免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 3.1.1圆的对称性(第一课时) 教学目标 了解圆的有关概念,理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题. 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程,讲授圆的有关概念.利用操作几何 的方法,理解圆是旋转对称图形和中心对称图形及圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它 的对称轴.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解. 通过对圆的图形的认识,使学生认识新的几何图形的对称美,体会所体现出的完美性 培养学生美的感受,激发学习兴趣 重难点、关键 1.重点:垂径定理及其运用 2.难点与关键:探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 教学过程 Ⅰ.创设现实情境,引入新课 [师]前面我们已经学习过两种常见的几何图形,三角形、四边形.大家回忆一下我们 是通过一些什么方法研究了它们的性质? [师]好!大家总结得很详细,今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触过 的另一种常见的几何图形一一圆 和三角形、四边形一样,圆的性质与应用同样需要通过轴反射、平移、旋转、推理证 明等方法去学习和探究 Ⅱ.讲授新课 [师]日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮 是什么形状的? [师]请同学们思考一个问题,为什么车轮要做成圆形呢?能否做成长方形或正方形? 老师这里有两个车轮模具,一个是圆形,一个是正方形.我们一起观察一下这两个车 轮在行进中有些什么特点?大家讨论 讨论如下图: [师]通过我们平常乘坐汽车,或骑自行车感受到,圆形的车轮只要路面平整,车子就 不会上下颠簸,人坐在车上就感到平稳、舒服.假如车轮是方形的,那么车子在行进中,就 会对人产生一种上下颠簸,坐着不舒服的感觉. 下面我们一起来探讨一下,是什么原因导致车轮要做成圆形,不能做成方形.看Ps3图 A、B表示车轮边缘上的两点,点O表示车轮的轴心,A、0之间的距离与BO之间的距离有 什么关系?用什么方法可以判断,大家动手做一做. [师]同学们做得很好.大家通过不同的方法,得到的结果是什么? [生]OA=OB [师]刚才是两个特殊点,现在我们在车轮边缘上任意取一点C,要使车轮能够平稳地滚 动,C、0之间的距离与A、O之间的距离应有什么关系? [生]α=AO.这样才能保证车轮平稳地滚动 [师]同学们以前画过圆,画一个圆很简单.将圆规的一个脚固定,另一个带有铅笔头 的脚转一圈,一个圆就画出来了.固定的那一点称为圆心.所画得的圆圈叫圆周.从画圆的 过程中可以看到,圆规两个脚之间的长度始终保持不变,也就是说圆心到圆周上任意一点的 距离都相等.这是圆的一个重要而又最基本的性质.人们就是用圆的这种性质来制造车轮的 车轴总是安装在车轮的圆心位置上,这样,车轴到车轮边缘的距离处处相等.也就是说,车 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 3.1.1 圆的对称性(第一课时) 教学目标 了解圆的有关概念,理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题. 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程,讲授圆的有关概念.利用操作几何 的方法,理解圆是旋转对称图形和中心对称图形及圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它 的对称轴.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解. 通过对圆的图形的认识,使学生认识新的几何图形的对称美,体会所体现出的完美性, 培养学生美的感受,激发学习兴趣. 重难点、关键 1.重点:垂径定理及其运用. 2.难点与关键:探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题. 教学过程 Ⅰ.创设现实情境,引入新课 [师]前面我们已经学习过两种常见的几何图形,三角形、四边形.大家回忆一下我们 是通过一些什么方法研究了它们的性质? [师]好!大家总结得很详细,今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触过 的另一种常见的几何图形——圆. 和三角形、四边形一样,圆的性质与应用同样需要通过轴反射、平移、旋转、推理证 明等方法去学习和探究. Ⅱ.讲授新课 [师]日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮 是什么形状的? [师]请同学们思考一个问题,为什么车轮要做成圆形呢?能否做成长方形或正方形? 老师这里有两个车轮模具,一个是圆形,一个是正方形.我们一起观察一下这两个车 轮在行进中有些什么特点?大家讨论. 讨论如下图: [师]通过我们平常乘坐汽车,或骑自行车感受到,圆形的车轮只要路面平整,车子就 不会上下颠簸,人坐在车上就感到平稳、舒服.假如车轮是方形的,那么车子在行进中,就 会对人产生一种上下颠簸,坐着不舒服的感觉. 下面我们一起来探讨一下,是什么原因导致车轮要做成圆形,不能做成方形.看 P83 图, A、B 表示车轮边缘上的两点,点 O 表示车轮的轴心,A、O 之间的距离与 B、O 之间的距离有 什么关系?用什么方法可以判断,大家动手做一做. [师]同学们做得很好.大家通过不同的方法,得到的结果是什么? [生]OA=OB. [师]刚才是两个特殊点,现在我们在车轮边缘上任意取一点 C,要使车轮能够平稳地滚 动,C、O 之间的距离与 A、O 之间的距离应有什么关系? [生]CO=AO.这样才能保证车轮平稳地滚动. [师]同学们以前画过圆,画一个圆很简单.将圆规的一个脚固定,另一个带有 铅笔头 的脚转一圈,一个圆就画出来了.固定的那一点称为圆心.所画得的圆圈叫圆周.从画圆的 过程中可以看到,圆规两个脚之间的长度始终保持不变,也就是说圆心到圆周上任意一点的 距离都相等.这是圆的一个重要而又最基本的性质.人们就是用圆的这种性质来制造车轮的, 车轴总是安装在车轮的圆心位置上,这样,车轴到车轮边缘的距离处处相等.也就是说,车
