试卷五 试卷号：5 学校：公安海警高等专科学校院系： 专业：年级：班级： 学号： 姓名： 考试时间：120分钟试卷总分：100 (请考生注意，本试卷共3页) 大 二 四 五 六 七 八 九 十 十 十 十 题 三 四 饯 绩 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本 大题共4小题，每小题3分，总计12分) 1、 f(x)=sinx在其定义域(-o,+o)上是 (A)奇函数： (B)非奇函数又非偶函数： (C)最小正周期为2π的周期函数；(D)最小正周期为的周期函数。 答() 2 1 2 n-1 limVemen.…ene= 1→0 (A)1 (B)Je (C)e (D)e2 答() 3、 设在x=0的某邻域内连线，旷0)=0，吗0：=2，则点x=0 (A)是f(x)的极大值点 (B)是f(x)的极小值点 (C)不是f(x)的驻点 (D)是f(x)的驻点但不是极值点 答() 4
试卷五 试卷号：5 学校：公安海警高等专科学校院系： 专业：年级：班级： 学号：______姓名：_______ 考试时间：120 分钟试卷总分：100 （请考生注意，本试卷共 3 页） 大 题 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十 一 十 二 十 三 十 四 成 绩 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本 大题共 4 小题，每小题 3 分，总计 12 分） 1、 f x x A B C D ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 在其定义域 −，＋ 上是 奇函数； 非奇函数又非偶函数； 最小正周期为 的周期函数； 最小正周期为 的周期函数。 答（ ） 2 2、 lim ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n e e e e A B e C e D e → − = 1 2 1 2 1 答（ ） 3、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 0 1 cos ( ) ( ) 0 , (0) 0,lim 0 答 不是 的驻点 是 的驻点但不是极值点 是 的极大值点 是 的极小值点 设 在 的某邻域内连续 且 则点 C f x D f x A f x B f x x x f x f x x f x = = − = = → 4
设1=小gax则1 (A)In(e*-1)+c (B)In(e*+1)+c; (C)2n(e'+l)-x+c (D)x-2In(e*+1)+c. 答0 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共3小题，每小题3分，总计9分） 其中a和b都是常数. 其中b是实数. 2、 0= 3、已知点M(,-1,2),M,(3,3,),M,(31,3)在平面元上，n是π的单位法向量，且n 与z轴成锐角，则n= 解答下列各题（本大题共2小题，总计10分） 1、本小题8分 验证柯西中值定理对函数f(x)=1-sm艺，和g(x)=元-x在0，上的正确性 2、本小题2分 指出旋转曲面x+y=4:2是x0平面上什么曲线绕什么轴旋转而成的？ 解答下列各题（本大题共3小题，总计13分） 1、本小题4分 求极限lim (x+1)(22x2+1)(32x2+1)(42x2+1)(52x2+1) K→00 (5x3-3)3.2 2、本小题4分 计算积分疗x-c0sx 0 cosx-smnx 3、本小题5分 在x轴上求点，使它到点M0,1-2)的距离等于它到平面元6xr+3y-2z-9=0的距 离。 解答下列各题（本大题共2小题，总计10分） 1、本小题4分
( ) 2ln( 1) . ( )2ln( 1) ; ( ) ln( 1) ( ) ln( 1) ; d , 1 1 D x e c C e x c A e c B e c x I e e I x x x x x x − + + + − + − + + + = + − = 设 则 答() 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分） 1、 x dx ，其中a和b都是常数． dx d b a sin( 1) __________________ 2 + = 2、 x dx ，其中b是实数． b _________________ 0 = 3、已知点 M1 (1,−1,2), M2 (3,3,1), M3 (3,1,3) 在平面 上， n 是 的单位法向量，且 n 与 z 轴成锐角，则 n =。 解答下列各题（本大题共 2 小题，总计 10 分） 1、本小题 8 分 , ( ) [0, ] . 2 验证柯西中值定理对函数 ( ) =1− sin 和g x = − x在 上的正确性 x f x 2、本小题 2 分 指出旋转曲面 x y z 2 2 2 + = 4 是 xoz 平面上什么曲线绕什么轴旋转而成的？ 