试卷四 试卷号：4 学校：公安海警高等专科学校院系： 专业：年级：班级： 学号： 姓名： 考试时间：120分钟试卷总分：100 (请考生注意，本试卷共3页) 大 四 五 六 七 八 九 十 X 题 成 绩 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本 大题共5小题，每小题3分，总计15分) 无限循环小数0.9的值 (A)不确定 (B)小于1 (C)等于1 (D)无限接近1 1、 答() 2、 3-x2 当0≤≤1 设f(x)= 2 则在区间内0,2)满足f(2)-f(0)=f'(ξ(2-0) 当1<x≤2 的值 (A) 只有一个 (B)不存在 (C) 有两个 (D)有三个 答() 3 设F()=esn1d,则r (A) 为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数 答()
试卷四 试卷号：4 学校：公安海警高等专科学校院系： 专业：年级：班级： 学号：______姓名：_______ 考试时间：120 分钟试卷总分：100 （请考生注意，本试卷共 3 页） 大 题 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十 一 十 二 十 三 成 绩 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本 大题共 5 小题，每小题 3 分，总计 15 分） 1、 答（ ） 无限接近 等于 小于 不确定 无限循环小数 的值 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0.9 D C B A 2、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (0,2) (2) (0) ( )(2 0) 1 2 2 3 0 1 ( ) 2 有两个 有三个 答 只有一个 不存在 的 值 则在区间内 满足 当 当 设 C D A B f f f x x x x f x − = − − = 3、 答（ ） 恒为零 不为常数 为正常数 为负常数 设 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin , ( ) 2 sin C D A B F x e tdt F x x x tdt + =
4、若f6x,x2)=xe,f0x,x2)=-x2e,则x,x2) (A)2xe-(B)(-x2+2x)e-* (C)eo)(2x-1)e 答() 5、曲线弧AB上的曲线积分和BA上的曲线积分有关系： (A)f(y)ds=-Jf(.y)ds (B)Jf(.)ds=Jnf(.y)ds (C)()ds+f)s=0 (D)f()ds =f(--y)ds 答0 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共5小题，每小题2分，总计10分） 1、y=x-Vx的单调减少区间是 设/)=e,则fh刊本= 3、若函数=2x2+2少+3xy+m+y+C在点(-2,3)处取得极小值-3，则常数 a,b,c之积abc=。 4、柱面∑以xoy平面上的线段L为准线，母线平行于oz轴，则∑介于平面z=0及曲面 z=1+x2+y2之间的部分的面积可用曲线积分表示为· 5、微分方程y”+16y=sin(4x+)）(a为常数)用待定系数法确定的特解（系数值 不求)形式是」 解答下列各题（本大题5分） 设f(x)具有连续一阶导数，且fI)=0,f"()=2,试求im f(sin2x+cosx) x→0 xtanx 解答下列各题（本大题共2小题，每小题4分，总计8分） 、Ja-WFax ∬V2+2-x2-y 2、计算 其中Σ是半锥面2=√22+y的介于2=0及z=1之间的
4、若 f x x x e f x x x e x x x ( , ) , ( , ) 2 2 ' 2 2 = = − − − ，则 f x x y ' ( , ) 2 = (A) 2xe −x (B) (− + ) − x x e 2 x 2 (C) e − x (D) (2x 1)e x − − 答（） 5、曲线弧 上的曲线积分和 上的曲线积分有关系： 答() 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 5 小题，每小题 2 分，总计 10 分） 1、 y = x − x 的单调减少区间是____________________ 2、 _________________ (ln ) ( ) 2 1 = = − dx x f x f x e 设 x，则 3、若函数 z = 2x + 2y + 3xy + ax + by + c 2 2 在点 (−2,3) 处取得极小值－3，则常数 a,b,c 之积 abc = ______。 4、柱面∑以 xoy 平面上的线段 L 为准线，母线平行于 oz 轴，则∑介于平面 z=0 及曲面 z=1+x2+y2 之间的部分的面积可用曲线积分表示为_________. 5、微分方程 y +16y = sin(4x +) ( 为常数）用待定系数法确定的特解（系数值 不求）形式是______。 解答下列各题（本大题 5 分） . tan (sin cos ) ( ) , (1) 0, (1) 2, lim 2 0 x x f x x f x f f x + = = → 设 具有连续一阶导数 且 试求 解答下列各题（本大题共 2 小题，每小题 4 分，总计 8 分） 1、 ) d . 1 (1 2 x x x x − 2、计算 + − − 2 2 2 2 z x y ，其中∑是半锥面 的介于 z=0 及 z=1 之间的
