S4-2简谐振动的合成同一直线上两个同频率简谐振动的合成设有两个同频率的谐振动x, = A cos(t +P)x, = A, cos(wt + P,)合振动x = x + x2 = A cos(ot +P) + A, cos(ot + P, )导x= Acos(のt +β）（仍为同频率谐振动)由矢量图得而A = A? + A + 2A,A, cos(P2 - P1)A, sini + A, sinP2β = arctanDA, cosP1 + A, cosP2X2xix大0
1 φ2 A1 A2 φ1 x y O x2 x1 §4-2 简谐振动的合成 一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的谐振动 cos( ) 1 = 1 +1 x A t cos( ) 2 = 2 +2 x A t 合振动 cos( ) cos( ) = 1 + 2 = 1 +1 + 2 +2 x x x A t A t 由矢量图得 x = Acos(t +) （仍为同频率谐振动） x φ 而 A 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A − = + + arctan A A A A 1 1 2 2 1 1 2 2 sin sin cos cos
讨论: 1. P2 - =±2k元 k = 0,1,2,..A= A + AAA合振幅最大，振动加强A9-9±2k元2. P2 - β1 = ±(2k +1)元k = 0,1,2,AA=A - AAA合振幅减小，振动减弱99=±（2k+1）元3.一般情况下△β为任意值AP2 - ±元A - A<A< A +A
2 讨论：1. 2 −1 = 2kπ k = 0,1,2, 2. 2 −1 = (2k +1)π k = 0,1,2, 合振幅减小，振动减弱 A = A1 − A2 合振幅最大，振动加强 A = A1 + A2 2 −1 π 3. 一般情况下 为任意值 A1 − A2 A A1 + A2 A2 A A1 A2 A A1 A2 A A1 A A2 A1 A2
*一、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成两谐振动分别为 x, = A, cos(の,t +β)x2 = A cos(0,t + P2)合振动 x= x +x = A cos(,t +P)+ A, cos(0,t + P2)2合振动不再是谐振动X002P而是一种复杂振动AOLAx矢量图解法（如图）由矢量图得合振动的振幅为A = A? + A,? + 2A, A, cos[(02 - 01)t +(P2 - P1)]
3 x y O *二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两谐振动分别为 cos( ) 1 = 1 1 +1 x A t cos( ) 2 = 2 2 +2 x A t 合振动 cos( ) cos( ) = 1 + 2 = 1 1 +1 + 2 2 +2 x x x A t A t 合振动不再是谐振动， 而是一种复杂振动 矢量图解法（如图） A A1 A2 ω1 ω2 A1 A A2 ω2 ω1 由矢量图得合振动的振幅为 A = A1 + A + A A − t + − 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 cos[( ) ( )]
由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频拍频为V= V2 - Vi三角函数法设两个简谐振动的振幅和初相位相同x = Acos(o,t +β)x, = Acos(o,t + β)合振动为x = x, + x2 = Acos(o,t +β)+ Acos(の,t +β)02 +0102-0= 2 Acos(t+@)t)cos(22
4 由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异 而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 拍频为 = 2 −1 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同 合振动为 ) 2 )cos( 2 2 cos( cos( ) cos( ) 2 1 2 1 1 2 1 2 + − + = = + = + + + A t t x x x A t A t cos( ) x1 = A 1 t + cos( ) x2 = A 2 t +
0202Acos(拍频的振幅为t)222元振幅的周期为 T = 元()=0202 -010-拍频为4AAAAAAA(a)10201V== V2 - ViT2元(b)+I拍的振动曲线如右图n*三、两个互相垂直的简谐振动的合成两简谐振动为x = Acos(ot +α)(1)y = Bcos(ot + β)(2)
5 拍频的振幅为 Acos( t) 2 2 2 1 − 振幅的周期为 2 1 2 1 2π ) 2 π( − = − T = 拍频为 = = − = − 1 2 2 1 2 1 T 拍的振动曲线如右图 *三、两个互相垂直的简谐振动的合成 两简谐振动为 x = Acos(t +) （1） y = Bcos(t + ) （2）
xcosotcos α - sinotsinα改写为(3)Ay(4)0cosotcos β - sinotsin βB以cosβ乘以(3)式，cosα乘以(4)式，再两式相减得X-ycosβ-cosα = sinotsin(β- α)(5)BA以sinβ乘以(3)式，sinα乘以(4)式后两式相减得xsinβ-y-sinα = cosotsin(β-α)(6)BA(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程七2xycos(β-α)=sin(β-α)A2B2AB
6 以cos乘以(3)式，cos乘以(4)式，再两式相减得 改写为 costcos sintsin A x = − costcos sintsin B y = − （3） （4） cos − cos = sintsin( −) B y A x （5） + − cos( −) = sin ( −) 2 2 2 2 2 2 AB xy B y A x 以sin乘以(3)式，sin乘以(4)式后两式相减得 (5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 sin − sin = costsin( −) B y A x （6）
此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差（β—α）。讨论：B1. β-α=0 或 元时B(+)=0即 =±2XAAB合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图所示Bβ-α=0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A;β-α=元时，相位相反，取负号，斜率为-BIA。C=VA?+B?合振动的振幅
7 此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的 形状决定于分振动的相位差（β－α）。 -A o A x -B B a b y 讨论： 1. −= 0 或 时 0 2 ( ) = B y A x 即 x A B y = 合振动的轨迹是通过坐标原点 的直线，如图所示。 −= 0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A； −= 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。 合振动的振幅 2 2 C = A + B
元-2十时2. 当 β- α = +B2427a合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示-Bβ-α = 元/2 时,合振动沿顺时针方向进行β-α= 一元/2 时,合振动沿逆时针方向进行。若A-B，椭圆变为正圆，如右图所示
8 2. 当 − = 2 时 x A y B 2 2 2 2 + = 1 合振动的轨迹是以坐标轴为 主轴的正椭圆，如右图所示。 β− = /2 时， 合振动沿顺时针方向进行； β− = −/2时， 合振动沿逆时针方向进行。 若A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。 x A B O y -A -B x A A -A -A y O
3. 如果(β-α)不为上述数37Z由O由值，那么合振动的轨迹为处于边长分别为2A(x7元中电方向）和2B(y方向)的矩形范围内的任意确定的椭圆。F2MV两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，这样的合振动曲线称为利萨如图形2不同频率的垂直振动运动的合成
9 3. 如果(−)不为上述数 值，那么合振动的轨迹 为处于边长分别为2A(x 方向)和2B(y方向)的矩 形范围内的任意确定的 椭圆。 两个分振动的频率相差 较大，但有简单的整数比 关系，这样的合振动曲线 称为利萨如图形。 不同频率的垂直振动运动的合成