内蒙古大学化学化工学院：《结构化学基础》课程教学资源（各章习题）第一章 量子力学基础知识（答案）

《结构化学》第一章习题答案 1004电子概率密度 h6.626×10 1005 p=元=0.1×105 mkgs=6626×10-24mkgs (6626×10-4)2 J=2410×10-17J 2×9.109×10 1006T=hv-h hc =603×105m·s1 1007(12)my2=hv-W0=hc/-W0=206×1019J 6.73×105 1008=1.226×109m/√10000=1.226×101lm 1009(B) 1010A,B两步都是对的,A中v是自由粒子的运动速率,它不等于实物波的传播速率u,C 中用了λ=v/v,这就错了。因为入=lv。 又D中E=hv是粒子的总能量,E中E=m2仅为y<c时粒子的动能部分两个能量是 不等的 所以C,E都错 101lAx·4n≥h

《结构化学》第一章习题答案 1001 (D) 1002 E=h  p=h/ 1003 , mv h p h  = = 小 1004 电子概率密度 1005 -1 24 -1 -9 -34 m kg s 6.626 10 m kg s 0.1 10 6.626 10   =      = = −  h p T = m p 2 2 = 31 34 2 2 9.109 10 (6.626 10 ) − −    J = 2.410×10-17 J 1006 T = h  - h  0=  hc - 0 hc T = (1/2) mv2 v = ) 1 1 ( 2  0 − m hc = 6.03×105 m·s -1 1007 (1/2)mv2= h  - W0 = hc/ - W0 = 2.06×10-19 J v = 6.73×105 m/s 1008  = 1.226×10-9ｍ/ 10000 = 1.226×10-11 m 1009 (B) 1010 A,B两步都是对的, A中v是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u, C 中用了= v/  , 这就错了。 因为= u/  。 又 D中 E=h  是粒子的总能量, E 中E= 2 1 mv2 仅为 v<<c 时粒子的动能部分,两个能量是 不等的。 所以 C, E 都错。 1011 x·px≥ 2 h

微观物体的坐标和动量不能同时测准,其不确定度的乘积不小于h 1013 h △E=/△t=△(hv)=h△v △v=1/(2△)=1/(2x×10)=1.59×108s1 A=△v/e=1.59×108s1/3×1010cm·sl=5.3×103cm1 1014不对。 1015(1)单值的 (2)连续的,一级微商也连续 (3)平方可积的,即有限 1016不对。 1017(a)∫V;dr=0,i≠j (b)∫W;dr=1 108电子1出现在x、yx1,同时电子2出现在x2,y,a2处的概率密度 1020 不对。 1021(A),(B),(C),(E) 1022(A),(B,(D)可对易 1023(1)B,C (2)A,B,C 1024和q可对易 1025(A),(D) 1026 h(3,0 h d 1027 P h d 2πdx 2 本征值为。h

微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于 2 h 。 1013 E = 2 h /t = (h  ) = h    = 1/(2t) = 1/(2×10-9 ) = 1.59×108 s -1   ~ =   /c = 1.59×108 s -1 /3×1010 cm·s -1= 5.3×10-3 cm-1 1014 不对。 1015 (1) 单值的。 (2) 连续的, 一级微商也连续。 (3) 平方可积的, 即有限的。 1016 不对。 1017 (a) ∫  * i  id = 0, i≠j (b) ∫  * i  id = 1 1018 电子 1 出现在 x1,y1,z1, 同时电子 2 出现在 x2, y2, z2 处的概率密度 1020 不对。 1021 (A), (B), (C), (E) 1022 (A), (B), (D)可对易 1023 (1) B, C (2) A, B, C (3) B, C 1024 p ˆ 和 q ˆ 可对易 1025 (A), (D) 1026 -i· 2 h (x y  - y x  ) 1027 p ˆ x= - i 2 h dx d - i 2 h dx d (Ne -ix ) = - 2 h (Ne -ix ) 本征值为 - 2 h

