83-2刚体动力学刚体的转动动能（Rotational kinetic energy）一设刚体绕固定轴Oz以角速度@转动.各体元的质量分别为△mi,△m2，.….,Am,,各体元到转轴Oz的距离依次是ri,r2,...,rn。n个体元绕Oz轴作圆周运动的动能的总和为VEr-2Am0,Dm;1=1 22Amr?0福2
1 设刚体绕固定轴Oz以角速度 转动,各体元的质量 分别为m1 , m2 , . , mn ,各体元到转轴Oz的距离 依次是r1 , r2 , . , rn。 = = n i E mi i 1 2 k Δ 2 1 v 2 1 2 Δ 2 1 = = n i i i m r n 个体元绕Oz轴作圆周运动的 动能的总和为 一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy ) §3-2 刚体动力学
n2Z Am,ri式中称为刚体对转轴的转动惯量i=1(rotational inertia），用J表示为ZAmrJ-i=1代入动能公式中，得到刚体转动动能的一般表达式Ek=-Jo2刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似的
2 m ri i n i = 1 2 式中 称为刚体对转轴的转动惯量 (rotational inertia) ， J m ri i i n = = 2 1 代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式 Ek = J 1 2 2 刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是 相似的。 用J 表示为
一、 刚体的转动惯量（Moment of inertia）从转动动能公式看到，刚体的转动惯量J与质点质量m相对应。在质点运动中，质点的质量是质点惯性的量度。在刚体转动中刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度转动惯量等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离的平方的乘积的和，而与质点的运动速度无关，决定于刚体的各部分的质量对给定转轴的分布情况。与转动惯量有关的因素：刚体的质量、刚体的形状（质量分布）、转轴的位置
3 二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia ) 从转动动能公式看到 , 刚体的转动惯量J与质点质 量 m 相对应。在质点运动中, 质点的质量是质点惯 性的量度。在刚体转动中, 刚体的转动惯量是刚体 转动惯性的量度。 转动惯量J等于刚体中每个质点的质量与这一质 点到转轴的距离的平方的乘积的和，而与质点的运 动速度无关，决定于刚体的各部分的质量对给定转 轴的分布情况。 与转动惯量有关的因素： 刚体的质量、刚体的形状(质量分布)、转轴的位置
转动惯量的求法若刚体的质量连续分布，转动惯量中的求和号用积分号代替J-[ r?dm=J] r pdv线密度、面密度、体密度S制中，J的单位为kgm?只有形状比较简单而密度又有规则地分布的物体才能用数学方法求出它的转动惯量。对形状复杂而密度又不均匀的物体，求转动惯量的最好办法是用实验方法测定
4 转动惯量的求法： 只有形状比较简单而密度又有规则地分布的物体 才能用数学方法求出它的转动惯量。对形状复杂而 密度又不均匀的物体，求转动惯量的最好办法是用 实验方法测定。 若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替 J = r m = r V 2 2 d d SI制中，J的单位为kg·m2 线密度、面密度、体密度
(1)(2)圆环圆环转轴通过转轴沿环几种常见形状的刚体的转动惯量中心并与的直径环面垂直12mr2J-J=mr?(3)(4)圆柱体圆柱体转轴通过转轴沿几中心并与何轴几何轴垂直12my2J=l4mr21+12ml2(5)(6)细棒细棒转轴通过转轴通过端点并与中心并与棒垂直棒垂直1ml?oml2312
5 几种常见形状的刚体的转动惯量
(7)(8)薄圆盘薄圆盘转轴通过转轴沿着中心并与直径盘面垂直1mr241mr.22(9)(10)球体球体转轴沿着转轴通过切线球心225mr27Je2-mrLr
6
例13可m半径为R的实心球，求绕过球如图，一质量为心的转轴的转动惯量解：取有一定厚度的圆盘，圆盘对O轴的转动惯量4元R3dJ==dm·rp=m3qdV = πr?dydm = pdR[prr*.dydm=p:元rdl变量代换r? = R? -y?CRy =p",(R+ -2Ry2 +y")dyp(R2-)dyR1=mR2得J=7
7 例1 如图，一质量为 m 半径为 R 的实心球，求绕过球 心的转轴的转动惯量。 解： 4 3 3 = m R dm dV = 2 dV r dy = 2 dm r dy = 1 2 2 dJ dm r = 取有一定厚度的圆盘，圆盘对O 轴的转动惯量 r y R O dy 1 4 2 = r dy 2 2 2 变量代换 r R y = − 1 2 2 2 ( ) 2 R R J R y dy − = − 1 4 2 2 4 ( 2 ) 2 R R R R y y dy − = − + 2 2 5 得 J mR =
转动惯量一、 定义二、J与哪些量有关计算三、四、正交轴定理
8 § 转动惯量 一、定义 二、J与哪些量有关 三、计算 四、正交轴定理
一、 定义对于固定转轴的转动惯量mrJ=Zdmm,rm(m)m2例如图所示质点系i=3Z= mr? +mr +mrJ=mri=1J的物理意义：转动中物体惯性的量度
9 对于固定转轴的转动惯量 2 2 ( ) i i m i J m r J r dm = = m1 m2 m3 1 r 2 r 3 r z 3 2 1 i i i i J m r = = = 例 如图所示质点系 2 2 2 = + + m r m r m r 1 1 2 2 3 3 J 的物理意义：转动中物体惯性的量度。 一、定义
二、J与那些量有关(1)J与刚体总质量有关m大，J大。（2）质量一定，与质量分布有关平行轴定理（3）J和转轴有关三、计算1）对称的简单的2）平行轴定理（parallelaxistheorem）mJ。= J。+md?在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小10
10 (2) 质量一定，与质量分布有关。 二、J 与那些量有关 (1) J 与刚体总质量有关， m 大， J 大。 (3) J 和转轴有关 平行轴定理 三、计算 1) 对称的 简单的 2) 平行轴定理 (parallel axis theorem) 2 o c J J md = + m c d o 在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小