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 子在行进中,车轴离路面的距离总是一样的.车子在平路上行走较平稳,假如是方形的,车 轴到路面的距离时大时小,车子就会产生颠簸 2、圆的定义: 平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆( circle).其中,定点称 为圆心( Centre of a circle),定长称为半径( radius).以点O为圆心的圆记作⊙O,读作 圆O” 注意:确定一个圆需要两个要素,一是位置,二是大小.圆心确定其位置,半径确定 其大小.只有圆心没有半径,虽圆的位置固定,但大小不定,因而圆不确定;只有半径而 没有圆心,虽圆的大小固定,但圆心的位置不定,因而圆也不确定.只有圆心和半径都固定 圆才被唯一确定 体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3m的圆,你能帮他 想想办法 答:将绳子的一端A固定,然后拉紧绳子的另一端B,并绕A在地上转一圈,B所经过 的路径就是所希望的圆 小结:圆也可以看成平面内一动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。 同时,我们又把 ①连结圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB; ②经过圆心的弦叫做直径,如图24-1线段AB 直径是弦,是圆内最长的弦,但弦不一定是直径 3、圆的三种对称性 (1)什么是相等的圆(等圆)? (2)圆有几种对称性? 圆是旋转对称图形,即圆绕圆心旋转任意角度,都能与自身重合 特别地,圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。 圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2.你是用什么方法解决上述问题的?与同伴进行交流 (老师点评)1.圆是轴对称图形,它的对称轴是直径,我能找到无数多条直径 3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的 因此,我们可以得到 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线,或任意一条直径所在的直线 (学生活动)请同学按下面要求完成下题: 如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M (1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些线段的等量关系?说一说你理由 (老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是CD (2)AM=BM,即直径CD平分弦AB 这样,我们就得到下面的定理 匪直于弦的直径平分这条弦」(用因为、所以的几何语言来表达) 下面我们用逻辑思维给它证明一下: 已知:直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M 求证:AM=BM 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com A B C D O M 子在行进中,车轴离路面的距离总是一样的.车子在平路上行走较平稳,假如是方形的,车 轴到路面的距离时大时小,车子就会产生颠簸. 2、圆的定义: 平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle).其中,定点称 为圆心(Centre of a circle),定长称为半径(radius).以点 O 为圆心的圆记作⊙O,读作 “圆 O”. 注意:确定一个圆需要两个要素,一是位置,二是大小.圆心确定其位置,半径确定 其大小.只有圆心没有半径,虽圆的位置固定,但大小不定,因而圆不确定;只有半径 而 没有圆心,虽圆的大小固定,但圆心的位置不定,因而圆也不确定.只有圆心和半径都固定, 圆才被唯一确定. 问: 1.体育教师想利用一根 3m 长的绳子在操场上画一个半径为 3m 的圆,你能帮他 想想办法吗? 答:将绳子的一端 A 固定,然后拉紧绳子的另一端 B,并绕 A 在地上转一圈,B 所经过 的路径就是所希望的圆. 小结:圆也可以看成平面内一动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。 同时,我们又把 ①连结圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段 AC,AB; ②经过圆心的弦叫做直径,如图 24-1 线段 AB; 直径是弦,是圆内最长的弦,但弦不一定是直径. 3、圆的三种对称性 (1)什么是相等的圆(等圆)? (2)圆有几种对称性? 圆是旋转对称图形,即圆绕圆心旋转任意角度,都能与自身重合。 特别地,圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。 圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 2.你是用什么方法解决上述问题的?与同伴进行交流. (老师点评)1.圆是轴对称图形,它的对称轴是直径, 我能找到无数多条直径. 3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的. 