那部分锥面块。 解答下列各题（本大题共4小题，总计17分） 1、本小题4分 证明方程x=sinx+2,至少有一个小于3的正根. 2、本小题5分 设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明： |f.)da≤lrx,wla. 3、本小题4分 用欧拉公式证明 1 COSx== 16cos5r、 os3r+5。 16 4、本小题4分 设x(),x()分别为非齐次方程x”+p)x'+q)x=f(0 (1) 的两个特解，证明：x()=x()-x2()是方程(1)对应的齐次方程： x"+pt)x'+q(t)x=0(2) 的解。 解答下列各题（本大题4分） 设f(x)处处可导，g(x)=cot(sinf(x)》求g'(x). 解答下列各题（本大题5分） m 设f(t)在(0，+∞)上连续，F(t)=:f(x2+y2+z2)dv,Ωt是球体x2+y2+z2≤t4. 求F'(t)。 解答下列各题（本大题6分） dx+(y3 -Inx)dy=0 求微分方程x 的通解。 解答下列各题（本大题4分） 在半径为R的球内求体积最大的内接圆柱体的高 解答下列各题（本大题4分）
那部分锥面块。 解答下列各题（本大题共 4 小题，总计 17 分） 1、本小题 4 分 证明方程x = sin x + 2，至少有一个小于3的正根． 2、本小题 5 分 设函数 f(x,y)在有界闭域 D 上连续，证明： 3、本小题 4 分 用欧拉公式证明 x x x cos x 8 5 cos 3 16 5 cos5 16 1 cos5 == − + 4、本小题 4 分 设 x t x t 1 2 ( ), ( ) 分别为非齐次方程 x + p(t)x + q(t)x = f (t) (1) 的 两 个 特 解 ， 证 明 ： x(t) = x (t) − x (t) 1 2 是 方 程 (1) 对 应 的 齐 次 方 程 ： x + p(t)x + q(t)x = 0 (2) 的解。 解答下列各题（本大题 4 分） 设 f (x)处处可导, g(x) = cot(sin f (x))求g(x)． 解答下列各题（本大题 5 分） 设 f(t)在(0，+∞)上连续，F(t)= f(x2+y2+z2)dv,Ωt 是球体 x2+y2+z2≤t4. 求 F′(t)。 解答下列各题（本大题 6 分） 求微分方程 y x d x + ( y − ln x) d y = 3 0 的通解。 解答下列各题（本大题 4 分） 在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高 解答下列各题（本大题 4 分）
两个半径为1的圆柱体正交（两对称轴垂直相交），求公共部分的体积. 解答下列各题（本大题6分） x=t-sint 设力场(x,y)=i+(y+2)j物体沿着摆线y=1-cost从t=0运动到t=2m。求力 所做的功。 解答下列各题（本大题7分） 若limf(x)=A,limg(x)不存在，则limf(x)·g(x) T r￥ 是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能 肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使 可肯定∫(x)g(x)的极限(x→x时)必不存在。 解答下列各题（本大题9分） 分1+2+…+m 判别级数 (2n 的敛散性
两个半径为1的圆柱体正交(两对称轴垂直相交),求公共部分的体积. 解答下列各题（本大题 6 分） 设力场 物体沿着摆线 从 t=0 运动到 t=2π。求力 所做的功。 解答下列各题（本大题 7 分） 若 ， 不存在，则 是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能 肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使 可肯定 的极限 时 必不存在。 lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x f x A g x f x g x f x g x x x → → → = → 0 0 0 0 解答下列各题（本大题 9 分） 判别级数 ( ) 1 2 1 2 ! ! ! ! + + + = n n n 的敛散性
答案 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本 大题共5小题，每小题3分，总计15分) 1、答：C 2、答(C)10分 3、A10分 4、(C) 5、B 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共5小题，每小题2分，总计10分） (写开区间也不扣分) 1 2、210分 3、30 4、答21+x2+y)ds. 5,y=x(Acos4x+Bsin4x) 解答下列各题（本大题5分） 解：因f(x)具有连续一阶导数，即f(x)在x=1处连续，又f①)=0 即x→0时，f(sin2x+cosx)→0，tanx~x2分 则im f(sin2 x+cosx) x+0 x tanx g lim f'(sin2+cosx)(sin2x-sinx) r-0 2x 5分 limf(sinx+cosx)(2cosx-1) 2x0 分 =01= 10分 解答下列各题（本大题共2小题，每小题4分，总计8分）
