S2-3角动量守恒定律一、力矩二角动量和角动量定理三、角动量守恒定律
1 §2-3 角动量守恒定律 一、 力矩 二、 角动量和角动量定理 三、 角动量守恒定律
一、力 矩 (moment of force)1、力矩的一般意义7.F力矩M=r×FMr大小dM=Fd=Fr sino0方向右手定则yx单位N·m (牛顿米)ML?T-2量纲右手定则四指由矢径r通过小于180°的角度转向力F的方向，拇指指向就是力矩的方向
2 一、 力 矩 (moment of force) 大小 M= F d = F r sinθ 力矩 M r F = 单位 N·m (牛顿米) 量纲 2 2 ML T − 方向 右手定则 r M F y x z O d 1、力矩的一般意义 右手定则 四指由矢径 通过小于180º 的角度 转向力 的方向，拇指指向就是力矩的方向。 r F
2、力对轴的力矩在以参考点0为原点的直角坐标系中,M表示为M=Mi+M,+Mk质点P的位置矢量r和作用力F可表示为r=xi+yj+zk, F=Fi+Fj+Fkijk则 M=r×F=x zFFF-(yF -zF,)+(zF,-xF)i+(xF, -F.)k
3 2、力对轴的力矩 M Mx i My j Mz k = + + 质点P 的位置矢量 r 和作用力 可表示为 F r xi yj zk = + + F Fx i Fy j Fz k ， = + + 则 Fx Fy Fz x y z i j k M r F = = (yFz zFy )i (zFx xFz )j (xFy yFx )k = − + − + − 在以参考点O为原点的直角坐标系中, M 表示为
M,= yF. - zFM,-zF -xF分量式M, =xF,-yFx力矩沿某坐标轴的分量通常称作力对该轴的力矩z下面计算力对轴的力矩H由图可见x = Rcosαy= Rsin αOF =F'cosβF, = F'sin β_ R广RI代入M,式中可得LxQ
4 分量式 = − = − = − z y x y x z x z y M x F yF M zF x F M yF zF 力矩沿某坐标轴的分量通常称作力对该轴的力矩。 下面计算力对z轴的力矩 由图可见 cos sin cos sin F F ' F F ' x R y R x y = = = = 代入 Mz式中可得 P F R⊥ O r Q β φ z y x F' F' R φ
力对z轴的力矩7M_ = RF(cososin β-sinαcos β)=RF'sin(β-α) RF'sinΦ式中R、F为r、F在xy平面上O的投影。R如果知道力矩矢量的大小和X0它与z轴之间的夹角,那么力7F对轴的力矩也可按下式求得0MM, = Mcos y0- rFsin Ocosy福X
5 x y z O F r M 如果知道力矩矢量的大小和 它与 z 轴之间的夹角 , 那么力 对z轴的力矩也可按下式求得 M Mcos z = = rFsincos M = RF'(cossin −sincos) z = RF'sin( −)= RF'sin P F R⊥ O r Q β φ z y x F' F'R φ l z l z 力对z轴的力矩 式中R、 为 在xy平面上 的投影。 r F F'
角动量和角动量定理一1、角动量(angularmomentum)moZ.设质点的质量、位矢、速度0和动量分别为 m、rU、p。P11质点相对参考点0的角动量定义为0I =r×p=r×mox大小 1=rmosinθ1P1m.方向右手螺旋定则判定O量纲 ML2T1单位kg-m?/s
6 1、角动量 (angular momentum) 大小 l＝rmvsin 方向 右手螺旋定则判定 单位 kg·m2 /s 量纲 ML2T-1 v l = r p = r m m、r、 v、 p 设质点的质量、位矢、速度 和动量分别为 。 质点相对参考点O的角动量定义为 m O θ l r p r l P v m x y z O 二、 角动量和角动量定理
质点对通过参考点O的任意轴线Oz的角动量l，是质点相对于同一参考点的角动量1沿该轴线的分量。mol, = lcos y70如果质点始终在Oxy平面上运动P质点对Oz轴的角动量与对参考点0的角动量的大小是相等的，即l =l = rmosin 0x注意：面对z轴观察,由r方向沿逆时针转向m的方向所形成的角才是0角
7 质点对通过参考点O 的任意轴线Oz 的角动量l z , 是 质点相对于同一参考点的角动量l 沿该轴线的分量。 l lcos z = 如果质点始终在Oxy平面上运动， 质点对Oz 轴的角动量与对参考点O 的角动量的大小是相等的，即 l z = l = rmvsin x y z P O r l v m l z 注意: 面对 z 轴观察, 由 方向沿逆时针转向 的方 向所形成的角才是 角。 r v m
（4）对轴的动量矩在具体的坐标系中，动量矩在各坐标轴的分量就叫对轴的动量矩L=r×P=Lx+L,y+L.2例1一质点m，速度为v，如图所示，A.malAB、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为di，dzd求此时刻质点对三个参考点的动量矩解 L=dmU LB=dmU L=O B L---c8
8 (4) 对轴的动量矩 在具体的坐标系中，动量矩在各坐标轴的分量， 就叫对轴的动量矩。 ˆ ˆ ˆ L r P L x L y L z = = + + x y z 例1 一质点m，速度为v，如图所示，A、 B、C 分别为三个参考点,此时m 相对 三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 求 此时刻质点对三个参考点的动量矩 LA = d1mv LB = d1mv = 0 LC d1 m d2 d3 A B C v 解
3）力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影等于该力对该轴的力矩例2：圆锥摆球在水平面内匀速转动，分别讨论对固定点A和O点，小61球受的张力矩，重力矩和角动量。RM, =RxT解：对于A点=mgRsin0= mgrM,=Rxmgmg0LA=R×mv对于0点：M=rxT=rTcoseLo=×mvM.=ixmg=mgrS9
9 (3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影， 等于该力对该轴的力矩。 O mg T r Lo r A LA r r 例2：圆锥摆球在水平面内匀速转 动，分别讨论对固定点A和O点，小 球受的张力矩，重力矩和角动量。 解： 对于A点 R = = mgR mgr sin 对于O点： = rT cos = mgr M A R T = M R mg g = L R mv A = M A r T = M mg g = r L r mv O =
另外，作圆周运动的质点的角动量Dl=m rv2、角动量定理(theorem of angularmomentum)1=π×P，两边求导角动量政dldrddp(r×p)Xp+rxdtdtdtdt10
10 2、角动量定理 (theorem of angular momentum) t p p r t r r p t t l d d d d ( ) d d d d = = + l r p 角动量 = ，两边求导 另外，作圆周运动的质点的角动量 l=m r v O r p l