《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，上）习题参考答案（5-10）

第五章和第六章 相变（Ⅰ）和相变（Ⅱ） 1，立方点阵的点阵常数为 a ，在体心立方点阵的情形下，求：（a）原胞的体积；（b）原胞的 结点数；（c）最近邻结点间距离；（d）每一结点的最近邻结点数；（e）以体心到三个最近邻 的顶点连线为边形成的菱面体作为原胞，求此原胞的体积和它所包含的结点数。 （答案：（a） 3 a （b） 8 2 8 1 n = 1+  = （c） d a a 2 3 3 2 1 =  = ；（d） n = 8 ；（e）以体 心为坐标原点，与三个顶点 ( i j k ) a    − + + 2 、 (i j k ) a    − + 2 和 (i j k ) a    + − 2 的连 线为边的菱形体所作的原胞体积为 2 3 a ） 解：（a） 3 a ；（b） 8 2 8 1 n = 1+  = ；（c） d a a 2 3 3 2 1 2 1 = 体对角线 =  = ； （d） n近邻 = 8 ；（e）以体心为坐标原点，与三个顶点 ( i j k ) a    − + + 2 、 (i j k ) a    − + 2 和 (i j k ) a    + − 2 的连线为边的菱形体所作的原胞体积为： ( ) 2 a 8 a 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a 3 3 3 1 2 3  =  =       − − − −   =    a 。所以这种元胞只包含 一个结点，称布喇菲元胞，即 n布 =1。 2，晶体的弹性与粒子的相互作用能 E p 有密切的关系。试证明晶体的体积弹性模量 B 、绝 热压缩系数  S 与 E p 之间的关系为： 2 2 1 dV d E B V p S = =  （注：晶体的弹性压缩可看作为绝热过程，有 V V p B   = − ， V S p B V         = − ） 解：晶体的弹性压缩可看作为绝热过程（速度很快，能量来不及交换），则体积弹性模量 B 和压强增量之间的关系为： V V p B   = − ， V S p B V         = − ，而绝热压缩系数

s S p V V           = − 1  ，比较可得： S s dV p B V        = = −  1 ，在绝热过程中，外界对系统作 的功等于晶体内能的增加的这部分内能即为粒子间相互作用能量的增量， dEp = −pdV ， dV dE p p = − ，所以有： 2 2 dV d E V dV p B V p s  =       = − 。 3，将一个钠原子从钠晶体的内部移到晶体表面所需的能量为： u  =1.0eV ，（a）计算在 1000K 的温度下空位数占原子总数的百分比；（b）如邻近空位的钠原子跳到空位上所需 的能量为： u  = 0.5eV ，原子的振动频率为 12 1 10 − s ，相邻两钠原子的距离为 0.371nm ，则在 1000K 的温度下钠的自扩散系数是多少？ （答案：（a）热振动产生的空位数服从玻氏分布 u kT n Ne−  / = ， 6 / 9.22 10− n N =  ；（b） 自扩散系数 D v 3 1 = ，而   v = ； D = 1310−16（m 2 s −1） ） 解：（a） 由于热振动产生的空位数服从玻氏分布 u kT n Ne−  / = ， 11.6 6 23 3 19 9.22 10 1.38 10 10 1.6 10 / exp − − − − −  = =             n N = e = − e u k T ； （b） 自扩散系数 D v 3 1 = ，而   v = ；由于粒子是靠空位的移动而移动的，则只有 当该粒子邻近有一个空位时它才能移动，因为粒子旁有空位的概率为： n/ N ，所以粒子 移动一次平均所需的时间应为粒子邻近的空位移动到另一空位上去的时间 1  乘上 N / n ， 即 1 1  =  =  u  kT e n N ，由于空间移动需能量 u ，所以 u kT u kT e e   − = = 0 1 10 1    ， ( u u ) kT e +  =  10   ， ( ) ( ) ( ) 气 （ ） D m s D e e u u k T u u k T  =             −   =    = = = − − − − − − +  − +  16 2 1 23 3 19 2 12 10 2 0 10 2 2 13 10 1.38 10 10 1.5 1.6 10 10 3.71 10 exp 3 1 3 1 3 1 3 1        

