免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 圆周角和圆心角的关系 教学目标 (一)教学知识点 1.掌握圆周角定理几个推论的内容. 2.会熟练运用推论解决问题 (二)能力训练要求 1.培养学生观察、分析及理解问题的能力 2.在学生自主探索推论的过程中,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确的学习方 式 (三)情感与价值观要求 培养学生的探索精神和解决问题的能力. 教学重点 圆周角定理的几个推论的应用 教学难点 理解几个推论的“题设”和“结论” 教学方法 指导探索法 教具准备 投影片三张 第一张:引例(记作§3.3.2A) 第二张:例题(记作§3.3.2B) 第三张:做一做(记作§3.3.2C) 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关 系? [生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即圆 周角定理 [师]我们在分析、证明上述定理证明过程中,用到了些什么数学思想方法? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 圆周角和圆心角的关系 教学目标 (一)教学知识点 1．掌握圆周角定理几个推论的内容． 2．会熟练运用推论解决问题． (二)能力训练要求 1．培养学生观察、分析及理解问题的能力． 2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方 式． (三)情感与价值观要求 培养学生的探索精神和解决问题的能力． 教学重点 圆周角定理的几个推论的应用． 教学难点 理解几个推论的“题设”和“结论”． 教学方法 指导探索法． 教具准备 投影片三张 第一张：引例(记作§3．3．2A) 第二张：例题(记作§3．3．2B) 第三张：做一做(记作§3．3．2C) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角？它们之间有什么关 系？ [生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆 周角定理． [师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生]分类讨论、化归、转化思想方法 师]同学们请看下面这个问题:(出示投影片§3.3 已知弦AB和(D交于 ⊙O内一点P,如下图 求证:PA·PB=PC·PD. [师生共析]要证PA·PB=PC·PD,可证 PA PC 由此考虑证明PA、PC为边的三 PD PB 角形与以P、PB为边的三角形相似.由于图中没有这两个三角形,所以考虑作辅助线AC 和BD.要证△PAC∽△PDB.由已知条件可得∠AC与∠DB相等.如能再找到一对角相等.如 ∠A=∠D或∠C=∠B.便可证得所求结论.如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B.要想解决这个 问题,我们需先进行下面的学习 Ⅱ.讲授新课 [师]请同学们画一个圆,以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)它 们的大小有什么关系?你是如何得到的? [生]AC所对的圆周角有无数个,它们的大小相等,我是通过度量得到的 [师]大家想一想,我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC=∠ADC=∠AC?(同学 们互相交流、讨论) [生]由图可以看出,∠ABC∠ADC和∠AEC是同弧(AC)所对的圆周角,根据上节课 我们所学的圆周角定理可知,它们都等于圆心角∠AOC的一半,所以这几个圆周角相等 [师]通过刚才同学的学习,我们上面提出的问题∠A=∠D或∠C=∠B找到答案了吗? [生]找到了,它们属于同弧所对的圆周角.由于它们都等于同弧所对圆心角的一半, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com [生]分类讨论、化归、转化思想方法． [师]同学们请看下面这个问题：(出示投影片§3．3．2A) 已知弦 AB 和 CD 交于⊙O 内一点 P，如下图． 求证：PA·PB＝PC·PD． [师生共析]要证 PA·PB＝PC·PD，可证 PA PC PD PB = ．由此考虑证明 PA、PC 为边的三 角形与以 PD、PB 为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线 AC 和 BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC 与∠DPB 相等．如能再找到一对角相等．如 ∠A＝∠D 或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A＝∠D 或∠C＝∠B．要想解决这个 问题，我们需先进行下面的学习． Ⅱ．讲授新课 [师]请同学们画一个圆，以 A、C 为端点的弧所对的圆周角有多少个？(至少画三个)它 们的大小有什么关系？你是如何得到的？ [生] AC 所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的． [师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC？(同学 们互相交流、讨论) [生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC 和∠AEC 是同弧( AC )所对的圆周角，根据上节课 我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC 的一半，所以这几个圆周角相等． [师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A＝∠D 或∠C＝∠B 找到答案了吗？ [生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 这样可知∠A=∠D或∠C=∠B. [师]如果我们把上面的同弧改成等弧,结论一样吗? [生]一样,等弧所对的圆心角相等,而圆周角等于圆心角的一半.这样,我们便可得 到等弧所对的圆周角相等 [师]通过我们刚才的探讨,我们可以得到一个推论 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等. 师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,结论成立吗?请同学们 互相议 [生]如下图,结论不成立.因为一条弦所对的圆周角有两种可能,在弦不是直径的情 况下是不相等的 注意:(1)“同弧”指“同一个圆” (2)“等弧”指“在同圆或等圆中” (3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦” [师]接下来我们看下面的问题 如下图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、直角,还是钝角?你是如何判断 的?(同学们互相交流、讨论) [生]直径BC所对的圆周角是直角,因为一条直径将圆分成了两个半圆,而半圆所对的 圆心角是∠BOC=180°,所以∠BAC=∠90° [师]反过来,在下图中,如果圆周角∠BAC=90°,那么它所对的弦BC经过圆心O吗? 为什么? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 这样可知∠A＝∠D 或∠C＝∠B． [师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗？ [生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半．这样，我们便可得 到等弧所对的圆周角相等． [师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． [师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们 互相议一议． [生]如下图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的情 况下是不相等的． 