《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，上）各章习题与答案

1 习题与答案 第一章 温度 物态方程 1，华氏温标取水的冰点为 32 0F，水的沸点为 212 0F。摄氏温标取水的冰点为 0 0C，水的沸点为 100 0C。试导出华氏温标与摄氏温标的换算关系；并计算在什么温度下华氏温标和开氏温标有 相同的温度读数。 （答案： ( / 32) 9 5 / 0 0 t C = t F − ； T K F 0  = 574.59 / = 574.59/ ） 2，定义温标  t 与测温物质的性质 x 之间的关系为： t = ln(kx)  式中 k 为常数，求： （a）设 x 为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点为  t =273.16 0C，试确定温标  t 与热力 学温标之间的关系。 （b）在温标  t 中，冰点和汽点各为多少度？ （c）在温标  t 中是否存在零度？ （答案：（a）  t =273.16-ln273.16+lnT；（b）  t （冰点）≈273.16 K；  t （沸点）≈273.47 K（c）  t =0 时，T≈0 K） 3，在容积为 V 容器中，盛有待测的气体，其压强为 1 p ，测得重量为 G1 。然后放掉一部分气体， 使气体的压强降至 2 p ，再测得重量为 G2 。若放气前后的温度 T 不变，求该气体的摩尔质量  ；如果气体的压强为 p 时，气体的密度  为多少？ （答案： Vg RT p G Vg RT p p G G   = − − = 1 2 1 2  ， g 为重力加速度； p p Vg G    = ） 4，容积为 3 2500cm 的烧瓶内有 15 1.010 个氧分子、 15 4.010 个氮分子和 g 7 3.3 10−  的氩气。设 混合气体的温度为 C 0 150 ，求混合气体的压强。 （答案： p = 0.0233Pa ） 5，一机械泵的转速为  转/分，每分钟能抽出气体 c 升。设一容器的体积为 V 升，问要抽多长 时间才能使容器内的压强由 0 p 降至 0 2 10 p − ？ （答案： p p c V t 0 = ln ，注意：  c << V ） 6，试求理想气体和范德瓦尔斯气体的定容压力系数 T V p p         = 1  。 （答案： T 1  1 = ；         = + 2 2 1 1 pV a T  ，1mole；         = + 2 2 2 1 1 pV n a T  ，n mole） 7，某液体从 C 0 0 加热到 C 0 100 ，其压强增加 2atm ，体积不变。若该液体的等温压缩系数是 5 1 4.5 10− −  atm ，求体膨胀系数。设等温压缩系数和体膨胀系数均为常数。 （答案： 7 1 9.0 10− − =    = K T p   ） 8，假设在压力不太高的情况下，一摩尔实际气体的物态方程可表示为：       = + V B pV RT 1 1 ， 其中 B1 仅是温度的函数，试求此气体的定压膨胀系数和等温压缩系数，并证明 V →  的极限

2 情况下，它们分别趋于理想气体的相应的系数。 （答案： V B T T dT dB V T V B 1 1 1 2 1 + + +  = ，V → ， T 1  = ； p V V B p p V B 1 2 1 1 1 →  = + +  = ， ， ） 9，某一气体的定压膨胀系数和等温压缩系数各为： pV nR  = ， V a p = + 1  其中n, R和a都是常数。试求此气体的物态方程。 （答案： 2 2 1 pV = nRT − ap ） 10，已知一摩尔物质的定压膨胀系数和定容压力系数分别为： pV R  = ， T 1  = ， 求该物质的物态方程。 （答案： p(V −b) = RT ） 11，简单固体和液体的体胀系数  和压缩系数  的数值都很小，在一定的温度范围内可以把  和  看成常数。