《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，上）习题参考答案（1-4）

热学 热力学与统计物理（上册） 习题参考答案 第一章 温度 物态方程 1，华氏温标取水的冰点为 32 0F，水的沸点为 212 0F。摄氏温标取水的冰点为 0 0C，水的 沸点为 100 0C。试导出华氏温标与摄氏温标的换算关系；并计算在什么温度下华氏温 标和开氏温标有相同的温度读数。 （答案： ( / 32) 9 5 / 0 0 t C = t F − ； T K F 0  = 574.59 / = 574.59/ ） 解： ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 0 100 32 180 t V V V t V V V V F c − + − − + = − = ，得： ( 32) 9 5 t c = tF − 。 t c = T − 273.15，tF = T 代入上式： ( 32) 9 5 T − 273.15 = T − ，得： T K F 0  = 574.59 / = 574.59/ 2，定义温标  t 与测温物质的性质 x 之间的关系为： t = ln(kx)  式中 k 为常数，求： （a）设 x 为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点为  t =273.16 0C，试确定温标  t 与热力学温标之间的关系。 （b）在温标  t 中，冰点和汽点各为多少度？ （c）在温标  t 中是否存在零度？ （答案：（a）  t =273.16-ln273.16+lnT；（b）  t （冰点）≈273.16 K；  t （沸点）≈273.47 K （c）  t =0 时，T≈0 K） 解：（a），热力学温标： 3 273.16 p p T = ，  t 温标： ( ) 3 t = ln kp  ， 故 3 3 273.16 ln ln ln p p t − = kp − kp =  ， 273.16 273.16 ln 273.16 ln 3 T p p t = + = + 

t = 273.16− ln273.16+ lnT  （b）， t = 273.16 − ln 273.16 + ln 273.15  273.16(K)  冰 t = 273.16 − ln 273.16 + ln373.15  273.47(K)  沸 （c）， = 0  t 时， T e e 0K ln 273.16 273.16 267.55 = =  − − 3，在容积为 V 容器中，盛有待测的气体，其压强为 1 p ，测得重量为 G1 。然后放掉一部分 气体， 使气体的压强降至 2 p ，再测得重量为 G2 。若放气前后的温度 T 不变，求该气体的摩尔质 量  ；如果气体的压强为 p 时，气体的密度  为多少？ （答案： Vg RT p G Vg RT p p G G   = − − = 1 2 1 2  ， g 为重力加速度； p p Vg G    = ） 解：   RT p 1 1 = ， Mg RT p Vg G = Vg + Mg = +   1 1 1 ， Mg RT p Vg G = + 2 2 ， ( )  RT Vg G1 − G2 = p1 − p2 ， Vg RT p G Vg RT p p G G   = − − = 1 2 1 2  当压强为 p 时， p p Vg G RT p   = =   。 4，容积为 3 2500cm 的烧瓶内有 15 1.010 个氧分子、 15 4.010 个氮分子和 g 7 3.3 10−  的 氩气。 设混合气体的温度为 C 0 150 ，求混合气体的压强。 （答案： p = 0.0233Pa ） 解：

3 7 23 15 3 3 0 1 2 1 2 3 2.5 10 8.31 423 40 3.3 10 6.02 10 5.0 10 − −            +   =         + + = + + = V M RT N N N p p p p  p = 0.0233Pa 5，一机械泵的转速为  转/分，每分钟能抽出气体 c 升。设一容器的体积为 V 升，问要 抽多长 时间才能使容器内的压强由 0 p 降至 0 2 10 p − ？ （答案： p p c V t 0 = ln ，注意：  c << V ） 解：设在时间 dt 内，机械泵转过 dt 转，抽出的气体为 cdt ，因此在此时间内气体的状态 从 (p(t),V) 变到 (p(t)+ dp,V +cdt) ，由理想气体状态方程得： p(t)V = (p(t)+ dp)(V +cdt)， dt V c dt dp = − ， ( ) t V c p t p e − = 0 ， p p c V t 0 = ln 。 这里假设了：  1 V c ，其中  c 为每转排出的气体体积。 另一解法：抽机每转排出的气体体积为  c V = ， 抽机转 n 转后气体的压强为： p0 V V V p n n       +  =  ，       = + V V p p n n  ln ln 1 0 ， 抽机每转一转的时间为：  1 t = ，n 转所费的时间 t 为：       + =       + = = V c V c p p t n t     lg 1 2 ln 1 ln 0  。 当  1 V c ， p p c V V c p p t 0 0 ln ln 1 ln        + =   ，与上相同

