例1半径为R的金属球带电量O，球外同心地放置相对电容率为ε的电介质球壳，球壳的内、外半径分别为R,和R，。求空间各点的电位移D、电场强度E以及电介质球壳表面的极化电荷密度！。解 以金属球心为中心1 Q以大于R的任意长r为半径RD=作球形高斯面，由高斯定4元 r2理可求得R在RR,的区域，不存在r电介质，ε.=1，有D19E =2高斯面4元01o在R<r<R,的区域DQ1E=存在电介质，所以4元802001
1 例1 半径为R的金属球带电量Q，球外同心地放置相 对电容率为 r的电介质球壳，球壳的内、外半径分 别为R1和R2 。求空间各点的电位移D、电场强度E 以及电介质球壳表面的极化电荷密度 。 解 以金属球心为中心、 以大于R的任意长r为半径 作球形高斯面，由高斯定 理可求得 高斯面 D Q r = 1 4 2 R Q R1 R2 r 在R R2的区域，不存在 电介质， r = 1，有 2 0 0 4π 1 r D Q E = = 2 0 r 0 r 4π 1 r D Q E = = 在R1 < r < R2 的区域， 存在电介质，所以
电介质的极化强度P只存在于极化了的电介质球壳中，并且P的方向与E相同。P 的大小为P=60(6,-1)E-C-104元起,12也可以根据公式D=εE+P来求 P，得1 Q ε-101 QP=D-&E=4元e,,2r4元 r 4元极化电荷出现在电介质球壳的肉 =P.n=-p__&-1 Q内、外表面上。在内表面4元e, R,r=R，，n指向球心，所以在外表面，r=R,0外-P.n=-P-α-1 04元8, R2n 沿径向向外，所以
2 也可以根据公式 来求 ，得 2 r r 2 r 0 2 4π 1 4π 1 4π 1 r Q r Q r Q P D E − = − = − = P D E P = 0 + 2 r 2 r 4π 1 R Q P n P − = = = 外 在外表面，r = R2， n 沿径向向外，所以 极化电荷出现在电介质球壳的 内、外表面上。在内表面， r =R1 ， 指向球心，所以 2 r 1 r 4π 1 R Q P n P − = = − = − 内 n 电介质的极化强度 只存在于极化了的电介质球壳 中，并且 的方向与 相同。 的大小为 2 r r 0 r 4π 1 ( 1) r Q P E − = − = P P E P
电介质整体是电中性的，所以电介质球壳内外表面上的负、正极化电荷量必相定等，在内表面上的负极化电荷总量为Q8-1&-1厂Q4元R, q肉=0丙S内=4元&,R,6r在外表面上的正极化电荷的总量为Q-1C一4元R2Qq外=外S外=O4元起, R2Sr
3 电介质整体是电中性的，所以电介质球壳内、 外表面上的负、正极化电荷量必相定等，在内表面 上的负极化电荷总量为 R Q R Q q S r r 2 2 1 r 1 r 1 4π 4π 1 − = − − = = − 内 内 内 在外表面上的正极化电荷的总量为 R Q R Q q S r 2 r 2 2 r 2 r 1 4π 4π 1 − − 外 = 外 外 = =
S7-8静电场的能量一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚集成该带电体系的过程中，外界所作的功带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还是由电荷激发的电场所携带？能量定域于电荷还是定域于电场？在静电场中没有充分的理由，但在电磁波的传播中能充分说明场才是能量的携带者。能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的
4 能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。 §7-8 静电场的能量 一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有 的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚 集成该带电体系的过程中，外界所作的功。 带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还 是由电荷激发的电场所携带？能量定域于电荷还是 定域于电场？在静电场中没有充分的理由，但在电 磁波的传播中能充分说明场才是能量的携带者
在电容器充电过程中.设某时刻两极板间的电压为UAB，在外力作用下持续地将dg电量从负极板移到正极板时，外力因克服静电场力作的功为1dA=Uanda-cqdaRC1102CU2dq =*22 C8所以在电容器中储存的能量为一Q?CUQUW.=A国22C2
5 在电容器充电过程中,设某时刻两极板间的电压 为UAB , 在外力作用下持续地将dq电量从负极板移 到正极板时，外力因克服静电场力作的功为 q q C A U q d 1 d d = AB = 2 2 0 2 1 2 1 d CU C Q q C q A Q = = = 所以在电容器中储存的能量为 CU QU C Q W A 2 1 2 1 2 2 2 e = = = = C R +
因为电容器中的电量、场强和电压分别为Q= oS=εES， E-El&,=α/ε,UAB-Ed由此可以求得电容器E?(Sd)W.P中静电能量2W.电容器中静电能的11CE2-DE =EWe一2Sd2能量密度2对于非匀强电场，在体dW.-w.dt--eE'dt2元dt内的电场能量为整个电场的能量可以表示为ww’drDEdt2
6 因为电容器中的电量、场强和电压分别为 Q = S = ES , E=E/εr=σ/ε, UAB=Ed 由此可以求得电容器 中静电能量 ( ) 2 1 2 We = E Sd 电容器中静电能的 能量密度 e 2 2 e 0 1 1 1 2 2 2 W w E DE E Sd = = = = 对于非匀强电场，在体 元d 内的电场能量为 dWe = we d = E d 1 2 2 整个电场的能量可以表示为 We = dWe = E d = DE d 1 2 1 2 2
在各向异性电介质中，一般说来D与E的方向不同，这时电场能量密度应表示为o.BW.-Jl/o.EdcW =-27球坐标的体元7汇0N0: dt = dr·r sin OdordeXy2元Jf dt - I"r2drsin 0.dedoJoJo
7 d = drrsin d rd 球坐标的体元 = 2π 0 π 0 0 2 d d sin d d R r r D E = 2 1 we = d 2 1 e D E W 在各向异性电介质中，一般说来 与 的方向 不同，这时电场能量密度应表示为 E D z y x O
例1一个半径为R，带电荷为g的金属球浸没在电容率为ε的无限大均匀电介质中，求空间的电场能量解?因为球内没有电场，电场能为零，由高斯定理求得球外的qR电场强度为开, D .dS = qS即44元r D= qDqqD=E=解得电位移为224元r4元r821qCE2该处的能量密度为We=432元gr2
8 例1 一个半径为R，带电荷为q的金属球浸没在电容率 为 的无限大均匀电介质中，求空间的电场能量。 R q r S 解 因为球内没有电场，电场能 为零， 由高斯定理求得球外的 电场强度为 S D S = q d 即 4 r 2 D = q 解得电位移为 2 4πr q D = 2 4π r D q E = = 该处的能量密度为 w E q r e = = 1 2 32 2 2 2 4
在半径为r与 r+dr之间的球壳的能量为qd W。 = w.4元r2dr -dr18元8r空间的总能量为adrw.-Idw-g1.28元8元RP
9 在半径为 r 与 r + dr 之间的球壳的能量为 d d d We we r r q r = 4 = r 8 2 2 2 空间的总能量为 W W q r r q R R e d e d = = = 2 2 2 8 8