一、力 矩 (moment of force)1、为矩的一般意文7.F力矩M-r×FMr大小CM=Fd=Fr sino0方向右手定则yx单位N·m (牛顿米)ML?T-2量纲右手定则四指由矢径r通过小于180°的角度转向力F的方向，拇指指向就是力矩的方向
1 一、 力 矩 (moment of force) 大小 M= F d = F r sinθ 力矩 M r F = 单位 N·m (牛顿米) 量纲 2 2 ML T − 方向 右手定则 r M F y x z O d 1、力矩的一般意义 右手定则 四指由矢径 通过小于180º 的角度 转向力 的方向，拇指指向就是力矩的方向。 r F
角动量和角动量定理.1、角动量（(angular momentum)mo7设质点的质量、位矢、速度0和动量分别为 m、、U、p。P11质点相对参考点O的角动量定义为0I =r×p=r×moyx大小 1=rmosinθ1Pm...方向右手螺旋定则判定O单位量纲ML2T-1kg-m?/s
2 1、角动量 (angular momentum) 大小 l＝rmvsin 方向 右手螺旋定则判定 单位 kg·m2 /s 量纲 ML2T-1 v l = r p = r m m、r、 v、 p 设质点的质量、位矢、速度 和动量分别为 。 质点相对参考点O的角动量定义为 m O θ l r p r l P v m x y z O 二、 角动量和角动量定理
质点对通过参考点O的任意轴线Oz的角动量l，是质点相对于同一参考点的角动量1沿该轴线的分量。mol, = lcos y76如果质点始终在Oxy平面上运动PT质点对Oz轴的角动量与对参考点0的角动量的大小是相等的，即yl =l =rmosin 0x注意：面对z轴观察,由r方向沿逆时针转向m的方向所形成的角才是0角
3 质点对通过参考点O 的任意轴线Oz 的角动量l z , 是 质点相对于同一参考点的角动量l 沿该轴线的分量。 l lcos z = 如果质点始终在Oxy平面上运动， 质点对Oz 轴的角动量与对参考点O 的角动量的大小是相等的，即 l z = l = rmvsin x y z P O r l v m l z 注意: 面对 z 轴观察, 由 方向沿逆时针转向 的方 向所形成的角才是 角。 r v m
83-3定轴转动刚体的角动量守恒定律一、刚体对转轴的角动量（Angular momentum）设刚体绕z轴作定轴转动，体元△m,对轴的角动量Zl.i = r, m, 0或 [li = r,? m, 00;0の是角速度，v;=r;の。Am整个刚体对转轴的角动量L, = Zli =(Zr Nm,)o= JoL_等于转动惯量与角速度的乘积
4 设刚体绕z轴作定轴转动， 体元mi对轴的角动量 l zi = ri mi vi 是角速度 , vi = ri 。 l zi = ri 或 2 mi 整个刚体对转轴的角动量 L l r m J z = zi = ( i i ) = 2 Lz等于转动惯量与角速度的乘积。 一、刚体对转轴的角动量 (Angular momentum ) ri Oi vi z · mi §3-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律
一、刚体对转轴的角动量定理将转动定理M-Jα写成下面的形式dM.=do(Jo)dtdt实验表明.此式更具普遍性由上式得到dLdM.(Jo)二dtdt刚体对转轴的角动量定理作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩
5 二、刚体对转轴的角动量定理 将转动定理 Mz =Ja 写成下面的形式 M J t t J z = = d d d d ( ) 实验表明, 此式更具普遍性。 由上式得到 M t J L t z z = = d d d d ( ) 刚体对转轴的角动量定理 作定轴转动的刚体对 转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一 转轴所受外力的合力矩
角动量定理也可以写为M, dt = dLM.dt称为冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体的时间的乘积。可见，作定轴转动的刚体所受冲量矩等于刚体对同一转轴的角动量的增量。对上式积分得到角动量定理的积分形式M,dt =Jo, -Jの