6，试求理想气体和范德瓦尔斯气体的定容压力系数 T V p p         = 1  。 （答案： T 1  1 = ；         = + 2 2 1 1 pV a T  ，1mole；         = + 2 2 2 1 1 pV a T   ，（  mole） 解：对理想气体： V RT p  = ， T T p V ln 1 1  =         理 =  = ； 对范德瓦尔斯气体： 2 V a V b RT p − − = （1mole） 2 2 V a V b RT p    − − = （  mole）          = +       = +      − − = 2 2 2 1 1 1 0 1 pV a V T a p V b pT R p  ， （1mole）；         = + 2 2 2 1 1 pV a T   ， （  mole） 7，某液体从 C 0 0 加热到 C 0 100 ，其压强增加 2atm ，体积不变。若该液体的等温压缩系数 是 5 1 4.5 10− −  atm ，求体膨胀系数。设等温压缩系数和体膨胀系数均为常数。 （答案： 7 1 9.0 10− − = =  K T p T     ） 解： dV =VdT −V T dp ， 体积不变， dV = 0 ， 得： dT  T dp  = ， 由于  ， T 均为常数，则有： 5 7 1 9.0 10 100 2 4.5 10− − − = =   =  K T p T     8，假设在压力不太高的情况下，一摩尔实际气体的物态方程可表示为：       = + V B pV RT 1 1 ， 其中 B1 仅是温度的函数，试求此气体的定压膨胀系数和等温压缩系数，并证明 V →  的 极限情况下，它们分别趋于理想气体的相应的系数

（答案： V B T T dT dB V T V B 1 1 1 2 1 + + +  = ，V → ， T 1  = ； p V V B p p V B 1 2 1 1 1 →  = + +  = ， ， ） 解： 对理想气体： pV = RT （1 mole）， p RT V = ， pV T R T V V p 1 1  = =         = ； p p RT p V V V T T 1 1 1 2 =         = − −            = − ； 对上述一摩尔实际气体： ( )1 2 pV = RT V + B ， p 不变，两边对 T 求偏微商： ( )          +         = + +        dT dB T V R V B RT T V pV p p 1 2 1 ， ( ) pV RT dT dB R V B RT T V p − + +  =        2 1 1 ， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 TV TB dT dB V B T RT V B RTV dT dB R V B RT pV RTV dT dB R V B RT T V V p + + + = + − + + = − + +  =         = ， V B T T dT dB V T V B 1 1 1 2 1 + + +  = 。 V → ， T 1  = ； T 不变，对物态方程的两边对 p 求偏微商： p T p V RT T V V pV          =        + 2 2 ， pV (V B ) pV V RT pV V T V p 2 [ 1 ] 2 2 2 2 + − = −  =        ， ( ) 1 1 1 2 2 1 2 2 2 pV 2 pB V B V pV pV pVB V V B − − + =  − − + = 1 1 2 1 pV pB V B p V V T + + =            = − p V V B p p V B 1 2 1 1 1 →  = + +  = ， ，

9，某一气体的定压膨胀系数和等温压缩系数各为： pV nR  = ， V a p = + 1  其中 n, R 和 a 都是常数。试求此气体的物态方程。 （答案： 2 2 1 pV = nRT − ap ） 解： T p V V         = 1  ， p nR V pV nR V T V p  = =  =         ， T p V V           = − 1  ，         = − +         = − = − +           a p V V a p V V p V T 1  ， 令物态方程为： V =V(T, p)， 它的全微分为： a dp p V dT p nR dp p V dT T V dV p T         = − +            +        = ， 两边乘以 p ， pdV = nRdT −Vdp − apdp ， pdV +Vdp = nRdT − apdp ，       = − 2 2 1 d( pV ) d nRT ap ， 2 2 1 pV = nRT − ap 。 10，已知一摩尔物质的定压膨胀系数和定容压力系数分别为： pV R  = ， T 1  = ， 求该物质的物态方程。 （答案： p(V −b) = RT ） 解： T p V V         = 1  ， T V p p         = 1  ( ) ( ) dp p T dV R p dp V dV p dp p T dV V T dT p V = + = +            +        = −1 −1   ，         = − = p RT dp d p RT dT p R dV 2 ， C p RT V = +

V C p = → lim ，即不可压缩之体积（1mole）， 所以 C = b， 得： p(V −b) = RT 。 11，简单固体和液体的体胀系数  和压缩系数  的数值都很小，在一定的温度范围内可以把  和  看成常数。试证明简单固体和液体的物态方程可以表示为： V(T p) =V (T ) +(T −T )−p ， 0 0，0 1 0 解： dp VdT Vdp p V dT T V dV p T =  −            +        = ， dT dp V dV =  − ， 从状态 ( ) 0 0 0 T ,V , p 至状态 (T,V, p) 积分： ( ) ( ) 0 0 0 ln T T p p V V = − − − ， ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , T T p p V V T p e − − − =   ， 因  和  很小，在一定温度范围内， ( ) ( )  T −T0 − p − p0 也很小， 可用指数展开， e x x = 1+ ， ( ) ( )( ( ) ( )) 0 0 0 1 0 0 V T, p =V T , p + T −T − p − p ，令固体、液体初始压力 p0 = 0 ， 则： V(T p) =V (T ) +(T −T )−p ， 0 0，0 1 0 。 12，假如某一物质的定压温标和定容温标相等，证明这一物质的物态方程为：  =(p + a)(V + b)+C， 其中  为这一物质的定压温度计和定容温度计所测得的共同温度， a 、b 、c 、 均是常 数。 （提示：先证明 0 2 2 =   p  ， 0 2 2 =   V  ） 解： 定压温标为： V = V (1+ ) 0 ，         = −1 1 V0 V   ， 0 2 2 =   V  ， 定容温标为： p = p (1+) 0 ，         = −1 1 p0 p   ， 0 2 2 =   p  ， 由 0 2 2 =   V  ， 得： ( ) C1 p C2 V = +   ， ( )( )  = C1 p V +b +C2