答案 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本 大题共 5 小题，每小题 3 分，总计 15 分） 1、答：C 2、 答 (C) 10 分 3、A10 分 4、(C) 5、B 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 5 小题，每小题 2 分，总计 10 分） 1、 0 1 4 ， 写开区间也不扣分 ( ) 2、 − 1 2 10 分 3、30 4、答 5、 y x A x B x * = ( cos4 + sin4 ) 解答下列各题（本大题 5 分） 解:因f (x)具有连续一阶导数,即f (x)在x =1处连续,又f (1) = 0 即x → 0时 f x + x → 0 x x 2 , (sin cos ) ,tan ~ 2 分 则lim (sin cos ) tan [ ] lim (sin cos )(sin sin ) x x f x x x x f x x x x → → + = + − 0 2 0 2 0 0 2 2 5 分 = + − → 1 2 2 1 0 2 lim (sin cos )( cos ) x f x x x 8 分 = = 1 2 f (1) 1 1 10 分 解答下列各题（本大题共 2 小题，每小题 4 分，总计 8 分）
原式=「x2-x子)dx5分 4x2+4x+ 10分 2、的方程为：之=√x2+y ∑在xoy面上的投影域为D:x2+y2≤1， 3 图积元素as-1+++(+ dxdy=√2dxdy -9-J 22dxdy=2 6 2(π12)=2π. 10 解答下列各题（本大题共4小题，总计17分） 1、本小题4分 令f(x)=x-2-sinx fx)[0,3]上连续2分 且f0)=-206分 故在(0,3)内方程(x)=0至少有一实根8分 即x=2+sinx至少有一小于3的正根10分 2、本小题5分 Ix,1在D上也连续，从面1Fx,d存在。 2 f -lf(x,y)l≤f(x,y)≤If(x,y)川 10 3、本小题4分 cosx=e+e 证由 2 osx=7e+5e+10e+10e+5e+e） …4分
1、 (x x )d x 4 5 4 3 − = − 原式 5 分 = + + 4 − 7 4 7 4 1 4 x x c. 10 分 2、∑的方程为： ∑在 xoy 面上的投影域为 D：x2+y2≤1, 解答下列各题（本大题共 4 小题，总计 17 分） 1、本小题 4 分 令f (x) = x − 2 − sin x f (x)在0，3上连续 2 分 且f (0) = −2 0 4 分 f (3) = 1− sin3 0 6 分 故在(0，3)内方程f (x) = 0至少有一实根 8 分 即x = 2 + sin x至少有一小于3的正根 10 分 2、本小题 5 分 3、本小题 4 分 证由 2 cos ix ix e e x − + = 故 ( ) i x i x i x i x i x i x x e e e e e e 5 5 3 3 5 5 10 10 5 32 1 cos − − − = + + + + + ……4 分
=1e“+e“5ea+ea5e“+eu 162+ 16282 s.1 16COS5x+cos3x+c0sx 5 5 16 8 …10分 4、本小题4分 由题设x”+p)xi+g()x1=f) (3) x2+p(t)x2+q(t)x2=f(t) (4)(4分) (3)-(4)得： (x-x2)”+p0(x1-x2'+q0x1-x2)=0(8分) 即x=x1-x2是齐次方程(2)的解。(10分) 解答下列各题（本大题4分） g'(x)=-csc2(sinf(x)).cosf(x)f'(x)10 解答下列各题（本大题5分） 2红 2 4 F(t)=dodo f(t2)r2singdr 6 =4πf(r2)r2dr F'(t)=8πt5f(t4)10 解答下列各题（本大题6分） 解一：原方程变形为 Ldx-Inxdy+ydy=0 (4分) dn+后)-o (8分) 故通解为 2lnx+y3=Cy(10分) 解二：令lnx=u,方程变形为(4分)