4，试估算立方晶体中原子的振动频率  ，设立方体的点阵常数为 a m 10 10−  ，原子质量 m kg 26 10−  ，晶体的体积弹性模量 11 2 10 − B  N  m 。 （答案： Hz m k 13 10 2 1 2 = =       ） 解：体积弹性模量 V T p B V         = − ，所以晶体在压强 p 的作用下，晶体体积的相对变化为： V V ，则 3 3 a a B V V p B   = − = − ， 原子所受的力为： f pa 3Baa 2 = = − ， 此力为恢复力，弹性常数 k = 3Ba ，所以它使原子在平衡位置附近振动，振动频率为： m Ba m 2 k 3  = = (Hz) Hz m Ba 12 13 26 11 10 8.7 10 10 10 3 10 10 2 3 1 2 1 2 =     = =  − −      。 5，用橡皮管把玻璃毛细管 A 和粗管 B 连接，内中盛水，如图所示。现固定 A 管，把 B 管缓 慢提起，则 A 管中的水面将升高，到达管口，并溢出。（a）在 B 管上升时，画出几个表 示液面形状的图，指出何时两管水面的高度差最大？（b）若 A 管内径 d1 = 0.7mm ，水 的表面张力系数 2 1 7.3 10− −  =  N  m ，接触角 0  = 0 ，那么 A 管与 B 管中水面的最大 高度差是多少？ （答案：（b），设 A 管与 B 管水面的高度差为 H ，则当 2 1 0 d H  h + 时， A 管液面为半 凹球面， h0 = 4.3cm ；当 0＜ H ＜ 2 1 0 d h + 时， A 管液面为凹液面，曲率半径 R

随 H 的减小而增大， H =0 时，液面为平面；当 H ＜ 2 4 2 2 d gd +   （ 2 d 为 A 管 外径） A 管凸液面的曲率半径大于 2 2 d ；当 H = 2 4 2 2 d gd +   ，A 管凸液面为半球 形，曲率半径 2 2 2 d R = ，再提高 B 管液面， A 管液面破裂溢出。 A 管与 B 管中水 面的最大高度差 hmax = h0 = 4.3cm ） 解： （a）水能润湿玻璃，在毛细管中形成凹液面。表面张力使 A 中水面与 B 管中水面有 恒定高度差（图 1）；当 B 管上提时， A 管液面不断上升（图 2）,直到凹液面上部 到达管口时为止，液面高度差恒定不变。再提高 B 管， A 管液面曲率半径不断增大 （图 2），当 A 、 B 液面在同一水平面时， A 管液面正好在管口形成平面，继续缓 慢提高 B 管液面，则 A 管口呈凸液面（图 3），在提高 B 管， A 管口的液面达到半 球形，然后破裂，水从管中喷出， B 管液面下降到 A 管液面水平为止。 设 A 管口与 B 管液面高度差 H ，则当 2 1 0 d H  h + 时， A 管液面为半凹球面， cm gR gd h 0.0426 4.3 10 9.8 0,7 10 2 4 4 0.073 3 3 1 0 = =     = = =     。 （b） 当 2 0 1 0 d  H  h + 时， A 管内液面在管口为半凹液面，曲率半径 R 随 H 的减小而增大， H = 0 时，液面为平面。 （c） 2 4 d2 gd H  +    ,其中 2 d 为 A 管外径， A 管凸液面的曲率半径大于 d2 / 2 。 （d） 2 4 2 2 d gd H = +    ， A 管的凸液面呈半球形，曲率半径 2 2 2 d R = ，再提高液 面， A 管液面破裂溢出

A 、 B 管内液面的最大高度差 hmax = h0 = 4.3cm 。 6，两端开口的玻璃管，上部是毛细管，下部是粗园管。粗端置于大口敞开的水槽内，在水 槽和玻管内注入水，若弯月面比水槽中水面高 10cm ，大气压强为 Pa 5 10 （见图），问： （a） 在什么条件下可形成这个水柱？（b）在弯月面下 4cm 处的压强是多少？（c）若水 的表面张力系数 2 1 7 10− −  =  N  m ，接触角  = 0 ，求玻璃毛细管的内径 r 。 （答案：（b） pB Pa 5 = 0.99410 （c） r = 0.143mm ） 解：（a）若把此玻管直接放入水槽内，向水槽注水，水面又不超过粗管部分，就不可能形成 此水柱。若要形成如图的情况，就必须将容器倒转过来，成为漏斗状，并先封住细管口， 注满水后倒插入水槽内，再将细管启封，这就会形成图中所示的水柱。 （b）以 A 为基准： r pB pA gh p   2 = + 1 = 0 − ，但 r 未知，无法求。 现以 D 为基准： pB pD gh p gh Pa 5 3 5 = −  2 = 0 −  2 =10 −10 9.80.06 = 0.99410 。 （c） ( ) ( ) 0 1 2 0 1 2 2 g h h r pC = pD = p = pA + g h + h = p − +  +   所以 ( ) mm g h h r 0.143 10 9.8 0.1 2 2 0.07 3 1 2 =    = + =   7，两平行玻璃板，宽 l = 0.100m ，两板间距 d m 4 1.0 10− =  ，两板部分浸入水中，如图所 示。，水的表面张力系数 2 1 7.0 10− −  =  N  m ，接触角  = 0 ，试求：（a）两板间水面 上升的高度 h 是多少？（b）两板间的吸引力 F 是多少？