由 0 2 2 =   p  ， 得： ( ) ( ) p C p V b p   = +   1 ， ( ) ( ) 0 2 1 2 2 2 =   = +   p C p V b p  ， ( ) 0 2 1 2 =   p C p ， ( ) 3 1 C p C p =   ( ) ( ) C1 p = C3 p + a +C4，  =(p + a)(V + b)+C。 13，实验发现橡皮带有：                = +        3 0 1 2 L L AT L t T ；                = −        3 0 1 L L AL T t L 式中 t 为张力， L0 为无张力时的带长， A 为常数。（a）计算 T t L         ，并讨论其意义；（b） 求物态方程。 （答案：               +               −  = −        3 0 3 0 1 2 1 L L T L L L T L t ；物态方程：               =  − 2 0 0 L L L L t A T ） 解： （a）计算 T t L         ， 用等式：  = −1                        T t L t T T L L t ， L L t T T t          =        1 ，               +               − = −               +               − = −                 = −                  = −        3 0 3 0 3 0 3 0 1 2 1 1 2 1 1 L L T L L L L L AT L L AL L t T t t T L T t L T L T L t ， 它是张力 t 不变时，带长 L 随温度的变化率。 （b）求物态方程 ， t = t(T,L) dL L L dT AT L L dL AL L t dT T t dt L T               + +                = −         +        = 3 0 3 0 1 1 2

对 L 积分： C(T ) L L t AT L  +      = − 2 3 0 上式对 T 偏微商， ( ) dT dC T L L AL T t L +                = −        3 0 1 ， 与已知条件：                = −        3 0 1 L L AL T t L 比较得： ( ) = 0 dT dC T ，C(T)= const. = B ， 所以： B L L t AT L  +      = − 2 3 0 ， 由 L = L0 时， t = 0 , 得： B = 0 ，               =  − 2 0 0 L L L L t A T 。 14，已知： V b R −  =        T V p ( ) 3 2 V b RT V 2a −  = −        V T p 式中 a 和 b 是常数，证明该物态方程是范德瓦尔斯方程。 解： 由 ( ) 3 2 V b RT V 2a −  = −        V T p ， T 不变时，对 V 积分： C(T ) V b RT V a p + − = − +2 ， 由此式对 T 求偏微商： ( ) dT dC T T p V ＝ ＋ V b R −         ，因： V b R −  =        T V p ， 所以 ( ) = 0 dT dC T ，C(T)= const. =C ， 由 C V b RT V a p + − = − +2 ，当 V →  ， p → 0 ，故 C = 0 （为理想气体）， 得： (V b) RT V a p  − =      + 2 ，即范氏方程

第二章 热力学第一定律 1，理想气体的初始状态为： pi Pa 5 = 1.010 ，Ti = 300K ， 3 Vi = 1.0m ，求下列过程中 气体所作的功： （a）等压膨胀到体积 3 Vf = 2.0m （b）等温膨胀到体积 3 Vf = 2.0m （c）等容加压到压强 pf Pa 5 = 2.010 。 （答案：（a） J 5 1.010 ；（b） J 5 ln 210 ；（c）0） 解：气体对外界作功： W =  pdV （a） 等压膨胀到体积 3 Vf = 2.0m ，W pdV p(V V ) J f i 5 =  = − =1.010 ； （b） 等温膨胀到体积 3 Vf = 2.0m ， J V V p V V dV W pdV RT i f i i V i V f i 5 =  =  = ln = ln 210 ； （c）等容加压到压强 pf Pa 5 = 2.010 ， V = 0，W = 0。 2，1 mole 的某种实际气体遵守以下状态方程： p(V −b) = RT ，其中 b 为分子体积的修正， 0＜ b ＜ V 。导出该气体从初态的体积 Vi 准静态地等温膨胀到终态的体积 Vf 时，外界对 气体所作的功；并与理想气体作比较，外界对气体所作的功是多了还是少了？ （答案：外界对实际气体所作的功为： V b V b RT i f − − − ln ；比外界对理想气体所作的功少。） 解：外界对气体作功： V b V b RT V b V b RT V b dV W pdV RT i f f V i V f i − − = − − − = − = − = −  ln ln ， 理想气体，外界对气体所作的功： i f f i V V RT V V W理 = RT ln = − ln