第七章 金属电导理论
除去电导以外，晶体的许多重要性质，如热导、热电 效应、电流磁效应等与电子的输运过程有关的性质也和上 述分析一样，需要在能带论基础上考虑。所以本章给出的 结果对输运过程有普遍意义。 ( ) 1 ( k ) E k n k n 按照能带论，晶体中电子速度为： 晶体中的电子是按能带分布的，处于不同能带、不同 状态的电子有着不同的速度（波包速度），所以它们对电导 的贡献是不同的，只有建立起能够确定外场作用下非平衡分 布函数的半经典方程—— Boltzmann 方程后才有可能处理好 金属电导问题
本章思路： 金属载流子在外电场和温度梯度的驱动下会发生定向运 动，但他们同时也受到杂质、缺陷和晶格振动的散射，两种 因素相互竞争、最终达到平衡，从而形成稳态的输运现象。 我们采用半经典的 Boltzmann 方程及其弛豫时间近似作为处 理固体输运性质的基础。 采用半经典理论框架来处理本质上是量子力学多粒子系 统的行为，显然是有局限性的，因而需要更彻底的量子多体 理论来处理，但这类理论的具体计算比较复杂，要采用多体 Green函数，且只有在少数典型情况下取得了实用的结果， 这些结果大体验证了更加直观的上述半经典方法的可靠性， 因而在多数场合，我们更乐意使用 Boltzmann 方程来处理固 体输运现象
6.1 分布函数和 Boltzmann方程 处于平衡时，电子的分布遵从 Fermi－Dirac 统计， 其中E = En(k)， 。在有外场（如电场、磁场或 温度梯度场）存在时，电子的平衡分布被破坏，在散射 比较弱的情况下，类似于气体分子运动论，我们可以用 由坐标 r 和波矢 k 组成的相空间中的半经典分布函数 f (r, k, t) 来描述电子的运动。 （参考黄昆书6.3节p290） 0 1 exp 1 B f E k k T EF 均匀体系与 r 无关
分布函数 f (r, k, t)的物理意义是，在 t 时刻，电子的位 置处在 r →r+dr 的体积元内，电子的状态处在 k → k+dk 范 围内单位体积的电子数为： 3 3 3 2 d dd 8 n f rk r,k,t 分布函数 f 随时间的改变主要来自两方面：一是电子在 外场作用下的漂移运动，从而引起分布函数的变化，这属于 破坏平衡的因素，称为漂移变化；另一个是由于电子的碰撞 而引起分布函数的变化，它是建立或恢复平衡的因素，称为 碰撞变化。因此，分布函数的变化率为： d c d d f fff tt t t
d f t 为漂移项， c ft 为碰撞项， ft 为瞬变项 当体系达到稳定时，分布函数 f 中不显含时间 t 0 f t d 0 dft 且 d c 0 f f t t 漂移项代表不考虑碰撞时，r，k，t 处的电子来自于 r-dr，k-dk，t-dt。 f ( , ,) ( d, d, d) rkt f r rtk ktt t
则有： 可以展开 f 保留到 dt 的线性项得： ( d, d, d) ( , ,) f f f f r r t k k t t t f r k t dt r dt k dt trk 存在碰撞时： coll ( , ,) ( d, d, d) f f r k t f r r t k k t t t dt t coll coll (, ,) (, ,) f f ff f r k t f r k t dt r dt k dt dt t r kt f f ff r k t r kt
f f ba r k v k —— Boltzmann方程 因此稳态时，分布函数不显含时间，左边第一项为零： coll f ff r k r kt 或者表示为: （黄昆书6-55式p296） coll ' (, ,) ', ( ') 1 ( ) , ' ( ) 1 ( ') k f rkt k k f k f k kk f k f k t 其中碰撞项的表示比较复杂，根据量子力学可以写出： k k kk ', , , ' 分别是电子从 k’态到 k 态，或者 反之的跃迁几率
其中： 3 3 d 1 , 8 k af f k k k kk 3 3 d 1 , 8 k bf f k k k kk 代表了单位时间内由于碰撞而离开（r,k）处单位体积的 电子数。 代表单位时间内因碰撞进入（r,k）处相空间单位体积内 的电子数。 代表单位时间内从 k’ 态进入 k 态的 几率。该式考虑了泡利不相容原理。 ( ', ) k k
Boltzmann方程的理解： 左边两项称漂移项（drift term)， 右边的项称为碰撞项（collision term）或散射项（scattering) 按照半经典模型： d 1 () () d d (,) ( ) (,) d n kn n r k Ek t k F e Ert k Brt t Boltzmann方程就是从能带结构出发，利用这些关系，将 碰撞的作用与分布函数相联系，成为处理固体中输运现 象的出发点。 f f ba r k v k