注意：(1)“同弧”指“同一个圆”． (2)“等弧”指“在同圆或等圆中”． (3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”． [师]接下来我们看下面的问题： 如下图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角？你是如何判断 的？(同学们互相交流、讨论) [生]直径 BC 所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的 圆心角是∠BOC＝180°，所以∠BAC＝∠90°． [师]反过来，在下图中，如果圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦 BC 经过圆心 O 吗？ 为什么？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ C [生]弦BC经过圆心O,因为圆周角∠BAC=90°.连结OBO,所以圆心角∠BC=180° 即BC是一条线段,也就是BC是⊙O的一条直径 [师]通过刚才大家的交流,我们又得到了圆周角定理的又一个推论 直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 注意:这一推论应用非常广泛,一般地,如果题目的已知条件中有直径时,往往作出 直径上的圆周角一一直角:;如果需要直角或证明垂直时,往往作出直径即可解决问题 [师]为了进一步熟悉推论,我们看下面的例题.(出示投影片 [例]如图示,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长B到C,使AC=AB,BD与CD的 大小有什么关系?为什么? [师生共析]由于AB是⊙O的直径,故连接AD.由推论直径所对的圆周角是直角,便可 得AD⊥BC,又因为△ABC中,AC=AB,所以由等腰三角形的三线合一,可证得BD=CD. 下面哪位同学能叙述一下理由? [生]BD=CD.理由是 连结AD. ∵AB是⊙O的直径, ∠ADB=90° 又∵AC=AB, ∴BD=CD. [师]通过我们学习圆周角定理及推论,大家互相交流,讨论一下,我们探索上述问题 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com [生]弦 BC 经过圆心 O，因为圆周角∠BAC＝90°．连结 OB、OC，所以圆心角∠BOC＝180°， 即 BOC 是一条线段，也就是 BC 是⊙O 的一条直径． [师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论： 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出 直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题． [师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．(出示投影片§3．3．2B) [例]如图示，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC＝AB，BD 与 CD 的 大小有什么关系？为什么？ [师生共析]由于 AB 是⊙O 的直径，故连接 AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可 得 AD⊥BC，又因为△ABC 中，AC＝AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得 BD＝CD． 下面哪位同学能叙述一下理由？ [生]BD＝CD．理由是： 连结 AD． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， 即 AD⊥BC． 又∵AC＝AB， ∴BD＝CD． [师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 时,用到了哪些方法?试举例说明 [生]在得出本节的结论过程中,我们用到了度量与证明的方法.比如说在研究同圆或 等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等:还学到了分类与转化的方法.比如说在探索圆周角 定理过程中,定理的证明应分三种情况,在这三种情况中,第一种情况是特殊情况,是证明 的基础,其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决.再比如说,学习圆周角定义时,可 由前面学习到的圆心角类比得出圆周角的概念… Ⅲ.Pu随堂练习 1.为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形?说一说这种设计的合理性 答:有些电影院的坐位排列呈圆弧形,这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相 等 2.如下图,哪个角与∠BAC相等? 答:∠BDC=∠BAC 3.如下图,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上的一点,∠ABC=30°,求AC的长 解:∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB=90° 又∵∠ABC=30°, AC=AB=-×10=5(cm) 4.小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.根据下图,你能判断哪个是半圆 形?为什么? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 时，用到了哪些方法？试举例说明． [生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法．比如说在研究同圆或 等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角 定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明 的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决．再比如说，学习圆周角定义时，可 由前面学习到的圆心角类比得出圆周角的概念…… Ⅲ．P107 随堂练习 1．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性． 答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相 等． 2．如下图，哪个角与∠BAC 相等？ 答：∠BDC＝∠BAC． 3．如下图，⊙O 的直径 AB＝10cm，C 为⊙O 上的一点，∠ABC＝30°，求 AC 的长． 解：∵AB 为⊙O 的直径． ∴∠ACB＝90°． 又∵∠ABC＝30°， ∴AC＝ 1 2 AB＝ 1 2 ×10＝5(cm)． 4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半圆 形？为什么？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ u边网 (1) 答:图(2)是半圆形、理由是:90°的圆周角所对的弦是直径 Ⅳ.下面我们一起来看一个问题:做一做(出示投影片§3.3.2C) 船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如下图,A、B表示 灯塔,暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,∠ACB就是“危 险角”,当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁;当船与两个灯塔的夹角 小于“危险角”时,就能避免触礁 (1)当船与两个灯塔的夹角∠a大于“危险角”时,船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠a小于“危险角”时,船位于哪个区域?