8 2 5 16 2 5 16 2 1 5i x 5i x 3i x 3i x i x i x e e e e e e − − − + + + + + = x x cos x 8 5 cos3 16 5 cos5 16 1 = + + ……10 分 4、本小题 4 分 由题设 x+ p t x + q t x = f t 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) (3) x+ p t x + q t x = f t 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) (4) （4 分） (3)－(4)得： (x x ) p(t)(x x ) q(t)(x x ) 1 − 2 + 1 − 2 + 1 − 2 = 0 （8 分） 即 x = x − x 1 2 是齐次方程（2）的解。（10 分） 解答下列各题（本大题 4 分） g(x) = −csc (sin f (x)) cos f (x) f (x) 2 10 分 解答下列各题（本大题 5 分） F′(t)=8πt5f(t4)10 解答下列各题（本大题 6 分） 解一：原方程变形为 1 1 0 2 xy x y d − ln x d y + y d y = （4 分） d ln d 1 1 2 0 2 y x y + = （8 分） 故通解为 2 3 ln x + y = Cy （10 分） 解二：令 ln x = u ，方程变形为（4 分）
du 1 u=-y2 dy y (7分) 故通解 hx-wc-) (10分) 解答下列各题（本大题4分） 设内接圆柱体的高为h,则圆柱体的底面半径=R2-()2 其体积为 V=R-空)0<h<2R 4分 p'=R2-3) 4 唯一驻点h=25R 3 p"=-3动<0 3 8分 故h=25R时，圆柱体体积最大 0分 解答下列各题（本大题4分） 解：用x=常数截得的正方形，（只取第一卦限） S(x)=y2=(1-x2) V=81=8sx)d 3分 =80-x)本7分 =81- =16 3 10分 解答下列各题（本大题6分） w-[F.dF-[xdx+O+2dy =∫0iu-sin00-cos0)+1-cos1+2 (sn
d d u y y − u = −y 1 2 （7 分） 故通解为 ln x = u = y C − y 1 2 2 （10 分） 解答下列各题（本大题 4 分） h R h V h R h h r R ) 0 2 4 ( ) 2 , ( 2 2 2 2 = − = − 其体积为 设内接圆柱体的高为 则圆柱体的底面半径 4 分 唯一驻点 = − = V R h h R ( ) 2 3 2 4 2 3 3 V = − h 3 2 0 8 分 故h = R时 圆柱体体积最大 2 3 3 , 10 分 解答下列各题（本大题 4 分） 解 用 常数截得的正方形 只取第一卦限 : ,( ) ( ) ( ) ( ) x S x y x V V s x dx = = = − = = 2 2 1 0 1 1 8 8 3 分 = − 8 1 2 0 1 ( x )dx 7 分 3 16 ) 3 1 8(1 = = − 10 分 解答下列各题（本大题 6 分） = = + + C C W F d r x d x (y 2) d y 4 = − − + − + 2 0 (t sin t)(1 cost) (1 cost 2)(sin t) d t 6
=[2u-sa2+70-es02-2cs/ =2π210 解答下列各题（本大题7分） 不一定 例如limx=0 1 limsin上不存在 x→0 但1 imxsin1=0 (存在) x→0 5分 但若A≠0，则1imf(x)g(x)必不存在 0 否则g(x)=)gx) f(x) 倘若fxg()→B,则g()→E (矛盾)10分 解答下列各题（本大题9分） 记 1+21++nl 山n= (2n)！ 4,≤n+ml++nl、ml (2n)l (2n)1(4分) 1 2(n+1)(n+2)-(2n-1) 1 2n+02=, (n≥3) (8分) u ∑收敛，故后收敛。(0分》 n.n! 或解：记 2m
2 0 2 2 (1 cos ) 2 cos 2 1 ( sin ) 2 1 = t − t + − t − t 2 = 2 10 解答下列各题（本大题 7 分） 不一定 例如 不存在 lim limsin x x x x → → = 0 0 0 1 但lim sin （存在） x x → x = 0 1 0 5 分 但若 ，则 必不存在 否则 倘若 ，则 A f x g x g x f x g x f x f x g x B g x B A x x = → → → 0 0 lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (矛盾) 10 分 解答下列各题（本大题 9 分） 记 u n n u n n n n nn n n n = + + + + + + = 1 2 2 2 2 ! ! ! ( )! ! ! ! ( )! ! ( )! （4 分） = + + − 1 2(n 1)(n 2)(2n 1) + = 1 2 1 3 2 ( ) ( ) n vn n （8 分） vn n= 1 收敛，故 un n= 1 收敛。（10 分） 或解：记 v n n n n ! (2 )!
(n+1)(n+1)！ lim lim-(2n+2)! n.n! (2n)川 n+1一=0 =im22n+) (8分) 故=收敛，从而=收敛。(10分)
lim lim ( )( )! ( )! ! ( )! lim ( ) n n n n n v v n n n n n n n n n → + → → = + + + = + + = 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 0 （8 分） 故 vn n= 1 收敛，从而 un n= 1 收敛。（10 分）