《大学物理学》课程教学资源（PPT课件）第四章 振动和波动 §4-3 阻尼振动、受迫振动和共振

84-3阻尼振动、受迫振动和共振一、阻尼振动（dampedvibration）振幅随时间减小的振动称为阻尼振动以物体受流体阻力作用下的振动为例dx阻力为 F=-V=-dtd'xdx+ kx = 0物体的振动方程m+dtdt?d?xdx令 0 - -,2β= ,+0ox=0，则有2βdf2dtmm式中の,称为振动系统的固有角频率，β称为阻尼常量

1 §4-3 阻尼振动、受迫振动和共振 一、阻尼振动(damped vibration) 振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。 以物体受流体阻力作用下的振动为例： 阻力为 物体的振动方程 t x F v d d = − = − 0 d d d d 2 2 + + kx = t x t x m  令 , , 则有 m m k   = 2 = 2 0 d d d d 2 2 0 2 2 0 x t x t +  + x = 式中ω0称为振动系统的固有角频率，β称为阻 尼常量

讨论：1.当β2の.2时，阻尼较大，即过阻尼，不再是周期性运动，如图。03.当β2=の,2时，处于临界阻尼状态，如图临界阻尼7o

2 讨论：1. 当 2   0 2 时，阻尼较小 ，上式的解为 cos( )  = + − x A t t e0 其中 2 2  = 0 −  振动曲线如图，是一种准周期性运动。 2. 当 2  0 2 时， 阻尼较大，即过阻尼， 不再是周期性运动，如图。 3. 当 2=0 2时，处于临界阻尼状态，如图。 周期为 2 2 0 2π 2π   −  T = = t 欠阻尼 x(t) O t 过阻尼 x(t) O t 临界阻尼 x(t) O

一、受迫振动(forced vibration)在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动引起受迫振动的周期性外力称为驱动力设驱动力为 Fcosの't，则振动方程d?xdx+kx = F coso'tm+dt?dtd'xdx或(1)+2β+ 0 x = hcos o'tdt?dt其解 x=Ae-Btccos(ot +α) + Acos('t - y)(2)此式表示,受迫振动是由阻尼振动 A,e-βt cos(ot +α)和简谐振动 Acos(o't-y）两项叠加而成的

3 二、受迫振动(forced vibration) 在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动。 引起受迫振动的周期性外力称为驱动力。 设驱动力为 F cos t，则振动方程 kx F t t x t x m + + = cos d d d d 2 2 此式表示, 受迫振动是由阻尼振动 和简谐振动 两项叠加而成的。 cos( )  + − A t t e0 Acos(t − ) 或 x h t t x t x +  + = cos 2 2 0 2 d d 2 d d (1) 其解 cos( ) cos( )  = + +  − − x A t A t t e0 (2)

受迫振动达到稳定状态时 x = Acos('t-y)(3)可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力同频率的简谐振动将(3)式代入(1)得A(o。 - @"2)cos(o't - y) - 2βa'Asin('t - y) = hcos の't将cos (α't-y) 和 sin (α't-y)展开，则[A(o - o'2)cosy + 2βo'Asin y ]cos o't+[A(o -o'2)sin y - 2βo'Acosy]sin o't = hcoso't由此得A(o - a' )cosy + 2βa'Asin y = h(4)(5)A(o-o2)sin y - 2βa'Acosy = 0

4 可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力 同频率的简谐振动。 将(3)式代入(1)得 A( − )cos(t −)−2Asin(t −)  hcost 2 2 0 由此得 将cos ( t −) 和 sin ( t−) 展开，则 A A t h t A A t              −  −     −  +   +[ ( )sin 2 cos ]sin cos [ ( ) cos 2 sin ]cos 2 2 0 2 2 0 A( − ) cos + 2Asin = h 2 2 0 (4) 受迫振动达到稳定状态时 x = Acos(t − ) (3) ( )sin 2 cos 0 2 2 A 0 −  − A  = (5)

2Bo'(6)由(4)式求得y = arctan20202βo由(6)式求得siny =V(0 -0"3) +4β’020 - 0'2cosy =V(0 -0"2)2 +4β20"2h将上两式代入(4)式得A=(7)V(0 - 0'3) + 4β20"由式(6)和式(7)看出，受迫振动的初相位和振幅A不仅与振动系统自身的性质有关，而与驱动力的频率和幅度有关

5 由(6)式求得 2 2 2 2 2 0 4 2       −  +   = ( ) sin 2 2 2 2 2 0 2 2 0   4     −  +  −  = ( ) cos 由式(6)和式(7)看出，受迫振动的初相位和振 幅A不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱动 力的频率和幅度有关。 将上两式代入(4)式得 2 2 2 2 2 0 − + 4  = ( ) h A (7) 由(4)式求得 2 2 0 2 arctan     −   = (6)

三、共振(resonance)当驱动力角频率接近系统的固有角频率时，受迫振动振幅急剧增大的现象，称为共振。振幅达到最大值时的角频率称为共振角频率对（7）式求极大值得共振角频率为A(8)0 = V02 - 2β2可见，系统的共振角频率既与系统自身的性质有关，也与3大阻尼常量有关1. 50.52. 02.5将(8)式代入(7)式得hA.共振时振幅峰值为2βV0 - β2

6 三、共振(resonance) 当驱动力角频率接近系统的固有角频率时，受 迫振动振幅急剧增大的现象，称为共振。振幅达 到最大值时的角频率称为共振角频率。 对(7)式求极大值得共振角频率为 可见，系统的共振角频率既 与系统自身的性质有关，也与 阻尼常量有关。 将(8)式代入(7)式得 共振时振幅峰值为 2 2 0 r 2  −  = h A 2 2 r = 0 − 2 (8)