免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 2.3.1二次函数与一元二次方程的联系(3) [本课知识要点] (1)会求出二次函数y=ax2+bx+c与坐标轴的交点坐标 (2)了解二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 LMM及创新思维] 给出三个二次函数:(1)y=x2-3x+2:(2)y=x2-x+1:(3)y=x2-2x+1 它们的图象分别为 8765 12345X-3 观察图象与x轴的交点个数,分别是个、个、个.你知道图象与x轴的交点 个数与什么有关吗? 另外,能否利用二次函数y=ax2+bx+c的图象寻找方程ax2+bx+c=0a≠0),不等 式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c3时,y>0;当-1<x<3时,y<0 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2．3．1 二次函数与一元二次方程的联系（3） [本课知识要点] （1）会求出二次函数 y = ax + bx + c 2 与坐标轴的交点坐标； （2）了解二次函数 y = ax + bx + c 2 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． [MM 及创新思维] 给出三个二次函数：（1） 3 2 2 y = x − x + ；（2） 1 2 y = x − x + ；（3） 2 1 2 y = x − x + ． 它们的图象分别为 观察图象与 x 轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与 x 轴的交点 个数与什么有关吗？ 另外，能否利用二次函数 y = ax + bx + c 2 的图象寻找方程 0( 0) 2 ax + bx + c = a ，不等 式 0( 0) 2 ax + bx + c a 或 0( 0) 2 ax + bx + c a 的解？ [实践与探索] 例 1．求抛物线 4 12 5 2 y = x + x + 与 x 轴的交点的横坐标。（书 P44 例 2） 求抛物线 2 1 2 y = x + x + 与 x 轴的交点的横坐标。（书 P44 例 3） 例 2、画出函数 2 3 2 y = x − x − 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？ （2）当 x 取何值时，y=0？这里 x 的取值与方程 2 3 0 2 x − x − = 有什么关系？ （3）x 取什么值时，函数值 y大于 0？x 取什么值时，函数值 y 小于 0？ 解 图象如图 26．3．4， （1）图象与 x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与 y 轴的交点坐标为（0，-3）． （2）当 x= -1 或 x=3 时，y=0，x 的取值与方程 2 3 0 2 x − x − = 的解相同． （3）当 x＜-1 或 x＞3 时，y＞0；当 -1＜x＜3 时，y＜0．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 回顾与反思(1)二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决 反过来,一元二次方程的根的问题,又常用二次函数的图象来解决 (2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集,先观察图象,找出抛物线与x轴的交点, 再根据交点的坐标写出不等式的解集 例3.(1)已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3,当k 时,抛物线与x轴 相交于两点 (2)已知二次函数y=(a-1)x2+2ax+3a-2的图象的最低点在x轴上,则a= (3)已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于两点A(a,0),B(B,0),且 a2+B2=17,则k的值是 分析(1)抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3与x轴相交于两点,相当于方程 2(k+1)x2+4kx+2k-3=0有两个不相等的实数根,即根的判别式4>0 (2)二次函数y=(a-1)x2+2ax+3-2的图象的最低点在x轴上,也就是说,方程 (a-1)x2+2a+3a-2=0的两个实数根相等,即A=0 (3)已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于两点A(a,0),B(B,0),即a、 B是方程x2-(k-1)x-3k-2=0的两个根,又由于a2+B2=17,以及 a2+B2=(a+B)2-2aB,利用根与系数的关系即可得到结果 请同学们完成填空 回顾与反思二次函数的图象与x轴有无交点的问题,可以转化为一元二次方程有无实数根 的问题,这可从计算根的判别式入手 例4.已知二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1, (1)试说明:不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点 (2)m为何值时,这两个交点都在原点的左侧? (3)m为何值时,这个二次函数的图象的对称轴是y轴? 分析(1)要说明不论m取任何实数,二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1的图象必与x 轴有两个交点,只要说明方程-x2+(m-2)x+m+1=0有两个不相等的实数根,即4>0 (2)两个交点都在原点的左侧,也就是方程-x2+(m-2)x+m+1=0有两个负实数根 因而必须符合条件①4>0,②x1+x20.综合以上条件,可解得所求m 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 回顾与反思 （1）二次函数图象与 x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决； 反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决． （2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与 x 轴的交点， 再根据交点的坐标写出不等式的解集． 例 3．（1）已知抛物线 2( 1) 4 2 3 2 y = k + x + kx+ k − ，当 k= 时，抛物线与 x 轴 相交于两点． （2）已知二次函数 ( 1) 2 3 2 2 y = a − x + ax + a − 的图象的最低点在 x 轴上，则 a= ． （3）已知抛物线 ( 1) 3 2 2 y = x − k − x − k − 与 x 轴交于两点 A（α，0），B（β，0），且 17 2 2 + = ，则 k 的值是 ． 分析 （1）抛 物线 2( 1) 4 2 3 2 y = k + x + kx+ k − 与 x 轴相交于两点，相当于方程 2( 1) 4 2 3 0 2 k + x + kx+ k − = 有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0． （2）二次函数 ( 1) 2 3 2 2 y = a − x + ax + a − 的图象的最低点在 x 轴上，也就是说，方程 ( 1) 2 3 2 0 2 a − x + ax + a − = 的两个实数根相等，即⊿=0． （3）已知抛物线 ( 1) 3 2 2 y = x − k − x − k − 与 x 轴交于两点 A（α，0），B（β，0），即α、 β是方程 ( 1) 3 2 0 2 x − k − x − k − = 的 两 个 根 ， 又 由 于 17 2 2 + = ，以及 ( ) 2 2 2 2 + = + − ，利用根与系数的关系即可得到结果． 