（答案： h = 0.143m ； F =10.0N ） 解： （a） 设两板间的凹液面呈半圆柱面，在两板间中心作正交截口得两曲率半径： m d R 5 1 5.0 10 2 − = − = −  ； R2 =  ，所以 R R d pA p p   2 1 2 − 0 =  = + = − ， d gh   2 − = − ， m gd h 0.143 10 9.8 1.0 10 2 2 0.07 3 4 =     = = −   。 （b） 以水平面为基准，在高度为 x 处水的压强为： p − gx 0 ，板外压强为 0 p ，所以 板所受到的压强差为 p − (p − gx) = gx 0 0 ，方向指向水柱内，板所受到的吸引力为： df = gxl dx ， F df gl xdx glh ( ) N h 10 9.8 0.1 0.143 10.0 2 1 2 1 2 2 3 0 =  =   =  =     = 8，在本题图中所示的两边内径不同的 U 形管中注入水，设半径较小的毛细管 A 的内径 r m 5 5.0 10− =  ，半径较大的毛细管 B 的内径 R m 4 2.0 10− =  ，试求两管水面的高度 差 h。 已知水的表面张力系数 2 1 7.3 10− −  =  N  m 。 （答案： h = 0.223m ） 解：在 A 、 B 管凹液面下，取 a 、b 两点，则：

gh r p gh p R pb p a     = − = + = − + 2 2 0 0 ， 由此得：        −     =      = − 3 −5 −4 2.0 10 1 5.0 10 1 10 9.8 2 1 1 2 0.073 g r R h   (4 1) 0.223m 10 9.8 2.0 10 2 0.073 3 4 − =     = − 9，假定在 C 0 100 和 1atm 下，水的汽化热为 5 1 5.39 10 − L =  Cal  kg ，蒸汽的比 容为 3 1 1.67 − m  kg ，试计算在汽化过程中提供的能量中用于作机械功那部分所占的百分比。 （答案： = = 7.5% L W  ） 解： 水在 C 0 100 和 1atm 下汽化成水蒸气，每公斤水吸收的热量即为汽化热 L ， L 的一部 分用于增加水蒸气的内能，另一部分用于体积扩大所作的机械功 W ，每公斤水变成水蒸 气系统所作的机械功为： ( ) ( ) 5 3 1.013 10 1.67 1.0 10− W = p V汽 −V水 =   −  在汽化过程中所作作的机械功与吸收的能量的百分比为： ( ) ( ) 7.5% 4.186 5.39 10 1.013 10 1.67 1.0 10 5 5 3 =     −  = − = = − L p V V L W 汽 水  。 10，M 千克固体的密度为 1 ，当温度为 T 、压强为 1 p 时，熔解为密度为 2 的液体，熔解 热为 L ，试求：（a）固体溶解成液体时内能的增量；（b）熵的增量。 （答案：（a）               = − − 2 1 1 1 1   U M L p （b） T ML S = ） 解： （a） 由能量守恒得： ( ) ML = U + Mp1 Vl −Vs ， ( )               = − − = − − 2 1 1 1 1 1   U ML Mp Vl Vs M L p ， （b） Q = ML = TS T ML S = 。 11，质量为 M = 0.027kg 的气体，占有体积 2 3 V 1.0 10 m − =  ，温度 T = 300K 。在此温度