029(1)V是M2属于同一本征值2()2的本征函数的线性组合,所以,V是M2 的本征函数,其本征值亦为2(-)2 (2)V是Mz属于本征值h和0的本征函数的线性组合,它不是M2的本征函数 其M无确定值,其平均值为=S(h/2x) Ce+c 1030 h ay= px y y 2TI h Iny= 2TI Y = cexp[2xixp/h h 1031不对 1032.HVI=EV1, HY2=EY2 HY=H(CIV+C2V2HCIV+ Hc2v2=cHYIc2H Y2 lEV+cEV2=EY 1033 1d2v11d2v2 d dy dv2.y2dv1=常数 dx 1034(1) Schrodinger方程为h2dy(φ) =EV() 8Idφ

1029 (1)  是 M ˆ 2 属于同一本征值 2( 2 h ) 2 的本征函数的线性组合, 所以，  是 M ˆ 2 的本征函数, 其本征值亦为 2( 2 h ) 2 (2)  是 M ˆ z 属于本征值 h 和 0 的本征函数的线性组合, 它不是 M ˆ z 的本征函数, 其 Mz无确定值, 其平均值为= 2 2 2. 1 2 1 ( / 2 ) c c c h +  1030 i2 h x  = px x ln = h 2i px ln  = h 2i xpx + A  = cexp[2ixpx/h] 1031 不对 1032 ∵ H ˆ  1 = E  1, H ˆ  2= E  2 H ˆ  = H ˆ (c1  1+ c2  2)= H ˆ c1  1+ H ˆ c2  2= c1 H ˆ  1 + c2 H ˆ  2 = c1E  1+ c2E  2= E  1033 1 1  2 1 2 d d x  = 2 1  2 2 2 d d x   1 2 2 2 d d x  -  2 2 1 2 d d x  = 0 dx d [  1 dx d 2 -  2 dx d 1 ] = 0 [  1 dx d 2 -  2 dx d 1 ] = 常数 1034 (1) Schrödinger 方程为 - I h 2 2 8 2 2 d d  （） = E  ()

E V2兀 =0,±1,±2 8兀2 M 1035 2rexp/± 8兀2mR 1037 1038 1042(E) 1043(B) 1044势能V=0 动能En=n2h2 小12ma2kT 2a√3mkT h h h2(n2+4n2) 1045(1).Enn=En+E 32ml En,(以 为单位

E = I m h 2 2 2 8 ,  () = 2 1 e im m=0,±1,±2,... (2) = 0 1035  () = 2 1 exp[±i] E= 2 2 2 2 8 mR h   =0,1,2,... 1036 A 1037 D 1038 1039 (1) B (2) A 1041 (C) 1042 (E) 1043 (B) 1044 势能 V= 0 动能 En= 2 2 2 8ma n h = 2 1 mv2 = 2 3 kT n 2= 2 2 12 h ma kT n = h 2a 3mkT 1045 （1）. nx ny E , = nx E + ny E = 2 2 2 2 32 ( 4 ) ml h nx + ny （2）. nx ny nx ny E , (以 2 2 32ml h 为单位)

20 1046(1)V= nUX n=1,2,3, (2)E= nhh (3)12 (4)增长 (5)V=i sin1v21 2 in n,ty nh2 8m28m(2D)2 1047(1)V2(x 2)(a/4,a/2,a/2)(3a4,a/2,a/2) (3)6 1049(非) 1050E=(n2+n2+n2=)8mp 共有17个状态,这些状态分属6个能级 H Y=EY u dx Av- h k

4 1 20 2 2 20 1 2 17 3 1 13 2 1 8 1 1 5 1046 (1)  = l 2 sin l nx n=1, 2, 3,… (2) E = 2 2 2 8ml n h ; 2 2 8ml h (3) 1/2 (4) 增长 (5)  = l 2 sin l n x x 2l 2 sin l n y y 2  E = 2 2 2 8ml n hx + 2 2 2 8m(2l) nyh 1047 (1)  211(x,y,z) = 3 8 a sin a 2 x sin a  y sin a  z (2) (a/4, a/2, a/2) (3a/4, a/2, a/2) (3) 6 1048 3, 4 1049 (非) 1050 E = ( ) 2 2 2 nx + ny + nz 2 2 8ma h 共有 17 个状态, 这些状态分属 6 个能级。 1051 H ˆ = -  2 2 8 h 2 2 d d x + 2 k x 2 H ˆ  =E  H ˆ  = 4 h  k  E= 2 1 h 

