例2半径为R的光滑圆环上A点有一质量为m的小球，从静止开RA始下滑，若不计摩擦力，求小球0F到达B点时的角动量和角速度nB7解小球受重力矩作用，由角动量定理：dlmgM = mgRcosθ =dtdel = mRo = mR2@0dtmR? de:dt =1
1 例2 半径为R的光滑圆环上A点 有一质量为m的小球，从静止开 始下滑，若不计摩擦力，求小球 到达B点时的角动量和角速度。 解 小球受重力矩作用，由角动量定理： t l M mgR d d = cos = d t d = 2 , l = mRv = mR l mR t d d 2 = θ A B R Fn v mg
得到l dl =m?gR3 cosede利用初始条件对上式积分"Id/ =m'gR"cos0d0101 = mR3/2(2g sin 0)s1 = mR2の2gsin 00=R本题也可以用质点的功能原理求解
2 利用初始条件对上式积分 = l l l m gR 0 0 2 3 d cos d ( ) 3/ 2 1/ 2 l = mR 2g sin sin 2 2 R g l mR = = 本题也可以用质点的功能原理求解。 d cos d 2 3 得到 l l = m gR
第三章刚体和理想流体
3 第三章 刚体和理想流体
第三章刚体和理想流体S 3-1 刚体的运动83-2刚体动力学83-3定轴转动刚体的角动量守恒定律83-4固体的形变和弹性S3-5理想流体及其运动规律*83-6黏性流体的运动
4 第三章 刚体和理想流体 §3-1 刚体的运动 §3-2 刚体动力学 §3-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律 §3-4 固体的形变和弹性 §3-5 理想流体及其运动规律 *§3-6 黏性流体的运动
83-1刚体的运动刚体(rigid body)，就是在任何情况下，其大小和形状都不变的物体，是固体的理想化模型，也是一种常用的力学模型把刚体看成是由许多微小的部分所组成的，并把每一微小部分看成一个质点，每一个质点称为刚体的一个质元。因而可以说刚体是一个由许多质点构成的质点系。刚体的形状与大小始终保持不变，因而各部分之间的相对位置保持不变。刚体是这样一种特殊的质点系，其中任意两质点的距离都保持不变
5 刚体(rigid body)，就是在任何情况下，其大小和形 状都不变的物体，是固体的理想化模型，也是一种常 用的力学模型。 把刚体看成是由许多微小的部分所组成的，并把每 一微小部分看成一个质点，每一个质点称为刚体的一 个质元。因而可以说刚体是一个由许多质点构成的质 点系。 刚体的形状与大小始终保持不变，因而各部分之 间的相对位置保持不变。刚体是这样一种特殊的质 点系，其中任意两质点的距离都保持不变。 §3-1 刚体的运动
平动和转动（Translationand rotation）平动和转动是刚体运动的最基本的形式平动在刚体运动过程中，如果刚体上的任意一条直线始终保持平行，这种运动就称为平动。可用质心运动讨论。描述刚体平动时可以用一点的运动来代表，常用刚体的质心运动代表整个刚体的平动。转动 在刚体运动过程中，如果刚体上所有的点都绕同一条直线作圆周运动，那么这种运动就称为转动。这条直线称为转轴。刚体的平面运动。既平动又转动质心的平动加绕质心的转动
6 平动 在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一 条直线始终保持平行, 这种运动就称为平动。可用 质心运动讨论。 转动 在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点 都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为 转动。这条直线称为转轴。刚体的平面运动。 描述刚体平动时可以用一点的运动来代表，常用 刚体的质心运动代表整个刚体的平动。 一、平动和转动 (Translation and rotation) 既平动又转动 质心的平动加绕质心的转动。 平动和转动是刚体运动的最基本的形式
一、刚体的定轴转动 (Fixed-axis rotation)在刚体转动中，转轴固定不动的转动称为定轴转动过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称为转动平面刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角速度和角加速度，在相同的时间内有相等的角位移。但是位移、速度和加速度却不相等。一般情况下，角速度和角加速度是矢量，但在定轴转动中它们的方向沿着转轴，可以用带正负号的标量来表示
7 在刚体转动中, 转轴固定不动的转动称为定轴转动。 过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称为转动平面。 刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角速 度和角加速度, 在相同的时间内有相等的角位移。但 是位移、速度和加速度却不相等。 一般情况下, 角速度和角加速度是矢量, 但在定轴 转动中它们的方向沿着转轴，可以用带正负号的标 量来表示。 二、刚体的定轴转动 (Fixed-axis rotation)
角速度刚体在dt时间内的角位移1dede与dt之比。40do(rad· s-l)0=lim△tdt1-0角速度的方向由右手定则确定刚体在^时间内角角加速度速度的增量△の与△t之比的极限OAodod?eOα = limdt?idt△t->0△trad. s-2单位
8 角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内角 速度的增量D与Dt之比的极限 2 2 0 d d d d lim t t t t = = D D = D → 单位 2 rad s − P d r z x θ 角速度 刚体在dt 时间内的角位移 d 与dt 之比。 (rad s ) d d 1 0 lim − D → = D D = t t t
△>0α0△<02w,α刚体运动学中角量和线量的关系2,aPd?0dedoanr0=α一dt?dtdt2= rou一r0=rαanat
9 ω1 D >0 >0 ω1 D <0 <0 刚体运动学中角量和线量的关系 2 t n 2 2 d d d d d d r a r a r t t t = = = = = v ＝
例1设圆柱型电机转子由静止经300s后达到18000r/min（转/分钟），已知转子的角加速度α与时间成正比，求转子在这段时间内转过的圈数。解 因角加速度α随时间而增大，设 α=ctdo由定义得do = ctdt= ctα=dt do=cf'tdtct对上式两边积分0=2Jo10
10 ct ct t t d d d d = = = 由定义得 例1 设圆柱型电机转子由静止经300 s后达到 18000 r/min（转/分钟），已知转子的角加速度 与时间成 正比，求转子在这段时间内转过的圈数。 解 因角加速度 随时间而增大，设 =ct 对上式两边积分 2 0 0 2 1 d c tdt ct t = =