为什么? 分析:这是一个有实际背景的问题.由题意可知:“危险角”∠ACB实际上就是圆周角.船 P与两个灯塔的夹角为∠a,P有可能在⊙O外,P有可能在⊙O内,当∠a>∠C时,船位 于暗礁区域内;当∠α∠C矛盾,所以船不可能在⊙O 上:假设船在⊙0外,则有∠a∠C矛盾,所以船不可 能在⊙O外.因此,船只能位于⊙O内 (2)当船与两个灯塔的夹角∠a小于“危险角”∠C时,船位于暗礁区域外(即⊙O外).理 由是: 假设船在⊙O上,则有∠a=∠C,这与∠a∠AEB,即∠a>∠C.这与∠a<∠C矛盾,所以船不可能在⊙0 内,因此,船只能位于⊙O外 注意:用反证法证明命题的一般步骤 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径． Ⅳ．下面我们一起来看一个问题：做一做(出示投影片§3．3．2C) 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如下图，A、B 表示 灯塔，暗礁分布在经过 A、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危 险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角 小于“危险角”时，就能避免触礁． (1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？ (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？ 分析：这是一个有实际背景的问题．由题意可知：“危险角”∠ACB 实际上就是圆周角．船 P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位 于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)．理由是： 连结 BE，假设船在⊙O 上，则有∠α＝∠C，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可 能在⊙O 外．因此，船只能位于⊙O 内． (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C 时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理 由是： 假设船在⊙O 上，则有∠α＝∠C，这与∠α＜∠C 矛盾，所以船不可能在∠O 上；假设 船在⊙O 内，则有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C．这与∠α＜∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 内，因此，船只能位于⊙O 外． 注意：用反证法证明命题的一般步骤：
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (1)假设命题的结论不成立 (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾 (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. V.课时小结 本节课我们学习了圆周角定理的2个推论,结合我们上节课学到的圆周角定理,我们 知道,在同圆或等圆中,根据弦及其所对的圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,实现了圆 中这些量之间相等关系的转化,而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系,因此,最 终实现了圆中的角(圆心角和圆周角).线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相互 转化,从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法 Ⅵ.课后作业 课本P1习题3.5 Ⅶ.活动与探究 1.如下图,BC为⊙0的直径,AD⊥BC于D,P是AC上一动点,连结PB分别交AD AC于点E、F (1)当PA=AB时,求证:AE=EB (2)当点P在什么位置时,AF=EF.证明你的结论 [过程](1)连结AB,证AE=EB.需证∠ABE=∠BAE. (2)执果索因寻条件:要AF=EF,即要∠A=∠AEF,而∠AEF=∠BED,而要∠A=∠BED 只需∠B=∠C,从而转化为PC=AB [结果](1)证明:延长AD交⊙O于点M,连结AB、BM. ∵BC为⊙O的直径,AD⊥BC于D ∴AB=BM ∴∠BAD=∠BMD 又∵AB=AP 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾． (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． Ⅴ．课时小结 本节课我们学习了圆周角定理的 2 个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们 知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，实现了圆 中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最 终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)．线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相互 转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法． Ⅵ．课后作业 课本 P108 习题 3．5 Ⅶ．活动与探究 1．如下图，BC 为⊙O 的直径，AD⊥BC 于 D，P 是 AC 上一动点，连结 PB 分别交 AD、 AC 于点 E、F． (1)当 PA AB = 时，求证：AE＝EB； (2)当点 P 在什么位置时，AF＝EF．证明你的结论． [过程](1)连结 AB，证 AE＝EB．需证∠ABE＝∠BAE． (2)执果索因寻条件：要 AF＝EF，即要∠A＝∠AEF，而∠AEF＝∠BED，而要∠A＝∠BED， 只需∠B＝∠C，从而转化为 PC AB = ． [结果](1)证明：延长 AD 交⊙O 于点 M，连结 AB、BM． ∵BC 为⊙O 的直径，AD⊥BC 于 D． ∴ AB BM = ． ∴∠BAD＝∠BMD． 又∵ AB AP =
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∴∠ABP=∠BMD ∠BA=∠ABP ∴AE=BE. (2)当PC=AB时,AF=EF 证明:∵PC=AB, ∴∠PBC=∠ACB. 而∠AEF=∠BED=90°-∠PBC, ∠EAF=90°-∠ACB, ∴∠AEF=∠EAF ∴AF=EF 板书设计 §3.3.2圆周角和圆心角的关系(二) 、推论 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等 推论二 直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 三、例题 四、随堂练习 五、做一做(反证法) 六、课时小结 七、课后作业 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴∠ABP＝∠BMD． ∴∠BAD＝∠ABP． ∴AE＝BE． (2)当 PC AB = 时，AF＝EF． 证明：∵ PC AB = ， ∴∠PBC＝∠ACB． 而∠AEF＝∠BED＝90°－∠PBC， ∠EAF＝90°－∠ACB， ∴∠AEF＝∠EAF． ∴AF＝EF． 板书设计 §3．3．2 圆周角和圆心角的关系(二) 一、推论一： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 二、推论二： 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 三、例题 四、随堂练习 五、做一做(反证法) 六、课时小结 七、课后作业