试证明简单固体和液体的物态方程可以表示为： V(T p) =V (T ) +(T −T )−p ， 0 0，0 1 0 12，假如某一物质的定压温标和定容温标相等，证明这一物质的物态方程为：  =(p + a)(V + b)+C， 其中  为这一物质的定压温度计和定容温度计所测得的共同温度， a 、b 、c 、 均是常数。 （提示：先证明 0 2 2 =   p  ， 0 2 2 =   V  ） 13，实验发现橡皮带有：                = +        3 0 1 2 L L AT L t T ；                = −        3 0 1 L L AL T t L 式中 t 为张力， L0 为无张力时的带长， A 为常数。（a）计算 T t L         ，并讨论其意义；（b） 求物态方程。 （答案：               +               −  = −        3 0 3 0 1 2 1 L L T L L L T L t ；物态方程：               = − 2 0 0 L L L L t AT 14，已知： V b R −  =        T V p ( ) 3 2 V b RT V 2a −  = −        V T p 式中a和b是常数，证明该物态方程是范德瓦尔斯方程。 第二章 热力学第一定律 1，理想气体的初始状态为： pi Pa 5 = 1.010 ，Ti = 300K ， 3 Vi = 1.0m ，求下列过程中气体所 作的功：

3 （a）等压膨胀到体积 3 Vf = 2.0m （b）等温膨胀到体积 3 Vf = 2.0m （c）等容加压到压强 pf Pa 5 = 2.010 。 （答案：（a） J 5 1.010 ；（b） J 5 ln 210 ；（c）0） 2，1 mole 的某种实际气体遵守以下状态方程： p(V −b) = RT ，其中 b 为分子体积的修正， 0＜ b ＜ V 。导出该气体从初态的体积 Vi 准静态地等温膨胀到终态的体积 Vf 时，外界对气体 所作的功；并与理想气体作比较，外界对气体所作的功是多了还是少了？ （答案：外界对实际气体所作的功为： V b V b RT i f − − − ln ；比外界对理想气体所作的功少。） 3，1 mole 的范德瓦耳斯气体从体积 Vi 等温膨胀到终态的体积 Vf ，求外界对气体所作的功。 （答案： V b V b RT V V a i f f i − − −         − ln 1 1 ） 4，一个 p −V 系统作如图的一个循环 abca ，计算各个过程 ab 、bc 、ca 和循环过程 abca 中，系统对外界作的功。 （答案：用 p −V 图上的面积法求功。 W J ab 2 1.35 10− =  ，W J bc 3 6 10− = −  ，Wca = 0 ， W J abca 3 7.5 10− =  ） 5，设理想气体系统在图中的 p −V 图上有五个过程，两个等压过程、两个等容过程和一个 ac 过程， ac 延长线过坐标原点。试在 p − T 图上和 V −T 图上画出相应的五个过程。 6，在 C 0 0 和 1atm 下，空气的密度为 3 1.29kg / m ，比热 9.963 10 /( ) 2 Cp =  J kgK ，  = Cp CV = 1.41 。现有 3 27m 的空气，分别进行下列过程，求所需的热量： （a）空气的体积不变，将它从 C 0 0 加热到 C 0 20 ； （b）空气的压强不变，将它从 C 0 0 加热到 C 0 20 ； （c）若容器有裂逢，外界压力为 1atm ，使空气从 C 0 0 缓慢加热到 C 0 20 。 （答案：（a） Q J 5 1 = 4.9210 ；（b） Q J 5 2 = 6.9410 ；