6 角动量定理也可以写为 Mz d t = dLz Mz d t 称为冲量矩, 等于力矩与力矩作用于刚体的 时间的乘积。 可见，作定轴转动的刚体所受冲量矩等于刚体 对同一转轴的角动量的增量。 对上式积分得到角动量定理的积分形式 2 1 2 1 M dt J J t t z = −
三、刚体对转轴的角动量守恒定律在定轴转动中,如果 M,=0,则dL,=d(Jo)=O 或 L_= Jの =恒量刚体对转轴的角动量守恒定律当定轴转动的刚体所受外力对转轴的合力矩为零时，刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。刚体组绕同一转轴作定轴转动时，系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变：另一种是转动惯量改变，角速度的大小也同时改变，但两者的乘积保持不变
7 刚体对转轴的角动量守恒定律 当定轴转动的 刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一 转轴的角动量不随时间变化。 刚体组绕同一转轴作定轴转动时 , 系统对转轴的 角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯 量和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量 改变 , 角速度的大小也同时改变，但两者的乘积保 持不变。 dL d J z = ( ) = 0 或 L J z = = 恒量 在定轴转动中,如果 Mz = 0, 则 三、刚体对转轴的角动量守恒定律
刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的如人手持哑铃的转动，芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作，都利用了对转轴的角动量守恒定律。好
8 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的， 如人手持哑铃的转动，芭蕾舞演员和花样滑冰运 动员作各种快速旋转动作，都利用了对转轴的角 动量守恒定律
。例题 一个质量为100kg的圆盘状平台以1.05 rad·s-1的角速度绕通过中心的竖直轴自由旋转，在平台的边缘站着一个质量为60kg的人。问当人从平台边缘走到盘的中心时，平台的转速是多大？
• 例题 一个质量为100 kg的圆盘状平台， 以1.05 rads −1的角速度绕通过中心的竖直 轴自由旋转，在平台的边缘站着一个质量 为60 kg的人。问当人从平台边缘走到盘 的中心时，平台的转速是多大? 9
因为带着人的平台是在自由旋转的，即不受任何外力矩的作用。若把人和平台看为一个系统，这就是我们前面所说的刚体组，应满足角动量守恒定律的适用条件，于是有J@1= J202 (1)式中和J分别是人站在平台边缘和站在平台中心时刚体组的转动惯量の和の，分别是人站在平台边缘和人站在平台中心时刚体组的角速度，其中0为已知，02待求。当人站在平台边缘时，刚体组的转动惯量等于平台的转动惯量与人相对于同一转轴的转动惯量之和，即Ji= =mR? +mR2(2)式中m,和m2分别是平台和人的质量，R是平台的半径。当人站在平台中心时，刚体组的转动惯量等于平台本身的转动惯量，即J2 ==mR2(3)2将式(2)和式3)代入式（1），即可解出人走到平台中心时系统的角速度mR? +2m R2m +2mO1 = 2.31 rad -s-102=0mR?m10
• 因为带着人的平台是在自由旋转的，即不受任何外力矩的作用。若把人 和平台看为一个系统，这就是我们前面所说的刚体组，应满足角动量守 恒定律的适用条件，于是有 . (1) • 式中J1和J2分别是人站在平台边缘和站在平台中心时刚体组的转动惯量， 1和2分别是人站在平台边缘和人站在平台中心时刚体组的角速度，其 中1为已知，2待求。 • 当人站在平台边缘时，刚体组的转动惯量等于平台的转动惯量与人 相对于同一转轴的转动惯量之和，即 • . (2) • 式中m1和m2分别是平台和人的质量，R是平台的半径。当人站在平台中 心时，刚体组的转动惯量等于平台本身的转动惯量，即 . (3) • 将式(2)和式(3)代入式(1)，即可解出人走到平台中心时系统的角速度 10 J J 1 1 = 2 2 J1 m1 R m R 2 2 1 2 2 = + J2 m1 R 1 2 2 = . 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 = 2 31 + = + = m R m R − m R m m m . rad s