免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com 3.1.1圆的对称性(第二课时) 教学内容 1.圆心角、弧的有关定义 2.有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等. 3.定理的推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所 对的弦相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 教学目标 了解圆心角的概念:掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都 分别相等,最后应用它解决一些具体问题 重难点、关键 1.重点:定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对弦也相等及其 两个推论和它们的应用 2.难点与关键:探索定理和推导及其应用 教学过程 I.知识回顾,引入新课 昨天我们学了圆的哪些知识? Ⅱ.讲授新课 下面,我们在昨天的基础上来认识一下弧、圆心角这些与圆有关的概念 圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc) 如下图,以A、B为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB” 注意: 弧包括优弧 (major arc)和劣弧( minor arc),大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的 弧称为劣弧.如上图中,以A、D为端点的弧有两条:优弧用三个大写字母表示⌒ACD(记作 ACD),劣弧用两个大写字母表示AD(记作AD).半圆:圆的任意一条直径的两个端点分 圆成两条弧,每一条弧叫半圆弧,简称半圆也用三个大写字母表示.半圆是弧,但弧不 定是半圆:半圆既不是劣弧,也不是优弧 2.认识圆心角:观察教室内的石英钟的时针、分针、秒针所成的角度的特点 3、圆心角、弧、弦之间相等关系定理 [师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? [生]大小一样 [师]现在老师把这两个圆叠在一起,使它俩重合,将圆心固定 将上面这个圆旋转任意一个角度,两个圆还重合吗? [生]重合 [师]通过旋转的方法我们知道:圆是旋转对称图形.,即一个圆绕着它的圆心旋转任意 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 3.1.1 圆的对称性(第二课时) 教学内容 1.圆心角、弧的有关定义. 2.有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等. 3.定理的推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等, 那么它们所对的圆心角相等,所 对的弦相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 教学目标 了解圆心角的概念:掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用. 通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都 分别相等,最后应用它解决一些具体问题. 重难点、关键 1.重点:定理:在同圆或等圆中,相等的 圆心角所对的弧相等, 所对弦也相等及其 两个推论和它们的应用. 2.难点与关键:探索定理和推导及其应用. 教学过程 Ⅰ.知识回顾,引入新课 昨天我们学了圆的哪些知识? Ⅱ.讲授新课 下面,我们在昨天的基础上来认识一下弧、圆心角这些与圆有关的概念. 圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc). 如下图,以 A、B 为端点的弧记作 AB ,读作“圆弧 AB”或“弧 AB” 注意: 1.弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc),大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的 弧称为劣弧.如上图中,以 A、D 为端点的弧有两条:优弧用三个大写字母表示⌒ACD(记作 ACD ),劣弧用两个大写字母表示 AD(记作 AD ).半圆:圆的任意一条直径的两个端点分 圆成两条弧,每一条弧叫半 圆弧,简称半圆也用三个大写字母表示.半圆是弧,但弧不一 定是半圆;半圆既不是劣弧,也不是优弧. 2.认识 圆心角:观察教室内的石英钟的时针、分针、秒针所成的角度的特点。 3、圆心角、弧、弦之间相等关系定理. [师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? [生]大小一样. [师]现在老师把这两个圆叠在一起,使它俩重合,将圆心固定. 将上面这个圆旋转任意一个角度,两个圆还重合吗? [生]重合. [师]通过旋转的方法我们知道:圆是旋转对称图形.即一个圆绕着它的圆心旋转任意
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 个角度,都能与原来的图形重合.圆的中心对称性是其旋转不变性的特 例.即圆是中心对称图形,对称中心为圆心 [师生共析]我们在上述做一做的过程中发现,固定圆心,将其中一个圆旋转一个角度 使半径硎A与OA重合时,由于∠AOB=∠A0B.这样便得到半径OB与0B重合.因 为点A和点A重合,点B和点B重合,所以AB和AB重合,弦AB与弦A'B重合, 即AB=A'B',AB=A"B'. [师]在上述操作过程中,你会得出什么结论? [生]在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 [师]同学做得很好,这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特 性:圆心角、弧、弦之间相等关系定理 下面,我们一起来看一看命题的证明 教师板书 如上图所示,已知:⊙0和⊙O是两个半径相等的圆,∠AOB=∠A0B 求证:AB=AB',AB=AB". 证明:将⊙O和⊙O叠合在一起,固定圆心,将其中的一个圆旋转,一个角度,使得 半径OA与0A重合,∵∠AOB=∠A'OB ∴半径OB与0B重合 ∵点A与点A重合,点B与点B重合 AB:与A'B'重合,弦AB与弦AB重合 AB=A'B AB=A B 于是得到下面的定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 (用因为、所以的几何语言来表达) 注意:在运用这个定理时,一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提.否则也不 定有所对的弧相等、弦相等这样的结论 [师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的 生]如下图示,虽然∠AOB=∠A0B,但AB≠AB,AB=AB 下面我们共同想一想. [师]如果我们把两个圆心角用①表示;两条弧用②表示;两条弦用③表示.我们就可 以得出这样的结论: 在同圆或等圆中 也相等 ①相等 如果在同圆或等圆这个前提下.将题设和结论中任何一项交换一下,结论正确吗?你 是怎么想的?请你说一说.(同学们互相交流、讨论) [生甲]如果将上述题设①和结论②换一下,结论仍正确.可以通过旋转法或叠合法得 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 一个角度,都能与原来的图形重合.圆的中心对称性是其旋转不变性的特 例.