4 （c） J T dT R pV C Q f i T T p 5 3 = = 6.7210   ） 7，低温下固体的比热由德拜公式给出： 3         = D T C A  ，其中 A 为常数，  D 为德拜温度。若某固 体的 A =1.94kJ /(moleK)， D = 300K 。试计算 500mole 的固体等容条件下，从 5K 加 热到 10K 需吸收多少热量？ （答案： 84.2J ） 8，1mole 单原子理想气体经历如图所示的循环，其中 AB 为等温过程。已知 V l C = 3 ，V l B = 6 ， 设气体的摩尔定容热容量 CV R 2 3 = ，求该循环的效率。 （答案：  = 13.4% ） 9，理想气体执行一个由两个等压过程和两个绝热过程所组成的循环过程（见图），设气体的定压 比热为常数。（a）证明该循环的效率为： 2 1 1 T T  = − ；（b）设 T C 0 1 = 27 ，T C 0 2 =127 ， 问燃烧 50kg 汽油可得多少功？汽油的燃烧值为 4.69 10 J / kg 7  （气体可看作理想气体） （答案：（b） W J 8 = 5.8610 ） 10，理想气体执行一个由两个等压过程和两个等温过程所组成的致冷循环（见图），证明该循环的 致冷系数为： 2 1 1 T T T −  =

5 11，奥托循环（Otto cycle），是定容加热循环，它是四冲程火花塞点燃式汽油发动机之循环。它 的理想循环由两个绝热过程和两个等容过程组成（见图），求此循环的效率  。 （答案： 1 1 1 2 1 1 1 − − = −         = −    V r V ， 2 1 V V r = ，为压缩比） 12，狄塞尔循环（Diesel cycle），是定压加热循环，它是四冲程压燃式柴油机的工作循环。它的 理想循环由两个绝热过程、一个等容过程和一个等压过程组成（见图），求此循环的效率  。 （答案： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 1 1 2 − − = −           −         −                  = − − −          V r V V V V V ， 2 1 V V r = ，为压缩 比， 2 3 V V  = ，为定压膨胀比） 13， 1 mole 理想气体的初始温度为 27 C 0 ，压力为 2 atm ，经 A→ B →C ，如图所示。求： （a） A→ B 作多少功？，（b） A→ B 吸收多少热量？，（c） A→ B →C 内能的变化。 其中的单位 atm 为大气压，l为升，气体常数 R = 0.082atml /K 。 （答案：（a）W=547 J；（b）Q=935 J；（c） U = −331 J ） 14， 一个具有绝热壁的金属容器内盛有 ni 摩尔高压氦气，其压力为 Pi ，此容器通过一活门和一个

6 很大的气瓶相连，气瓶内压力保持在定压 P0 ，并和大气压非常接近。将活门打开，让氦气缓 慢地、绝热地流入气瓶内，直到活门两边的压力相等为止，试证： u n n u n n i h f i f f i − = (1− ) 其中 n f 是留在金属容器内的氦的摩尔数， ui 是金属容器内1摩尔氦的初始内能, u f 是它的最 后内能， h 是气瓶内1摩尔氦的焓。 15， 1摩尔范德瓦尔斯气体的内能为 u = cT − a /V （ a,c 为常数），计算 Cv 和 CP . （答案： C c v = ； ( ) 3 2 2 1 RTV a V b R C c P − − = + ） 16， 对理想顺磁体，试求其比热差 CH − CM ，其中 CH 和 CM 为磁场强度不变和磁化强度不变的 比热. （答案： T MH c M T cH CH CM 0 2 0 2 2  0   − = = = ） 17， 假设地球的大气没有对流、风等因素的影响，也无重力变化，而且是完全绝热的气体，证明 大气的温度随高度线性减小。 （提示：考虑截面为A，在z→z+dz之间的空气圆柱体受到的上方和下方的压力和气体的重力三 个力之间的平衡，如图：） （答案： ( ) nR mg dz dT z   −1 = − <0 ） 18， 单原子固体的物态方程是： pV + G = U ，U 为内能， G 只是 V 的函数，  则是一个常数， 证明：    CV V = ， 式中  是等压膨胀系数，  为等温压缩系数。 19， 处于 C 0 0 的理想气体，绝热膨胀到原来体积的10倍，计算气体温度的变化。 （答案： T (10 1) 273.15K 1  = −  − ） 20， 理想气体经历下列循环过程： （a）经一个多方过程 pV C n = 由体积 V2 变到 b V V 2 1 = （ b 为常数）， （b）体积不变，冷却到原来的温度， （c） 等温膨胀到原来的体积。 试证明在循环过程中，气体所作的功与压缩过程中所作的功之比为： ( ) 1 1 ln 1 1 − − − n− b n b 。 21， 证明：当  为常数时，一个理想气体在某一过程中的热容量若是常数，则此过程是多方过程

