在圆中还有比较特殊的点吗?如果有,把这样的点作为角的顶点, 会是怎样的图形? Ⅱ.讲授新课 1.圆周角的概念 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 圆周角和圆心角的关系 教学目标 (一)教学知识点 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角定理的证明． (二)能力训练要求 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一 般性问题的方法，渗透分类的数学思想． (三)情感与价值观要求 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法． 教学重点 圆周角概念及圆周角定理． 教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性． 教学方法 指导探索法． 教具准备 投影片两张 第一张：射门游戏(记作§3．3．1A) 第二张：补充练习 1(记作§3．3．1B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角． [生]学习了圆心角，它的顶点在圆心． [师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角．这样角与圆两种 不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点， 会是怎样的图形？ Ⅱ．讲授新课 1．圆周角的概念
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [师]同学们请观察下面的图(1).(出示投影片3.3.1A 这是一个射门游戏,球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC 有关 (1) [师]图中的∠ABC,顶点在什么位置?角的两边有什么特点? [生]∠ABC的顶点B在圆上,它的两边分别和圆有另一个交点.(通过学生观察,类比 得到定义) 圆周角( angle in a circular segment)定义:顶点在圆上,并且角的两边和圆相交的 角 [师]请同学们考虑两个问题: (1)顶点在圆上的角是圆周角吗? (2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗? 请同学们画图回答上述问题 [师]通过画图,相互交流,讨论认清圆周角概念的本质特征,从而总结出圆周角的 个特征 (1)角的顶点在圆上 (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦 2.补充练习1(出示投影片§3.3.1B) 判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并说明理由 答:由圆周角的两个特征知,只有C是圆周角,而A、B、D、E都不是 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com [师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片 3．3．1A) 这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置 B 对球门 AC 的张角(∠ABC) 有关． [师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ [生]∠ABC 的顶点 B 在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．(通过学生观察，类比 得到定义) 圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的 角． [师]请同学们考虑两个问题： (1)顶点在圆上的角是圆周角吗？ (2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？ 请同学们画图回答上述问题． [师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两 个特征： (1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦． 2．补充练习 1(出示投影片§3．3．1B) 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由． 答：由圆周角的两个特征知，只有 C 是圆周角，而 A、B、D、E 都不是．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 3.研究圆周角和圆心角的关系 [师]在图(1)中,当球员在B、DE处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个 张角∠ABC,∠A,∠AEC.这三个角的大小有什么关系? 我们知道,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.那么,在同圆或等圆中, 相等的弧所对的圆周角有什么关系? [师]请同学们动手画出⊙0中AC所对的圆心角和圆周角.观察AC所对的圆周角有几 个?它们的大小有什么关系?你是通过什么方法得到的?AC所对的圆心角和所对的圆周 角之间有什么关系? 2 [生]AC所对的圆周角有无数个.通过测量的方法得知:AC所对的圆周角相等,所 对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半 师]对于有限次的测量得到的结论,必须通过其论证,怎么证明呢?说说你的想法, 并与同伴交流 [生]互相讨论、交流,寻找解题途径 [师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下.圆周角一特殊→一边经过圆心 由下图可知,显然∠ABC=-∠AO,结论成立 (学生口述,教师板书) 如上图,已知:⊙0中,AC所对的圆周角是∠ABC,圆心角是∠AOC 求证:∠ABC=-AOC. 2 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3．研究圆周角和圆心角的关系． [师]在图(1)中，当球员在 B、D、E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别形成三个 张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？ 我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中， 相等的弧所对的圆周角有什么关系？ [师]请同学们动手画出⊙O 中 所对的圆心角和圆周角．观察 所对的圆周角有几 个？它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到的？ 所对的圆心角和所对的圆周 角之间有什么关系？ [生] 所对的圆周角有无数个．通过测量的方法得知： 所对的圆周角相等，所 对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半． [师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法， 并与同伴交流． [生]互相讨论、交流，寻找解题途径． [师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角 ⎯⎯⎯→ 特殊 一边经过圆心． 由下图可知，显然∠ABC＝ 1 2 ∠AOC，结论成立． (学生口述，教师板书) 如上图，已知：⊙O 中， 所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC． 求证：∠ABC＝ 1 2 AOC．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 证明:∠AC是△ABO的外角, ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO. ∵O=OB, ∴∠ABD=∠BAO ∴∠AC=2∠ABO 即∠ABC=-∠AOC [师]如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图),那么结果怎样?特殊情况会给我们什么 启发吗?你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗?(学生互相交流、讨 [生甲]如图(1),点O在∠ABC内部时,只要作出直径BD,将这个角转化为上述情况的 两个角的和即可证出 由刚才的结论可知: ∠ABD=∠AOD,∠CBD==∠COD ∴∠AB叶+∠CBD=-(∠AOD叶+∠COD,即∠ABC=-∠AOC [生乙]在图(2)中,当点O在∠ABC外部时,仍然是作出直径BD,将这个角转化成上述 情形的两个角的差即可 由前面的结果,有 ∠ABD=-∠AOD,∠CBD=-∠COD ∠ABD-∠CBD=-(∠AOD∠COD,即∠ABC=-∠AOC. [师]还会有其他情况吗?请思考 [生]不会有 [师]经过刚才我们一起探讨,得到了什么结论 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 证明：∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO． ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO． ∴∠AOC＝2∠ABO． 即∠ABC＝ 1 2 ∠AOC． [师]如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么 启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨 论) [生甲]如图(1)，点 O 在∠ABC 内部时，只要作出直径 BD，将这个角转化为上述情况的 两个角的和即可证出． 由刚才的结论可知： ∠ABD＝ 1 2 ∠AOD，∠CBD＝ 1 2 ∠COD， ∴∠ABD＋∠CBD＝ 1 2 (∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝ 1 2 ∠AOC． [生乙]在图(2)中，当点 O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径 BD，将这个角转化成上述 情形的两个角的差即可． 由前面的结果，有 ∠ABD＝ 1 2 ∠AOD，∠CBD＝ 1 2 ∠COD． ∴∠ABD－∠CBD＝ 1 2 (∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝ 1 2 ∠AOC． [师]还会有其他情况吗？请思考． [生]不会有． [师]经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 [师]这一结论称为圆周角定理.在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中,我 们学到了什么方法? [生]由“特殊到一般”的思想方法,转化的方法,分类讨论的方法, [师]好,同学们总结得很好.由此我们可以知道,当解决一问题有困难时,可以首先 考虑其特殊情形,然后再设法解决一般问题,这是解决问题时常用的策略.今后我们在处理 问题时,注意运用 4.课本P13,随堂练习1、2 Ⅲ.课时小结 [师]到目前为止,我们学习到和圆有关系的角有几个?它们各有什么特点?相互之间 有什么关系? [生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心,圆周角顶点在圆上,角 的两边和圆相交.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 [师]这节课我们学会了什么定理?是如何进行探索的? [生]我们学会了圆周角定理.通过分类讨论的思想方法,渗透了由特殊到一般的转化 方法.对定理进行了研究和证明. [师]好,同学们今后在学习中,要注意探索问题方法的应用 注意:(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角,结论是圆周角等于圆心角的 (2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半” Ⅳ.课后作业 习题3.4 V.活动与探究 同学们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫圆周角,因为一条弧所对的 角圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角 的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相 交的角叫圆外角如下图中,∠DPB是圆外角,那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧BD和AC 的度数有什么关系?类似地可定义圆内角及其度量 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com [生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． [师]这一结论称为圆周角定理．在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我 们学到了什么方法？ [生]由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法，…… [师]好，同学们总结得很好．由此我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先 考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略．今后我们在处理 问题时，注意运用． 4．课本 P103，随堂练习 1、2 Ⅲ．课时小结 [师]到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？它们各有什么特点？相互之间 有什么关系？ [生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角．圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，角 的两边和圆相交．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． [师]这节课我们学会了什么定理？是如何进行探索的？ [生]我们学会了圆周角定理．通过分类讨论的思想方法，渗透了由特殊到一般的转化 方法．对定理进行了研究和证明． [师]好，同学们今后在学习中，要注意探索问题方法的应用． 注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的 一半． (2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”． Ⅳ．课后作业 习题 3．4 Ⅴ．活动与探究 同学们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角，因为一条弧所对的 角圆周角等于它所对的圆心角的一半，而圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以圆周角 的度数等于它所对的弧的度数的一半．类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相 交的角叫圆外角．如下图中，∠DPB 是圆外角，那么∠DPB 的度数与它所夹的两段弧 和 的度数有什么关系？类似地可定义圆内角及其度量．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号): (2)证明你的结论 [过程]让学生通过思考讨论,想办法把圆外角转化成和已学过的圆周角联系起来,借 助圆周角把∠DB的度数转化成它所夹的两段弧BD和AC的度数差的一半 [结果](1)圆外角的度数等于它所夹弧的度数差的一半 (2)证明:连结BC ∴∠DCB=∠DPB+∠ABC, ∴∠DPB=∠DCB-∠ABC 而∠DCB=BD的度数 ∠ABC=1AC的度数 ∠DB=(BD的度数一AC的度数) 板书设计 §3.3.1圆周角和圆心角的关系( 1.探究圆周角的定义及其特征 2.探究圆周角定理及其证明. 、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号)：________； (2)证明你的结论． [过程]让学生通过思考讨论，想办法把圆外角转化成和已学过的圆周角联系起来，借 助圆周角把∠DPB 的度数转化成它所夹的两段弧 和 的度数差的一半． [结果](1)圆外角的度数等于它所夹弧的度数差的一半． (2)证明：连结 BC． ∵∠DCB＝∠DPB＋∠ABC， ∴∠DPB＝∠DCB－∠ABC． 而∠DCB＝ 2 1 的度数． ∠ABC＝ 2 1 的度数． ∴∠DPB＝ 1 2 ( 的度数－ 的度数)． 板书设计 §3．3．1 圆周角和圆心角的关系(一) 一、1．探究圆周角的定义及其特征． 2．探究圆周角定理及其证明． 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业