因此,我们可以得到: 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线,或任意一条直径所在的直线. (学生活动)请同学按下面要求完成下题: 如图,AB 是⊙O 的一条弦,作直径 CD,使 CD⊥AB,垂足为 M. (1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些线段的等量关系?说一说你理由. (老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是 CD. (2)AM=BM,即直径 CD 平分弦 AB. 这样,我们就得到下面的定理: 垂直于弦的直径平分这条弦.(用因为、所以的几何语言来表达) 下面我们用逻辑思维给它证明一下: 已知:直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M 求证:AM=BM
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 分析:要证M=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此,只要连结OA、OB 或AC、BC即可 证明:如图,连结OA、OB,则OA=0B 在Rt△OAM和Rt△OBM中 JOA=OB LOM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM 进一步,我们还可以得到结论 分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦 [师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”? [生]因为圆的任意两条直径互相平分,但是它们不一定是互相垂直的 [师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理 [师]同学们,你能写出它的证明过程吗? [生]如上图,连结OA、OB,则OA=OB 在等腰△OAB中,∵AM=MB ∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一) 例1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(点0是圆心,其中CD=600m,E为CD上 点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径 分析:例1是垂径定理的应用,解题过程中使用了列方程的方法,这种用代数方法解 决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 解:如图,连接OC 设弯路的半径为R,则OF=(R-90)m OE⊥CD CF==CD=-×600=300(m) 根据勾股定理,得:0C2=CF+0F2 即R2=300+(R-90)2解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m 三、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1.圆的有关概念 2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴 3.垂径定理以及它们的应用 四、布置作业 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com C E D O F 分析:要证 AM=BM,只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等.因此,只要连结 OA、•OB 或 AC、BC 即可. 证明:如图,连结 OA、OB,则 OA=OB 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中 OA OB OM OM = = ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM 进一步,我们还可以得到结论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦. [师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”? [生]因为圆的任意两条直径互相平分,但是它们不一定是互相垂直的. [师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理. [师]同学们,你能写出它的证明过程吗? [生]如上图,连结 OA、OB,则 OA=OB. 在等腰△OAB 中,∵AM=MB, ∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一). 例 1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(点 O 是圆心, 其中 CD=600m,E 为 CD 上 一点,且 OE⊥CD,垂足为 F,EF=90m,求这段弯路的半径. 分析:例 1 是垂径定理的应用,解题过程中使用了列方程的方法,这种用代数方法解 决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握. 解:如图,连接 OC 设弯路的半径为 R,则 OF=(R -90)m ∵OE⊥CD ∴CF= 1 2 CD= 1 2 ×600=300(m) 根据勾股定理,得:OC2 =CF2 +OF2 即 R 2 =3002 +(R-90)2 解得 R=545 ∴这段弯路的半径为 545m. 三、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1.圆的有关概念; 2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 3.垂径定理以及它们的应用. 四、布置作业 A B C O M