解答下列各题（本大题共 3 小题，总计 13 分） 1、本小题 4 分 求极限lim ． ( )( )( )( )( ) ( ) x x x x x x → x + + + + + − 1 2 1 3 1 4 1 5 1 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 5 2、本小题 4 分 计算积分 dx． x x x x − 2 − 0 3 3 cos sin sin cos 3、本小题 5 分 在 x 轴上求点，使它到点 M(0,1,−2) 的距离等于它到平面 :6x + 3y − 2z − 9 = 0 的距 离。 解答下列各题（本大题共 2 小题，总计 10 分） 1、本小题 4 分
设limf(x)=A,求证：limf(x)=A. 2、本小题6分 试证：F()=+21cosx+1)为偶函数. 解答下列各题（本大题2分） 一铁链长20m,线密度为5kg/m,现要把它举起伸直，下端刚好留在地在地面上， 求要作的功 20m 解答下列各题（本大题3分） 判断f(x)= e+马n-x(-11 (0<x<+o) 1+x 解答下列各题（本大题7分） x=e'-xcost-1 试求由 所确定的曲线y=y(x)在x=O (y=12+t 处的切线方程
设 lim ( ) ，求证： lim ( ) ． x x x x f x A f x A → → = = 0 0 2、本小题 6 分 试证： 为偶函数． = + + 0 2 F(t) ln(t 2t cos x 1)dx 解答下列各题（本大题 2 分） . 20 , 5 , , , 求要作的功 一铁链长 m 线密度为 k g m 现要把它举起伸直 下端刚好留在地在地面上 解答下列各题（本大题 3 分） 判断f x 的奇偶性 e e x x x x x ( ) = ln ( ) + − − + − 1 1 1 1 1 1 。 解答下列各题（本大题 4 分） 设 y = cos2 3x 求y (n) ． 解答下列各题（本大题 4 分） 求极限 lim ln . x x x x → x x − 1 − +1 解答下列各题（本大题 7 分） d . sin 2 sin 2 cos 2 4 4 x x x x + 求 解答下列各题（本大题 6 分） 证明不等式 ln(1 ) ( ) 1 1 1 + 0 + + x x x 解答下列各题（本大题 7 分） 试求由 所确定的曲线 在 处的切线方程。 x e x t y t t y y x x t = − − = + = = cos ( ) 1 0 2
解答下列各题（本大题6分） 求由不等式r≤√2cos和r2≤√3sin2所确定的公共部分面积. 解答下列各题（本大题7分） 1+r西x的连续性. 讨论函数f(x)=lim 1-x2n
解答下列各题（本大题 6 分） 求由不等式r 2 cos和r 2 3sin2所确定的公共部分面积. 解答下列各题（本大题 7 分） 讨论函数f x 的连续性． x x x n n n ( ) = lim − + → 1 1 2 2
答案 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本 大题共4小题，每小题3分，总计12分) 1、D10分 2、答：B 3、(B) 4、C 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共3小题，每小题3分，总计9分） 1、010分 b2 ,b0 10分 厉32,2 3、 解答下列各题（本大题共2小题，总计10分） 1、本小题8分 证明：f(x)和g(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且g(x)=-1≠0 即f(x),g(x)在[0，π]上满足柯西中值定理的条件 4分 又对'(x)=-2c0S25分 令但-cos5-fm)-f0-1 8'(5)2 2g(π)-g0)π 、2 得到在(0，π)内有解5=2 arccos π8分 即存在5=2 arcos2∈0，，使'-m)-f0 2 g'(5)g(π)-g(0) 这就验证了柯西中值定理对f)=1-sn和g(x)=元-x 在[0，π的正确性 10分