7 22.，声音在气体中传播的速度为 C P = S ( )   ,  为气体的密度，设气体的分子量为M，证明1摩 尔气体的内能和焓为： u MC = − 2  ( 1) ， h MC = − 2  1 假设气体可以作为理想气体。 23，有一热泵在温度为T的物体和温度为T0的热源间工作，热泵消耗功率为W，物体每秒散热为 ( )  T −T0 ，求平衡温度（  为常数）。 （答案：平衡温度         = + + + W W T T e T 0 0 4 1 1 2   ） 24，试用卡诺循环方法证明黑体辐射能量密度 4 U  T 。（提示：用微卡诺循环） 第三章 热力学第二定律 1，把盛有 1mole 理想气体的容器等分成100个小格，如果分子在容器中任何一个区域内的概率都 相等。试计算所有分子都跑进一个小格中的概率。并由此说明自由膨胀过程的不可逆性。 （答案： 23 12 10 10−  PN = ） 2，利用关系式 p T p T V U T V  −         =        ，证明焦—汤系数          −        =           = V T V T p C T H p p 1  。 3，1mole 范德瓦尔斯气体，体积从 V1 等温膨胀到 V2 ，求其内能的变化。 （答案：          = − 1 2 1 1 V V U a ） 4，一理想气体的熵表示为：       = + + n V R n U a R n S 5 ln 2 ln 2 ， 式中 n 为摩尔数， a 为常数， R 为气体常数， U 为内能， V 为体积。 （a）计算其定容热容量 CV 和定压热容量 C p ； （b）如果有一间漏风的屋子，开始的温度与屋外平衡，为 C 0 0 ，生炉子后3小时达到 C 0 21 ，假 定屋内空气满足上述熵方程，求屋内气体的内能变化和熵的变化。 （答案：（a） CV nR 2 5 = ； Cp nR 2 7 = ，（b） U = 0， 1 2 2 1 ln T T T T S = ni （ i n 为 C 0 0 时的摩 尔数） 5，1mole 某气体的物态方程为： V a pV = RT − ，其摩尔比热 V c 为常数，求该气体的摩尔内能 u . (答案： ( ) u0 V a u T，V = cV T − + ) 6，从范德瓦尔斯方程（n mole）和定容热容量 CV 导出气体的下列热力学函数的表达式： （a）熵： ( ) ( ) 0 0 dT nRln V nb S T C S T V T T V = + − + ， 

8 （b）自由能： ( ) ( ) 0 2 1 ln 0 nRT V nb F V n a dT T T F T V U TS C T T V   − − − +       = − = − ，  （c）吉布斯函数： ( ) ( ) 2 0 2 ln 2 1 0 nRT V nb G V n a V nb nRTV dT T T G T V F pV C T T V − − − + −   +       = + = − ，  7，4mole 理想气体从体积 V1 膨胀到 V2 = 2V1 ，（a）假定膨胀是在 T = 400K 等温下进行的， 求气体膨胀所作的功；（b）求气体熵的变化；（c）假定气体经可逆绝热膨胀从 （T，V1） 到达 V2 ，求气体所作的功和熵的变化，设  = 1.4 。 （答案：（a） W J 3 = 9.2210 ；（b） S = 23.04J /K ；（c） W J 3 = 8.0510 ； S = 0 ） 8，一个质量有限的物体，初始温度为 T1 ，热源温度为 T2 ，且 T1 ＞ T2 。