1052到Vs所需能量为最低激发能 32sm()d=05+1=0818 1054维势箱E1= 6.03×108J 8m12 静电势能V= =-2.3×10-13J 由于动能大于势能,体系总能量大于零,不能稳定存在。发出hv≈E1的射线(β射线) 1055库仑吸引势能大大地小于电子的动能,这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子 结合成为中子的,这个模型是不正确的 1056△E [(22+2)-(12+2) 8ma hc mac 86.2nm 2 1059(1)该函数是一维箱中粒子的一种可能状态,因1-sin及1-sin2是方 程的解,其任意线性组合也是体系可能存在的状态 (2).其能量没有确定值,因该状态函数不是能量算符的本征函数。 = 1060(1)V=12sin nux P4=∫04v2d (2)=3,P1/4ma= (3) lim Pu4= lim 42 (4)(3)说明随着粒子能量的增加,粒子在箱内的分布趋于平均化

1052 到  5 所需能量为最低激发能。 1053 P= a a a 0.75 2 0.25  sin2 ( a x ) dx= 0.5+  1 = 0.818 1054 一维势箱 E1= 2 2 8ml h = 6.03×10-8 J 静电势能 V= - r e 0 2 4 = - 2.3×10-13 J 由于动能大于势能, 体系总能量大于零, 不能稳定存在。发出 h  ≈E1 的射线(射线)。 1055 库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子 结合成为中子的，这个模型是不正确的。 1056 E= 2 2 8ma h [(22+ 22 ) - (12+ 22 )〕= 2 2 8 3 ma h = E hc  = h ma c 3 8 2 = 86.2 nm 1059 (1). 该函数是一维箱中粒子的一种可能状态, 因 a 2 sin a x 及 a 2 sin a 2x 是方 程的解, 其任意线性组合也是体系可能存在的状态。 (2). 其能量没有确定值, 因该状态函数不是能量算符的本征函数。 (3). = 2 2 13 5 ma h 1060 (1)  n= l 2 sin l nx P1/4=∫ / 4 0 l 2  n dx= 4 1 - 2n 1 sin 2 n (2) n=3, P1/4,max= 4 1 + 6 1 (3) lim n→ P1/4 = lim n→ ( 4 1 - 2n 1 sin 2 n ) = 4 1 (4) (3)说明随着粒子能量的增加, 粒子在箱内的分布趋于平均化

10611(xy,z)概率密度最大处的坐标为x=a/2,y=b/2,=c2 H21(xy)状态概率密度最大处的坐标为 (a/6,b/4,c/2),(a/6,3b/4,c/2),(a/2,b/4,c2), (a/2,3b/4,c2),(Sa/6,b/4,c/2),(5a/6,3b/4,c2) E2 h 1062是;= 40ma- 40ma 5ma 1063要使波能稳定存在,其波长必须满足驻波条件:n=1,m=1,2, 考虑到德布罗意关系式,从上式可得P=h=m 2 在一维势箱中,势能(x)=0,粒子的能量就是动能 P n2h2 2 8m12 1064(1)2 (2)3 (3)4 1065=A2-A3= hh 维势箱E=h2 4h △E=E2E=n1·8ml28ml hc 8m/-c △E3h 对电子=1100nm 对α粒子=807×104nm 1067 h- d 1068(1)[ 8兀24dx2+28y=EW

1061 111(x,y,z)概率密度最大处的坐标为 x=a/2, y=b/2, z=c/2 321(x,y,z)状态概率密度最大处的坐标为: (a/6, b/4, c/2), (a/6, 3b/4, c/2), (a/2, b/4, c/2), (a/2, 3b/4, c/2), (5a/6, b/4, c/2), (5a/6, 3b/4, c/2) 1062 是; = 2 2 1 2 2 1 2 + E + 2 2 2 2 +1 E = 2 2 40 4 ma h + 2 2 40 4 ma h = 2 2 5ma h 1063 要使波能稳定存在, 其波长必须满足驻波条件: n 2  =l , n=1,2,… 考虑到德布罗意关系式, 从上式可得: p=  h = l nh 2 在一维势箱中, 势能 V(x)=0, 粒子的能量就是动能 E= m p 2 2 = 2 2 2 8ml n h 1064 (1) 2 (2) 3 (3) 4 1065 = 2- 3= 2 p h - 3 p h = a - 3 2 a = 3 1 a 1066 一维势箱 En= 2 2 2 8ml n h E= E2- E1= 2 2 8 4 ml h - 2 2 8ml h = 2 2 8 3 ml h = E hc  = h ml c 3 8 2 对电子=11.00 nm 对粒子=8.07×104 nm 1067 2 1068 (1) [ -  2 2 8 h 2 2 dx d + 2 1 kx2 ]  =E 