下液体的密度 3 3 1.3 10 −  l =  kg  m 、饱和蒸汽的密度 3 4 −  g = kgm ，假设用等温压 缩的方法将此气体全部压缩成液体，试问：（a）在什么体积时气体开始液化？（b）在什 么体积时液化终了？（c）当体积为 3 3 1.0 10 m −  时，液、汽各占多少体积？ （答案：（a） 3 3 V1 6.75 10 m − =  （b） 5 3 V2 2.08 10 m − =  （c） xg = 98.2% ； xl =1.8% ） 解： （a）当气体达到饱和蒸汽密度时，再压缩时就有气体开始液化。 g V M =  1 ， 3 3 1 6.75 10 4 0.027 m M V g − = = =   。 （b）当液化终了时，其密度恰好为液体的密度，其体积为 V2 。 l V M =  2 ， 5 3 2 3 2.08 10 1.3 10 0.027 m M V l − =   = =  。 （c） 当 3 3 1.0 10− V =V =  时，液、汽所占体积百分比分别为 l x 和 g x ，则 xl + xg =1 3 3 3 27 − + = = = Kg m V M x x ll g  g  解得： 98.2% 1.3 10 4 1.3 10 27 3 3 3 =  −  − = − − = l g l g x     ； xl =1− xg =1.8%。 12，当铅在大气压下熔解时，熔点为 600K ，密度从 3 11.01g  cm （固体）减少到 3 10.65g  cm （液体），熔解热为 1 24.5 − J  g ，求：在 Pa 7 1.0110 压强下熔点是多少？ （答案： T = 600.75K ） 解：由克拉伯龙方程： ( ) T V2 V1 L dT dp − = ， ( ) dp L V V T dT 2 − 1 =

( ) 0 2 1 0 p p L V V T T e − − = ， T0 = 600K p0 =1atm ( ) 3 6 3 2 1 24.5 10 11.01 10.65 10 1 1 1 (11.01 10.65) 10     −  = − =        = − − l s s l L L l s L V V       10 1 2 =1.2510 N m − − ( ) T T e e K p p 600 600.75 10 7 0 10 1.25 10 1.25 10 1.0 10 = 0 = =  −    − − ， 或： 由于 ( )  1 − p L Vl Vs 600 1.25 10 1.0 10 0.75 10 7 0  =     =      − = − p L V V T T l s   或： p L V V p T T L V V T T e T l s l s p L Vl Vs    −  = +      − =  + − 0 0 1 0 0 ， 600 1.25 10 1.0 10 0.75 2 1 10 7 0  =     =      − = − p L V V T T  13，硅酸盐在 1atm 下的熔点为 C 0 1300 ，液相密度与固相密度之比为 0.9 ，它的熔解热为 5 1 4.186 10 −  J  kg ，试估算地球表面附近硅酸盐熔点随地层深度的变化。 （答案：取地表为原点， z 方向指向地球中心， 3 1 4.1 10− − =  K  m dz dT ，即地层 1km 深处， 熔点升高 4.1K ） 解：取地表为原点， z 方向指向地球中心，地球表面下硅酸盐所受的压强随 z 的变化为： g dz dp =  s ， 由克拉伯龙方程： ( ) T Vl Vs L dT dp − = ， dT dz g dT dz dz dp dT dp = =  s

两式联立： ( ) dT dz g T L s l s l     = 1− ， ( ) 3 1 5 4.1 10 9 4.186 10 1573 9.8 9 1 − − =      = = − = K m L Tg L Tg L dz dT l l s l s      。 即地层 1km 深处，熔点升高 4.1K 。 14，氢的三相点温度为 Ttr = 14K ，在三相点时，固态氢密度 3 81.0 −  S = kg  m ，液态氢密 度 3 71.0 −  L = kg m ，液态氢的蒸汽压方程为： T T p 0.3ln 122 ln = 18.33 − − ， ptr = 6795Pa ；溶解温度和压强的关系为： Tm p 7 14 2.991 10− = +  （式中压强单位 均为 Pa ），试计算：（a）在三相点处的汽化热、熔解热和升华热；（b）升华曲线在三相 点处的斜率。 （答案：（a）在三相点处的汽化热 5 1 4.895 10 − L =  J  kg 、熔解热 4 1 8.139 10 − L =  J  kg 和升华热 5 1 5.709 10 − L =  J  kg ；（b） 3 1 4.763 10 − =  Pa  K dT dp ） 解：（a） 由克拉伯龙方程得汽化线的斜率： ( ) L RT p TV L T V V L dT dp g l g 2   = − = 由蒸汽压方程微商得：       = − T T p dT dp 122 0.3 2 ， 两式在氢的三相点取值，汽化热为： 5 1 2 2 0.3 4.895 10 14 122 0.002 8.31 14 0.3 122 0.3 122 −  =        −  =        = −         = − J kg T RT T T RT L tr tr tr tr tr   将 Tm p 7 14 2.991 10− = +  求导， ( ) tr Ttr Vl Vs L dT dp − =   =      −7 2.991 10 1 ， 熔解热 ( ) 4 1 7 7 8.139 10 2.991 10 81 1 71 1 14 2.991 10 − =          − =  − = J kg T V V L tr l s ， 升华热 5 1 5.709 10 − L = L汽化热 + L熔解热 =  J  kg