今有一热机在物体和热源 之间进行无限小的循环操作，直到把物体的温度从 T1 降到 T2 为止，若热机从物体吸收的热量为 Q ，试根据熵增原理证明此热机所能作的最大功为： ( ) Wmax = Q −T2 S1 − S2 ，其中 S1 − S2 是 物体的熵的减小量。 9，试证明在焦耳—汤姆孙实验中，理想气体的熵增量为： 2 1 2 1 ln p p S − S = nR ，其中 n 为经多孔 塞的气体的摩尔数。 10，一个可逆卡诺机，它的低温热源为 C 0 −3 ，效率为 40% ，欲使其效率提高到 50% ，试问： （a）如果低温热源的温度保持不变，则高温热源的温度必须增加多少度？ （b）如果高温热源的温度保持不变，则低温热源的温度必须降低多少度？ （答案：（a）增加 90K （b）降低 45K ） 11，试比较图（ T − S 图）中两个循环 abca 和 adca 的循环效率。 （答案： adca ＞ abca ） 12，试计算下列情形气体的熵变： （a）1mole 理想气体自由膨胀到原体积的2倍； （b）两种各有 1mole 的理想气体，初始时它们具有相同的体积和温度，中间用隔板隔开。现抽 掉隔板，使它们混合，并达到平衡时； （c）两个体积相等的容器，各装有1mole 同温度的同种理想气体，两容器用伐门连接，当打开伐 门后，求气体熵的变化。 （答案：（a） Sa = Rln 2 （b） Sb = 2Rln 2 （c） Sc = 0 ） 13， 试证明任何两条绝热曲线都不能相交。（提示：用反证法） 14，10千克20℃的水在等压下化为250℃的过热蒸汽，已知水的定压比热为 4187 J／kg·K，蒸汽 的定压比热为 1670 J／kg·K，水的汽化热为 22.5×105 J／kg ，计算熵的增量。 （答案： S (J K) 4  = 7.610 ） 15，1千克温度为 0℃ 的水与温度为 100℃ 的大热源接触，使其达到 100℃，计算水的熵变，热 源的熵变以及两者的总熵变，水的定压比热为 4187 J／kg·K

9 （答案：水的熵变： S =1350(J K) ，热源的熵变： S = −1121(J K) ， 总 熵 变 ： S =184(J K) ） 16，某物质的内能只是温度的函数，线膨胀系数  很小， 3 CV = bT ，在恒压下温度由T0变到T， 求其熵变。 （答案： ( ) 0 0 0 3 0 3 3 ln 3 T T T T p V b S = − +  ） 17，两物体的热容量分别为C1和C2，温度为T1和T2，当它们进行热交换时，各自体积不变，求平衡 时有：    1 1 2 2 1 1 2 2 T + T  T T 。其中  1 = C1 C1 + C2  2 = C2 C1 + C2 / ( ), / ( ) 。 18，在大气压且温度略低于0℃时，水的比热容为CP＝4222-22.6t J／kg·K，冰的比热容为CP＝ 2112＋7.5t J／kg·K。试计算－10℃的过冷水变为－10℃的冰时，熵的增加量为多少？ （答案： S = −1140.6(J kgK) ） 19，绝热系统由弹簧上悬挂的质量为 m 的质点所组成。最初将它移到离开平衡位置的距离 A 处， 质点被释放后，由于阻尼的作用就为逐渐达到静止，问宇宙的熵变化吗？变化多少？（令系 统的热容量为常数） （答案：          =  = + 0 2 2 ln 1 CT kA SUniverse SSystem C ，C 为热容量， k 为弹簧的弹性常数） 20，一圆筒中有一导热活塞把它分为两部分，一部分装有N1摩尔气体，另一部分装有N2摩尔气体， 两部分最初的压强和体积各为P1、V1和P1、V2，令活塞自由运动，使两边气体达到平衡态，假 设圆筒与外界是绝热的，并设气体为理想气体，它的两种比热之比  是常数，求最后的共同 温度和压强，并计算出熵的增加值。 （答案： 共 同 温 度 和 压 强 为 ： (N N )R p V p V T 1 2 1 1 2 2 + + = ， 1 2 1 1 2 2 V V p V p V p + + = ； ( ) ( )       + + + + +  = 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 ln ln p V p V p V V N p V p V p V V S R N ( ) ( ) ( ) ( )       + + + + + + 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 ln ln p V N N N p V p V N p V N N N p V p V Cp N ） 21，一个绝热的圆柱形容器被一个热导率很差的活塞分为两部分，开始两边装有等量气体，温度分 别为T0和3T0，活塞可以自由无摩擦地滑动，最后达到平衡态。