即圆是中心对称图形,对称中心为圆心. [师生共析]我们在上述做一做的过程中发现,固定圆心,将其中一个圆旋转一个角度, 使半径 OA 与 O'A'重合时,由于∠AOB=∠A'O'B'.这样便得到半径 OB 与O'B'重合.因 为点 A 和点 A'重合,点 B 和点 B'重合,所以 和 重合,弦 AB 与弦 A'B'重合, 即 ,AB=A'B'. [师]在上述操作过程中,你会得出什么结论? [生]在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. [师]同学做得很好,这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特 性:圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 下面,我们一起来看一看命题的证明. 教师板书 如上图所示,已知:⊙O 和⊙O'是两个半径相等的圆,∠AOB=∠A'O'B'. 求证: ,AB=A'B'. 证明:将⊙O 和⊙O'叠合在一起,固定圆心,将其中的一个圆旋转,一个角度,使得 半径 OA 与 O'A'重合,∵∠AOB=∠A'O'B', ∴半径 OB 与 O'B'重合. ∵点 A 与点 A'重合,点 B 与点 B'重合, ∴ 与 重合,弦 AB 与弦 A'B'重合. ∴ ,AB=A'B'. 于是得到下面的定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等. (用因为、所以的几何语言来表达) 注意:在运用这个定理时,一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提.否则也不一 定有所对的弧相等、弦相等这样的结论. [师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的 图. [生]如下图示,虽然∠AOB=∠A'O'B',但 AB≠A'B', 下面我们共同想一想. [师]如果我们把两个圆心角用①表示;两条弧用②表示;两条弦用③表示.我们就可 以得出这样的结论: 在同圆或等圆中 ②也相等 ①相等 ③ 如果在同圆或等圆这个前提下.将题设和结论中任何一项交换一下,结论正确吗?你 是怎么想的?请你说一说.(同学们互相交流、讨论) [生甲]如果将上述题设①和结论②换一下,结论仍正确.可以通过旋转法或叠合法得
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 到证明 [生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下,结论也正确,可以通过证明全等或叠合 法得到 [师]好,通过上面的探索,你得到了什么结论? [生]在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量都分别相等 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 (用因为、所以的几何语言来表达) 注意:(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,否则,丢掉这个前提,虽然圆 心角相等,但所对的弧、弦、弦心距不一定相等 (2)此定理中的“弧”一般指劣弧 (3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义.否 则易错用此关系 (4)在具体应用上述定理解决问题时,可根据需要,择其有关部分.如“在同圆中,等 弧所对的圆心角相等”“在等圆中,弦心距相等的弦相等”等等 例如,下图中的∠1=∠2,有的同学认为∠1对AD,∠2对BC,就推出了A=BC,显 然这是错误的,因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦 4、回顾: 问:如图,AB是⊙0的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. (1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由 (老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是CD (2)AM=BM,即直径CD平分弦AB 这样,我们就得到下面的定理: 垂直于弦的直径平分这条弦 还有什么相等? 垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条烟 (用因为、所以的几何语言来表达) 5、证明:圆的两条平行弦所夹的弧相等 理由:如下图示,过圆心O作垂直于弦的直径B,由垂径定理设AF=BF,C=D, 用等量减等量差相等,得AF BD,故结论成立 符合条件的图形有三种情况:(1)圆心在平行弦外,(2)在其中一条线弦上,(3)在平行 弦内,但理由相同 Ⅲ.课时小结 [师]通过这一节的学习,在得出本节结论的过程中,回忆一下我们使用了哪些研究图 形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳) Ⅳ.课后作业 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com A B C D O M 到证明. [生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下,结论也正确,可以通过证明全等或叠合 法得到. [师]好,通过上面的探索,你得到了什么结论? [生]在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量都分别相等. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. (用因为、所以的几何语言来表达) 注意:(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,否则,丢掉这个前提,虽然圆 心角相等,但所对的弧、弦、弦心距不一定相等. (2)此定理中的“弧”一般指劣弧. (3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义.否 则易错用此关系. (4)在具体应用上述定理解决问题时,可根据需要,择其有关部分.如“在同圆中,等 弧所对的圆心角相等”“在等圆中,弦心距相等的弦相等”等等. 例如,下图中的∠1=∠2,有的同学认为∠1 对 AD,∠2 对 BC,就推出了 AD=BC,显 然这是错误的,因为 AD、BC 不是“等圆心角对等弦”的弦. 4、回顾: 问:如图,AB 是⊙O 的一条弦,作直径 CD,使 CD⊥AB,垂足为 M. (1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由. (老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是 CD. (2)AM=BM,即直径 CD 平分弦 AB. 这样,我们就得到下面的定理: 垂直于弦的直径平分这条弦. 还有什么相等? 垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 (用因为、所以的几何语言来表达) 5、证明:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 理由:如下图示,过圆心 O 作垂直于弦的直径 EF,由垂径定理设 = , = , 用等量减等量差相等,得 - = - ,即 = ,故结论成立. 符合条件的图形有三种情况:(1)圆心在平行弦外,(2)在其中一条线弦上,(3)在平行 弦内,但理由相同. Ⅲ.课时小结 [师]通过这一节的学习,在得出本节结论的过程中,回忆一下我们使用了哪些研究图 形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳) Ⅳ.课后作业