答案 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本 大题共 4 小题，每小题 3 分，总计 12 分） 1、D10 分 2、答：B 3、（Ｂ） 4、C 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分） 1、010 分 2、 − = b b b b b 2 2 2 0 0 0 2 0 ， ， ， 10 分 3、 1 17 {−3,2,2} 解答下列各题（本大题共 2 小题，总计 10 分） 1、本小题 8 分 证明 和 在 上连续 在 内可导 且 即 在 上满足柯西中值定理的条件 : ( ) ( ) [ , ] , ( , ) , ( ) ( ), ( ) [ , ] f x g x g x f x g x 0 0 1 0 0 = − 4 分 又f x = − x ( ) cos 1 2 2 5 分 令 = = − − = f g f f g g ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 0 0 1 得到在(0, )内有解 2arccos 2 = 8 分 即存在 使 = = − − 2 2 0 0 0 arccos ( , ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g f f g g 这就验证了柯西中值定理对 和 在 的正确性 f x x ( ) sin g(x) x [ , ] = 1− = − 2 0 10 分
2、本小题2分 x2+y2=4:2是x02平面上曲线x2=4:2或x=士2z绕z轴旋转而成的。10分 解答下列各题（本大题共3小题，总计13分） 1、本小题4分 +X22+X3+X4+x52+3) 原式=lim 6-3-2 1 7分 22.32.42.52 53.25 18 5 10分 2、本小题4分 因为x=T为被积函数可去间断点，故 4 原式=-后cosx-sin x)sin2x+sino+cos女 cosx-sinx =-一原a+sin x cos 5分 1 =-2+ 10分 3、本小题5分 设所求点为P(x0,0)2分 PM =x2+5 d= 6x-g列 P到兀的距离 76分 件PM=d2+5=6r-9y 由条 即 7 82 X=- 解得： 13rs-2
2、本小题 2 分 x y z 2 2 2 + = 4 是 xoz 平面上曲线 x z 2 2 = 4 或 x = 2z 绕 z 轴旋转而成的。10 分 解答下列各题（本大题共 3 小题，总计 13 分） 1、本小题 4 分 原式 = + + + + + − → lim ( )( )( )( )( ) ( ) x x x x x x x 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 5 7 分 = = 2 3 4 5 5 2 18 5 2 2 2 2 3 5 10 分 2、本小题 4 分 因为 为被积函数可去间断点，故 原式 x x x x x x x x x dx = = − − + + − 4 2 2 0 2 (cos sin )(sin sin cos cos ) cos sin = − + (1 sin cos ) 0 2 x x dx 5 分 = − + 1 2 ( 1) 10 分 3、本小题 5 分 设所求点为 P(x,0,0) 2 分 PM = x + 2 5 P 到 的距离为 d x = 6 − 9 7 6 分 由条件 PM = d ，即 x x 2 5 6 9 7 + = − 解得： x = − x = − 82 13 , 2
82 即所求点为 和（-2,0,0)10分 解答下列各题（本大题共2小题，总计10分） 1、本小题4分 任给0，使当0<x-x<6 时，恒有V)-<成立3分 又因为fx-4≤f)-A7分 故当0<x-x<时，亦有 f(x-A<城立 所以：im/(x=410分 2、本小题6分 F-)=n(t-21cosx+1d2分 令x=π-u F()=(+2cosu+Idu =1nt2+21cosx+本8分 =F()10分 解答下列各题（本大题2分） w=5ghdh7分 =1000g焦耳10分 (g为重力加速度) dh h 解答下列各题（本大题3分）》
即所求点为 − 82 13 ,0,0 和 (−2,0,0) 10 分 解答下列各题（本大题共 2 小题，总计 10 分） 1、本小题 4 分 任给 0，存在 0，使当0 x − x0 时，恒有 f (x) − A 成立 3 分 又因为 f (x) − A f (x) − A 7 分 故当 时，亦有 成立 0 − 0 − x x f x A ( ) 所以： lim ( ) x x f x A → = 0 10 分 2、本小题 6 分 F(−t) = ln(t − t cos x + )dx 2 0 2 1 2 分 令 x = − u F(−t) = − ln(t + t cosu + )du 2 0 2 1 6 分 = + + ln(t t cos x )dx 2 0 2 1 8 分 = F(t) 10 分 解答下列各题（本大题 2 分） W = ghdh 5 0 20 7 分 = 1000g焦耳 10 分 (g为重力加速度) 解答下列各题（本大题 3 分）
f(-x)=e++x -In e-1"1-x4分 =+imn-x=fx) ex-1"1+x 分 f(x)是偶函数。10分 解答下列各题（本大题4分） y0+ea60)y-6c6r+月 y-片6o6r+目 23分 是6cos6r+n) y(m)=. 210分 解答下列各题（本大题4分） 解原式=lim x*[Inx+1]-1 1-1 5分 x*[lnx+1+x* lim 1 8分 =-210分 解答下列各题（本大题7分） 人 sin2x sin2x 5分 -dx 7分 =jcsc2xdx-2∫dx
