86-4麦克斯韦速率分布律统计规律性：分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。（例如：分子的平均速率、方均根速率以及最概然速率等。人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性称为统计规律性
1 §6-4 麦克斯韦速率分布律 ⚫ 统计规律性： 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量 分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运 动(在动力学支配下)是无规则的，存在着极大 的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律 性。(例如：分子的平均速率、方均根速率以及 最概然速率等。) 人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为 的规律性称为统计规律性
一、麦克斯韦速率分布律(speed distribution)一个系统内的气体分子总数为N，速率分布在某区间 ～v+du间隔内的分子数为dN，占总分子数的比率为dN/N，比率dN/N 与所取间隔的大小有关，是 的函数，在不同速率附近取相等的区间此比率一般不相等取比值dN /(Ndu)表示在速率u附近，处于单位速率间隔内的分子数在分子总数中所占的比率。麦克斯韦指出，对于处于平衡态的给定气体系统dN /(Ndu)是u的确定函数，用f(o)表示dNf(o)=N.du速率分布函数
2 一个系统内的气体分子总数为N, 速率分布在某 区间 v~v+dv间隔内的分子数为dN，占总分子数 的比率为dN/N，比率dN/N 与所取间隔的大小有 关，是 v 的函数，在不同速率附近取相等的区间， 此比率一般不相等。 取比值dN /(Ndv)表示在速率v附近，处于单位 速率间隔内的分子数在分子总数中所占的比率。 麦克斯韦指出，对于处于平衡态的给定气体系统， dN /(Ndv)是v的确定函数，用f (v)表示 ( ) v v d d = N N f 速率分布函数 一、麦克斯韦速率分布律 (speed distribution)
要确定分布在速率从U,到0,间隔内的分子数在分子总数中的比率，可以对分布函数f()积分即ANf (o)doN因为所有N个分子的速率必然处于从0到 8 之间也就是在速率间隔从0到 8的范围内的分子数占分子总数的比率为1，即dNN= J。 f(o)do =1JON归一化条件
3 因为所有N个分子的速率必然处于从0到 之间， 也就是在速率间隔从0到 的范围内的分子数占 分子总数的比率为1，即 ( )d 1 d 0 0 = = f v v N N N 归一化条件 要确定分布在速率从v1到v2间隔内的分子数在 分子总数中的比率，可以对分布函数 f (v)积分， 即 = 2 1 ( )d v v f v v N N
麦克斯韦分子速率分布函数的具体形式在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间（～v+du）的分子数占总分子数的比率为32dN-mo2m2kT0f(u)4元eNdo2元kT麦克斯韦速率分布函数T是气体系统的热力学温度，k是玻耳兹曼常数m是单个分子的质量
4 麦克斯韦分子速率分布函数的具体形式： 在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽 略时，分布在任一速率区间 （ v~v+dv ）的分子 数占总分子数的比率为 2 2 2 3 2 e 2π 4π d d ( ) v v v v kT m k T m N N f − = = 麦克斯韦速率分布函数 T是气体系统的热力学温度，k是玻耳兹曼常数， m是单个分子的质量
麦克斯韦分子速率分布曲线个(0)f(op)面积=dN/N宽度doOUv+dvUp曲线下面宽度为do的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N
5 曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此 速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N 。 麦克斯韦分子速率分布曲线 面积= dN/N 宽度 dv vp v v+dv f(v) v f(vp ) O
一、用速率分布函数求分子速率的统计平均值最概然速率p一）取极大值时对应的速率。物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在,所在区间的分子数比率最大RT2kTdflo)-o=1.41令解得 p一MdomIC8mfop当 =U,时e元kTp随 T升高而增大，随m增大而减小。可讨论T和 m对速率分布的影响
6 最概然速率 vp— f(v) 取极大值时对应的速率。 物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的 小区间，则分布在 vp所在区间的分子数比率最大。 vp 随 T 升高而增大，随 m 增大而减小。 可讨论 T 和 m 对速率分布的影响。 ( ) 1 2 1 p e π 8 − = k T m 当 v = vp 时 f v 二、用速率分布函数求分子速率的统计平均值 ( ) 0 d d = v f v M RT m k T 1.41 2 令 解得 v p = =
平均速率0N,U.dN= /. of (o)duU0一-NN8kTRT8RT1.60U=M元M元m方均根速率VodNJ-ENU2/.o* f(o)duUNN3kTRT3RT3kT21o0= 1.73一mMMm
7 M RT M RT m k T 1.60 π 8 π 8 v = = = v v (v) v v v d d 0 = = = f N N N Ni i 平均速率 v m 2 3kT v = M RT M RT m k T 1.73 2 3 3 v = = = v v (v) v v v d d 0 2 2 2 2 f N N N Ni i = = = 2 方均根速率 v
麦克斯韦分子速率分布曲线的意义*无法是示该图片300K↑f(0)1200Kf(Up)计算平动能2VU当温度升高时曲线峰值右移变得较平坦，0077p讨论分布研究碰撞2由图中可以看出：VO>U >Up
8 麦克斯韦分子速率分布曲线的意义 由图中可以看出: p 2 v v v f(v) v f(vp ) 2 v p v v 300K 1200K 当温度升高时 曲线峰值右移 变得较平坦。 计算平动能 讨论分布 研究碰撞 O
以上三种速率，方均根速率最大，平均速率次之最概然速率最小，大小次序不因温度及气体的种类而变化，如图所示三种速率不同应用：讨论速率分布时用最概然速率，计算分子的平均平动动能用方均根速率，讨论分子的碰撞次数时要用平均速率。在室温平衡态氧气的三种速率分别为483，447，394，从这些数值可以看出气体系统中分子的热运动是相当剧烈的。三种速率相同规律性：与温度的平方根成正比，与单个分子的质量或气体的摩尔质量的平方根成反比
9 以上三种速率，方均根速率最大，平均速率次之， 最概然速率最小，大小次序不因温度及气体的种类 而变化，如图所示。 在室温平衡态氧气的三种速率分别为483，447， 394，从这些数值可以看出气体系统中分子的热运动 是相当剧烈的。 三种速率不同应用：讨论速率分布时用最概然速 率，计算分子的平均平动动能用方均根速率，讨论 分子的碰撞次数时要用平均速率。 三种速率相同规律性：与温度的平方根成正比，与 单个分子的质量或气体的摩尔质量的平方根成反比
J.C.Maxwell，1831-1879，是19世纪伟大的英国物理学家、数学家。1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年完成了电磁场理论的经典巨著《论电和磁》，1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。7
10 J.C.Maxwell, 1831-1879，是19世纪伟 大的英国物理学家、数学家。1861年选 为伦敦皇家学会会员。1865年完成了电 磁场理论的经典巨著《论电和磁》， 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪 什试验物理学教授，负责筹建著名的卡 文迪什实验室，1874年建成后担任这个 实验室的第一任主任，直到1879年11月 5日在剑桥逝世。 麦克斯韦主要从事电 磁理论、分子物理学、统计物理学、光 学、力学、弹性理论方面的研究。尤其 是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、 光学统一起来，是19世纪物理学发展的 最光辉的成果，是科学史上最伟大的综 合之一