a）.求系统的总熵变。b）. 如 果热传导是可逆的，则系统可以作多少功？ （答案：系统的总熵变 3 4 S = NCp ln ；作的功 W = pV = NRT0 ） 22，1摩尔25℃的水冷却成0℃的冰，其放出的热量全部被一个以最大理论效率工作的致冷机传给另 外1摩尔25℃的水，并把它加热到100℃，问： a）.有多少摩尔100℃的水变成蒸汽？（100℃ 水的汽化热为 4067 J／mol，0℃冰的熔解热为 6010 J／mol）；b）.外界对致冷机必须作多少 功？（水的定压比热为 75.4 J/mole.K） （答案：(a）n=0.105 mole，（b）W=2034 J ) 23，图中为一物质的状态图，T1、T2为两条等温线，等温线上A点左侧为液相，AB点之间为汽液 两相共存，BC为气相. 今有1摩尔物质进行如图示的可逆循环ABCDEF。循环过程参量为：a） ABC和DEF是等温过程；b）FA和CD是绝热过程；c）认为物质在气相（BCDE）中是理想气 体，在A点为纯液体；d）AB过程的潜热为 L＝200 cal／mol，T1＝300K，T2＝150K，VA＝ 0.5升，VC＝2.71828升，VB＝1升. 求循环终了时该物质所作净功是多少？

10 （答案：W=1665 J ) 24，体积分别为 V1 和 V2 的两只容器，都装有 N 个分子的理想气体，压力均为 p ，但温度分别为 T1 和 T2 ，把它们连接起来，求平衡时的熵变（“连接”分两种情况：（a）热连接；（b）连通， 分别进行讨论） （答案：（a） ( ) 1 2 2 1 2 4 ln T T T T S CV +  = （b） ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 4 ln ln T T T T C V V V V S nR V + + +  = ） 25，用两热容量分别为 p1 C 和 p2 C ，温度为T1和T2的物体作热机的热源，设外压强不变，求所能得 到的最大功。 （答案： ( ) 1 2 max 1 1 2 2 1 2 1 2   W = Cp T +Cp T — Cp +Cp T T ） 26，有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度为T1，今使一制冷机在此两物体间工作，使其中 一个的温度降到T2为止，假设物体被维持在定压下，并且不发生相变，证明此过程中所需的 最小功为： Wmin = CP (T / T + T − T ) 1 2 2 2 2 1 第四章 热力学函数与应用 1，用雅可比方法证明下列诸式： a U P T V T b U V T P T P V S P S ).( ) ( ) ).( ) ( )         = − = − c T V P T U T P U d T S T C T V V H U V V H P P ).( ) ( ) ( ) ).( ) ( )           = − = − 2 2，以  s 表示绝热膨胀系数，  表示定压膨胀系数，  s 表示绝热压力系数，  表示定容压力系 数，即： S S T P s P T V s V ( ) 1 ( ) 1       = =       = = 1 1 V V T P P T P V ( ) ( ) 证明：  /   , /  /  S = 1− S = 1−1 ,其中：  = CP CV / . 3，证明： T V V T p T V C            =        2 2 ，并由此导出：            = + V V V V V dV T p C C T 0 2 2 0 。 4，弹性棒的物态方程为：