请同学们完成填空． 回顾与反思 二次函数的图象与 x 轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根 的问题，这可从计算根的判别式入手． 例 4．已知二次函数 ( 2) 1 2 y = −x + m − x + m + ， （1）试说明：不论 m 取任何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点； （2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是 y 轴？ 分析 （1）要说明不论 m 取任何实数，二次函数 ( 2) 1 2 y = −x + m − x + m + 的图象必与 x 轴有两个交点，只要说明方程 ( 2) 1 0 2 − x + m − x + m + = 有两个不相等的实数根，即⊿＞0． （2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程 ( 2) 1 0 2 − x + m − x + m + = 有两个负实数根， 因而必须符合条件①⊿＞0，② x1 + x2 0 ，③ x1 x2 0 ．综合以上条件，可解得所求 m
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uysl 的值的范围 (3)二次函数的图象的对称轴是y轴,说明方程-x2+(m-2)x+m+1=0有一正一负两 个实数根,且两根互为相反数,因而必须符合条件①4>0,②x1+x2=0 解(1)4=(m-2)2-4×(-1)×(m+1)=m2+8,由m220,得m2+8>0,所以 0,即不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点 (2)由x1+x2=m-20,得m0,因此,当m0的解集是 不等式x2-3x-4<0的解集是 2.抛物线y=3x2-2x-5与y轴的交点坐标为 与x轴的交点坐标 3.已知方程2x2-3x-5=0的两根是,-1,则二次函数y=2x2-3x-5与x轴的两个 交点间的距离为 4.函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点,求a的值及交点坐标 [本课课外作业] A组 1.已知二次函数y=x2+x-6,画出此抛物线的图象,根据图象回答下列问题 (1)方程x2+x-6=0的解是什么? (2)x取什么值时,函数值大于0?x取什么值时,函数值小于0? 2.如果二次函数y=x2-6x+c的顶点在x轴上,求c的值 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 的值的范围． （3）二次函数的图象的对称轴是 y 轴，说明方程 ( 2) 1 0 2 − x + m − x + m + = 有一正一负两 个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，② x1 + x2 = 0 ． 解 （1）⊿= ( 2) 4 ( 1) ( 1) 8 2 2 m − − − m + = m + ，由 0 2 m ，得 8 0 2 m + ，所以⊿ ＞0，即不论 m 取任何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点． （2）由 x1 + x2 = m− 2 0 ，得 m 2 ；由 x1 x2 = −m−1 0 ，得 m −1 ；又由（1）， ⊿＞0，因此，当 m −1 时，两个交点都在原点的左侧． （3）由 x1 + x2 = m− 2 = 0 ，得 m=2，因此，当 m=2 时，二次函数的图象的对称轴是 y 轴． 探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是 y 轴，即二次函数 ( 2) 1 2 y = −x + m − x + m + 是由函数 2 y = −x 上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题． [当堂课内练习] 1．已知二次函数 3 4 2 y = x − x − 的图象如图， 则方程 3 4 0 2 x − x − = 的解是 ， 不等式 3 4 0 2 x − x − 的解集是 ， 不等式 3 4 0 2 x − x − 的解集是 ． 2．抛物线 3 2 5 2 y = x − x − 与 y 轴的交点坐标为 ，与 x 轴的交点坐标 为 ． 3．已知方程 2 3 5 0 2 x − x − = 的两根是 2 5 ，-1，则二次函数 2 3 5 2 y = x − x − 与 x 轴的两个 交点间的距离为 ． 4．函数 3 1 2 y = ax − ax + x + 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 a 的值及交点坐标． [本课课外作业] A 组 1．已知二次函数 6 2 y = x + x − ，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题． （1）方程 6 0 2 x + x − = 的解是什么？ （2）x 取什么值时，函数值大于 0？x 取什么值时，函数值小于 0？ 2．如果二次函数 y = x − 6x + c 2 的顶点在 x 轴上，求 c 的值．
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 3.不论自变量x取什么数,二次函数y=2x2-6x+m的函数值总是正值,求m的取值范 4.已知二次函数y=2x2-4x-6 求:(1)此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出草图; (2)以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积 (3)x为何值时,y>0. 5.你能否画出适当的函数图象,求方程x2=-x+2的解? B组 6.函数y=mx2+x-2m(m是常数)的图象与x轴的交点有 A.0个 B.1个 D.1个或2个 7.已知二次函数y=x2+ax+a-2 (1)说明抛物线y=x2+ax+a-2与x轴有两个不同交点: (2)求这两个交点间的距离(关于a的表达式) (3)a取何值时,两点间的距离最小? [本课教学体会 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3．不论自变量 x 取什么数，二次函数 y = 2x − 6x + m 2 的函数值总是正值，求 m 的取值范 围． 4．已知二次函数 2 4 6 2 y = x − x − ， 求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图； （2）以此函数图象与 x 轴、y 轴的交点为顶点的三角形面积； （3）x 为何值时，y＞0． 5．你能否画出适当的函数图象，求方程 2 2 x = −x + 的解？ B 组 6．函数 y mx x 2m 2 = + − （m 是常数）的图象与 x 轴的交点有 （ ） A．0 个 B．1个 C．2 个 D．1 个或 2 个 7．已知二次函数 2 2 y = x + ax + a − ． （1）说明抛物线 2 2 y = x + ax + a − 与 x 轴有两个不同交点； （2）求这两个交点间的距离（关于 a 的表达式）； （3）a 取何值时，两点间的距离最小？ [本课教学体会]