固体的弹性—应力、应变和弹性波 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 1 / 42
目录 1 位移场、应力和应变 2 晶体中的弹性波 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 2 / 42
应力—应变曲线 ❀ 固体在外力作用下将发生形变： ☞ 如果外力撤去后形变消失，则该形变称为弹性 形变（elastic deformation） ☞ 如果外力撤去后形变残余，则该形变称为塑性 形变（plastic deformation） elastic region plastic region strain hardening zone necking zone linear Hooke’s law fracture point yield point linearity limit ultimate strength strain ε stress σ 图 – 拉伸测试（tensile test）中典型的应力—应变曲线。1 1 https://www.tec-science.com/material-science/material-testing/tensile-test/ 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 3 / 42
固体、液体、气体中的声音传播 图 – 固体、液体和气体中的声音传播。 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 4 / 42
谐振子及胡克定律 ∆x F = k · ∆x Hooke’s Law 图 – 谐振子模型示意图。 ❀ 谐振子运动方程（Equation of Motion）: F = ma = m d 2x dt 2 = ´k x (1) ❀ 方程的解为 x(t) = A0 sin(ω0t + ϕ) ð ω0 = c k m (2) 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 5 / 42
晶体的连续介质近似 ❀ 处理晶体的弹性问题时，我们将忽略晶体的微观晶格结构，把晶体当成连续介质（continuum）。 ✍ 显然，只有当弹性波的波长超过100 Å 时，这种近似是允许的。 图 – 晶体的连续介质近似：弹性波波长远大于晶格间距（„10 Å）。 ❀ 此外，我们只考虑线性弹性形变，即胡克定律（Hooke’s law）适用的区域。 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 6 / 42
位移场 ❀ 当弹性体受到扰动之后，弹性体的各个位点 r 偏离平衡位置，记偏移的量为 u(r,t)，称为位移 场（displacement field） r 1 ´ r = u(r,t) = ux(r,t) uy(r,t) uz(r,t) (3) 图 – 形变之后的音叉中的位移场。 ☞ 位移场的运动方程（equation of motion）描述了弹性波在弹性体之中的传播。 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 7 / 42
一维棒的应变 0 x L u(x) u(x + dx) dx u(L) x ′ dx′ 图 – 一根一维棒形变前后示意图。 ❀ 一维棒应变（strain）的定义 ε(x) = δ(dx) dx = dx1 ´ dx dx = u(x + dx) ´ u(x) dx = Bu(x) Bx (4) ☞ 均匀形变，则应变 ε 为常数，否则 ε(x) 依赖 x。 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 8 / 42
应变 ❀ 考虑原先处于 r 和 r + δr 处的两点，两点的间距为 δr，发生形变之后，两点位移的变化量为 δu(r,t) = u(r + δr,t) ´ u(r,t) « δr ¨ ∇u(r,t) + O(δr 2 ) (5) 忽略二次项，并写成分量的形式 2 δui = ÿ3 j=1 δrj Bui Brj (i = 1, 2, 3) (6) 更进一步，我们把上式右边分解成对称和反对称两部分： δui = 1 2 ÿ3 j=1 [ Bui Brj + Buj Bri ] δrj + 1 2 ÿ3 j=1 [ Bui Brj ´ Buj Bri ] δrj (7) 定义无量纲的二阶对称张量 ε，其张量元为 εij = 1 2 [ Bui Brj + Buj Bri ] = εji (8) ε 称为应变张量（strain tensor），反映了弹性体中形变的相对大小：δu/δr。 2这里数字分别代表：1 Ñ x, 2 Ñ y, 3 Ñ z, 比如 r1 = x，u1 = ux 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 9 / 42
应变张量 ❀ 二阶应变张量 ε： ε = εxx εxy εxz εyx εyy εyz εzx εzy εzz (9) = Bux Bx 1 2 ( Bux By + Buy Bx ) 1 2 ( Bux Bz + Buz Bx ) 1 2 ( Buy Bx + Bux By ) Buy By 1 2 ( Buy Bz + Buz By ) 1 2 ( Buz Bx + Bux Bz ) 1 2 ( Buz By + Buy Bz ) Buz Bz (10) ❀ 或者可以简单写成 ε = 1 2 [ ∇u + (∇u) T ] (11) 式(11)建立了位移场 u（displacement field）和应变张量 ε（strain tensor）之间的关系。 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 10 / 42