a h2 h 4 V=0,有最大值VaO) 最大值处x=0V02=(-)2 1069知势箱长度之比为300pm:100pm=3:1 h2 假设 h2/(8m)=4×32eV EH=L 8m"113=4×32×3=108eV 0y20x =1.3.5 8ma n2h =2.4.6 8ma 1071(1)=2×1010 (2)=1.1×103m (3)7=543×10-17J h 1072(1).E= 8ml

(2) E=   2 2 2 8 h = 4 h  K = 2 1 h  (3) x=0 时 ， dx d  = 0， 有最大值  0(0) = (  2  ) 1/4 最大值处 x=0  0 2=(   2 ) 1/2 =   1069 已知势箱长度之比为 300 pm: 100 pm = 3:1 假设 2 2 8ml h = （ 2） 2 8m 3 h =4 eV h 2 /(8m)=4  3 2 eV EH=[ m h 8 2 · 2 1 1 ]3 = 4×3 2×3=108 eV 1070  = a 2 cos a x x E= 2 2 2 8ma n h , n=1,3,5,…  = a 2 sin a x x E= 2 2 2 8ma n h , n=2, 4, 6,… 1071 (1) =2×10-10 m (2) =1.1×10-8 m (3) T=5.43×10-17 J 1072 （1）. E = 2 2 2 8ml n h （2）. l n h x p 2 2 2 4 2 =

9p>=0p2= v(x)=√asnx P=Cm(x)=小 当n->∞时,mp=lm[+当m2]= 1074 n=2,=V3 sin 2x p=y=号+=0402 1075 HRV+2kxVv=Ey 1076以p,=是作用于Wn,不等于常数乘n,即可证得 可和 交换 1077 同理=b/2<>=c/2 所以,粒子的平均位置为(a2,b2,c2) 08维箱长1=(k1).En=-mh 8ma2(k-1)

（3）. l n x l  = sin  2 （4）. =0 l n h x p 2 2 2 4 2 = 1073 (x) x a n a  = sin  2 ( )     = = +  n n a a p x dx 2sin / 2 4 1 / 2 / 4 2 1 ( ) 1 当 n → 时， ( )   4 sin / 2 1 4 1 lim = lim + =   → → n n n n p 1074 n x l l  = = 2 2 2, sin 0.402 8 3 3 1 1/ 3 0 2 = = + =   p  dx 1075      k x E h −  + = 2 2 2 1 8 2 2 1076 以 x ih px    = − ˆ 2 作用于  , n 不等于常数乘  n , 即可证得。 px ˆ 可和 H ˆ 交换. 1077 同理 = b/2 = c/2 所以, 粒子的平均位置为(a/2, b/2, c/2) 1078 一维箱长 l = (k-1)a, En = 8 ( 1) 2 2 2 2 ma k− n h

偶数,A a2(k-1)2 h(k+1) 数,几 hk √ 为使平方可积 x厘y=(2)4 expr-ax 1080T= ( =1016×10-17J 00n=n()-06×0 10807 2m=2m(丿=1016×10)J 1080 T- 2m =1016×10-17J

k =偶数, ( 1) 8 ( 1) 2 2 + −  = = h k mca k E ch  k =奇数, hk mca k E ch 8 ( 1) 2 2 −   = = 1079 E = m h k 4 为使  平方可积, 取  x  h mk 2 2 1/ 4  , ( ) exp     = = − 1080 T = ( )  h m m p 2 2 1 2 2 = =1.016×10-17 J 1080 T = ( )  h m m p 2 2 1 2 2 = =1.016×10-17 J 1080 T = ( )  h m m p 2 2 1 2 2 = =1.016×10-17 J 1080 T = ( )  h m m p 2 2 1 2 2 = =1.016×10-17 J