f x e e x x x x (− ) = ln + − + − − − 1 1 1 1 4 分 = + − − + = e e x x f x x x 1 1 1 1 ln ( ) 8 分 f (x)是偶函数。10 分 解答下列各题（本大题 4 分） y = + x y = x + 1 2 1 6 1 2 6 6 2 ( cos ) cos( ) y = x + 1 2 6 6 2 2 2 cos( ) 3 分 y x (n) n n = cos( + ) 1 2 6 6 2 10 分 解答下列各题（本大题 4 分） 解原式 = + − − → lim ln x x x x x 1 1 1 1 1 5 分 = + + − → − lim ln x x x x x x x 1 2 1 2 1 1 8 分 = −2 10 分 解答下列各题（本大题 7 分） x x x x d sin 2 sin 2 cos 2 4 4 + + + − = x x x x x x x x d sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2 2sin 2 sin 2 cos 2 4 4 2 2 2 2 5 分 x x x x x d sin ) (sin ) 2 sin 2 (cos 2 2 2 2 2 2 1 + − = 7 分 = x x − d x 2 1 csc d 2
1 =-cotx-三x+C. 10分 解答下列各题（本大题6分） 令fx)=ln1+马-，L 1、 1+x f(x)在(0，+o)内连续 且limf(x)=+oo X)+0 lim f(x)=0 +0 3分 11 1 -1 f'闭=1+x+0+-+对0 即 1、.1 ln(1+-)> x1+x10分 解答下列各题（本大题7分） x=e'-xcost-1 解：由{ 知当x=0时 y=12+1 t=0,y=0 且r=e'-cost-+xsint4分 少=2t+1 .0)=1 0=为8分 故：所求切线方程为y=2x10分 解答下列各题（本大题6分） 解=V2cnsg 2=3sin20, =0,0= 6 °2分 s-ddo 4分 sinl0+0
= − cot x − x + c. 1 2 10 分 解答下列各题（本大题 6 分） 令 在 ， 内连续 且 f x x x f x f x x ( ) ln( ) ( ) ( ) lim ( ) = + − + + = + →+ 1 1 1 1 0 0 lim ( ) x f x →+ = 0 3 分 又 故 在 ， 内单调减 = + − + + = − + + f x x x x x x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 6 分 则对于任意0 x +有 f (x) 0 即 ln(1 ) 1 1 1 + x + x 10 分 解答下列各题（本大题 7 分） 解：由 知当 时 ， x e x t y t t x t y t = − − = + = = = cos 1 0 0 0 2 且x e x cost x sint t = − + 4 分 y = 2t +1 y(0) = 1 x(0) = 1 2 8 分 故:所求切线方程为y = 2x 10 分 解答下列各题（本大题 6 分） 解: cos , sin , , r r = = = = 2 3 2 0 6 1 2 2 分 S = r d + r d 1 2 1 2 1 2 0 6 2 6 2 4 分 = + 1 2 3 2 1 2 2 0 6 2 6 2 sin cos d d
3 / 4 8分 610分 日：罗 32,兀/) 0 视 解答下列各题（本大题7分） 当x1,lim 1 -1 xlim f(x)=lim 1-x2m 1 r3分+1 f(1+0)=-17分 当x=1,f()=08分 故当x≠1时，fx)连续，x=1是(x)的跳跃间断点.10分
= − + + 3 4 2 1 2 1 2 2 0 6 6 2 cos ( sin 8 分 = 6 10 分 解答下列各题（本大题 7 分） 当x x n n = → 1 0 2 lim f x x x x x f n n n ( ) = lim ( ) − + = − = → 1 1 1 0 1 2 2 ， 4 分 当x ， x f x x x x x x x x n n n n n n n n = = − + = − + = − → → → 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 lim ( ) lim lim f (1+ 0) = −1 7 分 当x = 1，f (1) = 0 8 分 故当x 1时，f (x)连续，x = 1是f (x)的跳跃间断点． 10 分